MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES

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1 CPITULO II MGNITUDES ESCLRES Y VECTORILES 1 CONTENIDO 1. VECTORES Y ESCLRES 2. ELEMENTOS DE UN VECTOR, CONCEPTO DE DIRECCION Y SENTIDO 3. LGEBR DE VECTORES 4. METODOS GRFICOS Y NLITICOS 5. COMPOSICION Y DESCOMPOSICION DE VECTORES 6. VECTORES UNITRIOS 7. VECTORES EN TRES DIMENSIONES 8. EL PRODUCTO ESCLR (PUNTO) 9. EL PRODUCTO VECTORIL (CRUZ) 10. PRODUCTO MIXTO 11. REPRESENTCION VECTORIL DE UN SUPERFICIE 2 1

2 OBJETIVOS 3 Muchas magnitudes físicas quedan completamente definidas por un número y una unidad, estas magnitudes se llaman escalares. Ej. el volumen, la temperatura, el tiempo, la masa, etc. Volumen = 10 m 3 Unidad Número Magnitud Escalar 4 2

3 Una magnitud vectorial, además de un número y una unidad, requieren de una dirección y sentido; como ocurre con la velocidad, desplazamiento o la fuerza. V = 80 km /hr, horizontal, de izquierda a derecha Magnitud Dirección Sentido ELEMENTOS DE UN VECTOR y Punto de aplicación P Sentido v Longitud = Módulo 0 Dirección X 6 3

4 TIPOS DE VECTORES ) Vectores colineales.- Son aquellos vectores que están contenidos en una misma línea de acción. O B C x, B y C son vectores colíndales 7 TIPOS DE VECTORES B) Vectores concurrentes.- Son aquellos vectores cuyas líneas de acción, se cortan en un solo punto. O C B 8 4

5 TIPOS DE VECTORES C) Vectores coplanares.- Son aquellos vectores que se encuentran en el mismo plano. 9 TIPOS DE VECTORES D) Vectores iguales.- Son aquellos vectores que tienen la misma intensidad, dirección y sentido. 10 5

6 TIPOS DE VECTORES E) Vector opuesto.- Se llama vector opuesto (-) de un vector cuando tienen el mismo módulo, la misma dirección, pero sentido contrario LGEBR DE VECTORES La suma de vectores goza de las siguientes propiedades: CONMUTTIV a + b = b + a SOCITIV (a + b) + c = a + (b + c) ELEMENTO NEUTRO Ó VECTOR CERO ELEMENTO SIMÉTRICO U OPUESTO ' a + 0 = 0 + a = a a + a' = a' + a = 0 a' = -a 12 6

7 2.4. METODOS GRFICOS Y NLITICOS La suma de vectores da como resultado otro vector. El vector resultante produce el mismo efecto que todos juntos. Hay que tener en cuenta que la suma vectorial no es lo mismo que la suma aritmética. Se puede sumar vectores en forma gráfica o analítica. Para la primera opción los métodos son geométricos, debiendo realizarse una construcción a escala. Los resultados obtenidos por este método no tienen un elevado grado de precisión, por lo que mejor resulta utilizar el método analítico. 13 ) METODOS GRFICOS 1. Método del Triángulo Para dos vectores concurrentes y coplanares, se unen los dos vectores uno a continuación del otro para formar un triángulo, el vector resultante se encontrará en la línea que forma el triángulo y su punto de aplicación coincidirá con el origen del primer vector. pentágono B B R R = + B 14 7

8 2. Método del Paralelogramo Para dos vectores coplanares y concurrentes, para hallar la resultante se une a los vectores por el origen (deslizándolos) para luego formar un paralelogramo, el vector resultante se encuentra en la diagonal, y su punto de aplicación coincide con el origen de los dos vectores. B α β R B R = + B METODO DEL POLIGONO Para dos o más vectores concurrentes y coplanares. Se unen los vectores uno a continuación del otro para luego formar un polígono, el vector resultante se encontrará en la línea que forma el polígono y su punto de aplicación coincidirá con el origen del primer vector. 16 8

9 4.- VECTOR NULO En el caso de que el origen del primer vector coincida con el extremo del último, el vector resultante es nulo; y al sistema se le llama polígono cerrado. B 17 B) METODOS NLITICOS Método del teorema del paralelogramo R = + B + 2 B cos 18 9

10 Método del teorema de los cosenos α β R = + B 2 B cosα 19 Método del teorema de los senos α β R = senα B = senβ sen 20 10

11 Método del teorema de Lamy β α C B = = senα senβ sen 21 Método del teorema de Pitágoras Ry R Para calcular la resultante se aplica la formula: ( x) 2 ( y) 2 R = + Rx Para calcular la dirección o ángulo que forma el vector con la horizontal : ( ) Tg = y x 22 11

12 5. DESCOMPOSICION DE VECTORES Un vector que se encuentre en el plano xy puede representarse como la suma de un vector paralelo al eje x y otro paralelo al eje y. Estos dos vectores que designaremos en la figura como V x y V y, se llaman componentes vectoriales rectangulares del vector V. y V = V x + V y V y V x x 23 DESCOMPOSICION DE VECTORES Paso N 1 Paso N 2 B B C β α β α T C T 24 12

13 DESCOMPOSICION DE VECTORES Paso N 3 By B y x β α Cx Bx Las componentes son: V x V y = V cos = V sen Cy T C 25 DESCOMPOSICION DE VECTORES Paso N 4 Paso N 5 x By y Cy Cx Bx Vx = Rx Cx + Bx x = Rx Rx = C cos + B cos α cos β Vy = Ry By + y Cy T = Rx Ry = B senα + senβ C sen T T 26 13

14 6. COMPOSICION DE VECTORES Paso N 6 Ry R Paso N 7 ( Rx) 2 ( Ry) 2 R = + φ Rx ( ϕ ) Tg = Ry Rx VECTORES EN EL ESPCIO Para graficar un vector en el espacio se sigue los siguientes pasos: Primero: Ubicar las componentes X y Y en un plano cartesiano Segundo: En el punto donde se intersecan ambas componentes se traza una paralela al eje Z Tercero: Encima del nuevo eje se dibuja la componente del vector en el eje Z si es positivo hacia adelante y si es negativo hacia atrás

15 VECTORES EN EL ESPCIO Ubicar el vector en el espacio, =(4,3,3) y x= 4 z= 3 y= 3 x z 29 VECTORES UNITRIOS La magnitud de un vector unitario (versor) es igual a uno, y no tiene unidades. Su único propósito es indicar una dirección y sentido en el espacio de un determinado vector. En un sistema de coordenadas xy, utilizaremos el vector unitario i en la dirección positiva del eje x, y el vector unitario j en la dirección positiva del eje y. x = x i y y = y j = x i + y j y j α i x x 30 15

16 TRID ORTOGONL DE VECTORES UNITRIOS Si los vectores se representan en el espacio, es necesario utilizar un tercer vector unitario k en la dirección del eje z. z = x i + y j + k z x i k j y 31 VECTORES EN EL ESPCIO Si el vector se representa en el espacio, este tiene tres componentes rectangulares: V x, V y, V z, como se muestra en la siguiente figura: 32 16

17 COSENOS DIRECTORES cosα = cos β = cos = x y z ( cosα ) + ( cos β ) + ( cos ) = PRODUCTO ESCLR DE VECTORES 34 17

18 2.9. PRODUCTO VECTORIL DE VECTORES = a) Metodo 1 r = ( x, y, z ) Entonces : r r x y x B = Bx By r B = ( Bx, By, Bz ) z y z x = iˆ Bz By Bz Bx z Bz ) x j + Bx y By ) k b) Metodo r r x B = 2 r r B sen ( ) r r ) ) x B = ( y Bz By z ) iˆ ( x Bz Bx z ) j + ( x By Bx y )k PROPIEDDES DEL PRODUCTO VECTORIL PRODUCTO MIXTO DE VECTORES Y X r = r B = r C = ( x i + y j + z k ) ( Bx i + By j + Bz k ) ( Cx i + Cy j + Cz k ) Z = r ( xb) r r o C = x Bx Cx y By Cy z Bz Cz = ( Cx) [ ( y Bz) ( By z) ] ( Cy) [ ( x Bz) ( Bx z) ] + ( Cz) [ ( x By) ( Bx y) ] 36 18

19 2.11. REPRESENTCION VECTORIL DE UN SUPERFICIE S = S S2 2S1S 2 cos 37 EJEMPLO 38 19

20 GRCIS 39 20