3 Espacios Vectoriales

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1 Prof. Susana López 31 3 Espacios Vectoriales 3.1 Introducción Un ector fijo en el plano no es más que un segmento orientado en el que hay que distinguir tres características: -dirección: la de la recta que lo contiene -sentido: el que a de su origen a su extremo, marcado por una punta de flecha -módulo: la longitud del segmento Los ectores fijos del plano se denotan con dos letras mayúsculas, por ejemplo AB, que indican su origen y extremo respectiamente. B D C A E H F G Dos ectores fijos son equipolentes si tienen el mismo módulo, dirección y sentido. Para comprobarlo, se unen sus orígenes y sus extremos respectios. Si el polígono resultante es un paralelogramo, los ectores son equipolentes. Un ector libre del plano es un conjunto formado por infinitos ectores fijos equipolentes. Los ectores libres se denotan con letras minúsculas, por ejemplo. Al conjunto de los ectores libres del plano se llama R 2. Lagranentajadeunectorlibreesquepodemosmoerlolibrementeporelplano,pues ahora ya no está sujeto a un origen y un extremo. Cada ez que lo moamos estaremos escogiendo un ector fijo distinto como representante del ector libre. Dado un ector libre cualquiera, se puede representar como un segmento de recta orientado que parte del origen O y tiene su extremo en un punto Q con coordenadas (x, y). A estos dos escalares (x, y) se les denomina coordenadas del ector OQ.

2 Prof. Susana López 32 y x y y x x y x y x A traés del Teorema de Pitágoras obtenemos que el módulo o norma del ector OQ = (x, y) es: OQ = p x2 + y 2 El único ector que tiene módulo 0 es el ector nulo 0, cuyas componentes son todas nulas, 0 =(0, 0). De manera análoga en el espacio R 3 los ectores también ienen caracterizados por su dirección, norma y sentido, pero en este caso los ectores tienen tres coordenadas o componentes. En general en R n los ectores tendrán n coordenadas =(x 1,x 2,..., x n ) R n Operaciones con ectores. Definición 11 Dados dos ectores cualesquiera de R n, =(x 1,x 2,...,x n ) y w =(y 1,y 2,..., y n ) se define: 1. El ector suma + w =(x 1,x 2,..., x n )+(y 1,y 2,..., y n )=(x 1 + y 1,x 2 + y 2,..., x n + y n ). 2. El ector diferencia w =(x 1,x 2,..., x n ) (y 1,y 2,..., y n )=(x 1 y 1,x 2 y 2,...,x n y n ) 3. El ector producto de un escalar λ R por un ector = (x 1,x 2,..., x n ), λ = (λx 1,λx 2,..., λx n ) En R 2 es fácil er la interpretación geométrica de la suma de dos ectores. + w w

3 Prof. Susana López 33 La diferencia de ectores es similar. w w El producto de un ector por un escalar lo que hace es cambiar (λ <0) o igualar la dirección del ector (λ >0) yaumenta( λ > 1) odisminuye( λ < 1) el módulo del ector tantas eces como indica λ. 2 Obseraciones: Cuando a un ector lo multiplicamos por 1, obtenemos el ector opuesto, que tiene el mismo módulo que pero sentido opuesto. Si el ector tiene módulo k k, entonces el ector 1 tiene módulo unitario, es decir, k k su módulo es igual a la unidad. Definimos el producto escalar de dos ectores =(x 1,x 2,..., x n ) y w =(y 1,,..., ) como: w =(x 1 y 1 + x 2 y x n y n ) otra forma de expresar el producto escalar es: w = k kk wk cos α donde α es el ángulo que forman los dos ectores. Si los ectores son perpendiculares formarán un ángulo de π en ese caso cos α =0, y por tanto, w =0. En ese caso 2 diremosquelosectoressonortogonales. 3.2 Espacio ectorial Definición 12 Un conjunto V, cuyos elementos se denotan mediante u,, w,..., se dice que es un espacio ectorial sobre el cuerpo K (si K es R se dice que es un espacio ectorial real ysi

4 Prof. Susana López 34 K es C se dice que es un espacio ectorial complejo), si en él se han definido dos operaciones: la suma, +, como operación interna, de manera que a cada par de elementos u y de V se le hace corresponder el elemento u + de V, ylamultiplicación por escalares como operación externa, de manera que a todo elemento u V y a todo elemento a K le hace corresponder el elemento a u V, que satisfacen las siguientes propiedades: (S1) (Conmutatia) u + = + u para todo u, de V. (S2) (Asociatia) u +( + w) =( u + )+ w para todo u,, w de V. (S3) Existe un elemento de V, designado por 0 y denominado neutro, talque u + 0 = u para todo u de V. (S4) Para todo u de V existe un elemento, designado por u ydenominadoopuesto de u, tal que u +( u) = 0. (M1) 1 u = u para todo u de V, donde 1 denota el elemento unidad de K. (M2) (Seudoasociatia) a (b u) =(ab) u para todo u de V ytodoa, b de K. (M3) (Distributiarespectoalasumadeescalares)(a + b) u = a u + b u para todo u de V y todo a, b de K. (M4) (Distributia respecto a la suma de ectores) a ( u + ) =a u + a para todo u, de V ytodoa de K. Cualquier conjunto R n tiene estructura de espacio ectorial sobre el cuerpo de escalares R. No sólo los R n tienen estructura de espacio ectorial, también la tiene el conjunto de matrices M n m, el conjunto de polinomios de grado menor o igual que n, el conjunto de funciones continuas en el interalo [a, b]... A partir de ahora nos centraresmos en espacios ectoriales sobre el cuerpo de los números reales, K = R Propiedades de los espacios ectoriales Si V es un espacio ectorial, se erifica que: 1. Si u, y w son elementos de V tales que u + w = + w entonces u =. 2. Si 0 es el elemento neutro de V y λ R entonces λ 0 = Si V entonces 0 =0. 4. Si V entonces 1 = queeselelementoopuestode. 5. Si V y λ R tales que λ =0entonces o bien λ =0obien = 0.

5 Prof. Susana López Subespacio ectorial Definición 13 Un subespacio ectorial de un espacio ectorial V es un subconjunto S de V, que a su ez tiene estructura de espacio ectorial con las operaciones definidas en V. Para demostrar que un subconjunto S es un subespacio ectorial de V no es necesario comprobar de nueo que satisface todas las propiedades de espacio ectorial. Es suficiente demostrar las dos condiciones siguientes: 1. Si u y S, u + S. 2. Si a R y u S, a u S. Estas dos últimas condiciones son equialentes a demostrar que para todo a, b R ypara todo u y S a u + b S. Obseraciones: n o El subconjunto formado por el elemento neutro de V, 0 es un subespacio ectorial. Todo subespacio ectorial debe contener al ector nulo 0 de V. Definición 14 Dados dos subespacios ectoriales S 1 y S 2 de un espacio ectorial V podemos definir su intersección S 1 S 2 = { u tal que u S 1 y u S 2 } ysusuma S 1 + S 2 = { u 1 + u 2 tal que u 1 S 1 y u 2 S 2 } estos dos nueos subconjuntos de V son de nueo subespacios ectoriales de V. Dados dos subespacios ectoriales S 1 y S 2 de un espacio ectorial V definimos el subconjunto unión como: S 1 S 2 = { u tal que u S 1 o u S 2 } tiene este subconjunto estructura de espacio ectorial? Definición 15 (Suma directa) Un espacio ectorial V es una suma directa de dos subespacios S 1 y S 2 si: 1. S 1 + S 2 = V n o 2. S 1 S 2 = 0 Utilizaremos la notación V = S 1 S 2 para indicar la suma directa de subespacios. Proposición 2 Si S 1 y S 2 son subespacios ectoriales de un espacio ectorial V, las siguientes afirmaciones son equialentes: 1. V = S 1 S 2 2. Para todo u V existe una descomposición única de la forma u = u 1 + u 2 con u 1 S 1 y u 2 S 2.

6 Prof. Susana López Sistema de generadores Definición 16 (Combinación lineal) Diremos que es combinación lineal de u 1, u 2, u 3,..., u n si existen a 1,a 2,a 3,..., a n, elementos de R no todos nulos, tales que: = a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u a n u n Definición 17 Un conjunto finito de ectores { u 1, u 2, u 3,..., u k } de un espacio ectorial V se dice que es un sistema de generadores de V si todo elemento de V se puede escribir como una combinación lineal de los ectores u 1, u 2, u 3,..., u k. 3.5 Dependencia e Independencia Lineal Definición 18 Sea V un espacio ectorial sobre un cuerpo R; unnúmerofinito de ectores u 1, u 2, u 3,..., u n se dicen que son linealmente dependientes, si existe n elementos de R, a 1,a 2, a 3,...,a n no todos nulos, tal que: a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u a n u n = 0 (1) Si los ectores u 1, u 2, u 3,..., u n no son linealmente dependientes, se dice que son linealmente independientes (LI); por tanto, los ectores u 1, u 2, u 3,..., u n son LI si cualquier igualdad como la que aparece en (1) implica que todos los elementos de R, a 1,a 2,a 3,..., a n, son todos nulos. Podemos también decir que un conjunto de ectores u 1, u 2, u 3,..., u n son linealmente dependientes si al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás. Y son linealmente independientes si ninguno de ellos se puede expresar como combinación lineal del resto. Proposición 3 Todo conjunto finito de ectores linealmente independientes no puede contener un subconjunto de ectores que sean linealmente dependientes. Definición 19 Dado un conjunto de ectores S = { u 1, u 2, u 3,..., u n } de un espacio ectorial V, se denomina rango del conjunto S al número máximo de ectores linealmente independientes, ysedenotaporrg(s) orang(s). Proposición 4 Si G = { u 1, u 2, u 3,..., u n } es un sistema de generadores de V. Se erifica que: Si G es un conjunto de ectores linealmente dependientes, entonces existe al menos un subconjunto G 0 G que también genera V. Si G es un conjunto de ectores linealmente independientes, entonces no existe ningún subconjunto G 0 de G, G 0 6= G, que sea además generador de V.

7 Prof. Susana López Base y dimensión de un espacio ectorial Definición 20 (Base de un espacio ectorial) Un conjunto finito de ectores { u 1, u 2, u 3,..., u k }sedicequeesunabasedeunespacioectorialv si se cumplen las dos siguientes condiciones: 1. Los ectores u 1, u 2, u 3,..., u k son linealmente independientes. 2. Todo elemento de V es una combinación lineal de los ectores u 1, u 2, u 3,..., u k. Obserar que cualquier base de V es un sistema de generadores de V. Sea V un espacio ectorial y B ={ u 1, u 2, u 3,..., u k } una base del mismo. Dado un ector cualquiera de V lo podremos expresar como una combinación lineal de los ectores de B = a 1 u 1 + a 2 u a k u k Definición 21 Diremos que a 1,a 2,...a k R son las coordenadas de respecto de la base B =(a 1,a 2,...a k ) Proposición 5 Si V es un espacio ectorial que posee una base con n elementos, entonces n+1 ectores de V son siempre linealmente dependientes. De manera más general, en un espacio ectorial V que posea una base con n elementos, entonces cualquier conjunto de m ectores de V, con m > n, son linealmente dependientes. Proposición 6 Todas las bases de un mismo espacio ectorial V poseen el mismo número de elementos. Definición 22 El número de elementos que posee una base cualquiera de un espacio ectorial V recibe el nombre de dimensión de V, dim(v ). Proposición 7 Si S 1 y S 2 son subespacios de un subespacio ectorial V de dimensión finita, se erifica que: dim (S 1 )+dim(s 2 )=dim(s 1 + S 2 )+dim(s 1 S 2 ) yenparticularsiv = S 1 S 2 se tiene que 3.7 Ejercicios dim (V )=dim(s 1 )+dim(s 2 ) 1. Comprobar que el conjunto de pares de números reales (a, b) cuyas componentes suman cero, es un subespacio ectorial de R El conjunto de pares de números reales cuyas componentes suman 5, es una subespacio ectorial de R 2? 3. Comprobar que el conjunto de soluciones de un sistema homogéneo forma un subespacio ectorial.

8 Prof. Susana López Comprobar si los siguientes conjuntos de R 3 son subespacios ectoriales: (a) A = {(x, 2x, z) x, z R} (Ecuaciones paramétricas) (b) B = {(x, y, x + y) x, y R} (Ecuaciones paramétricas) (c) B = {(x, y, z) x = z +1} (Ecuaciones cartesianas) 5. Estúdiese si los siguientes subconjuntos constituyen un subespacio ectorial con las operaciones inducidas. (a) A = {(x, y) R 2 x y =0} (b) A = {(x, y) R 2 x y =1} (c) A = {(x, y) R 2 y = x 2 } (d) A = {(x, y) R 2 xy =0} (e) A = {(x, y, 0) R 3 x, y R} (f) A = {(x, y, z) R 3 x + y + z =0} (g) A = {(x, y, y, x) R 4 x, y R} (h) A = {M M n n : tr(m) =0}, dondetr(m) indica la suma de los elementos de la diagonal principal de M. 6. En el espacio ectorial de R 4, determinar cuáles de los siguientes subconjuntos son subespacios ectoriales: (a) A = {(x 1,x 2,x 3,x 4 ) x 3 x 4 =0} (b) B = {(x 1,x 2,x 3,x 4 ) x 3 + x 4 =0} (c) B = {(x 1,x 2,x 3,x 4 ) x 3 + x 4 =1} 7. Demostrar que los siguientes conjuntos son subespacios ectoriales de R 4 : (a) A = {(x, y, z, x) x, y R} (b) B = {(3y, y, x + y, x) x, y R} (c) B = {(x, 2x, 3x, 4x) x R} 8. Sea el sistema S = { u, } con u =(2, 1, 3), =( 2, 1, 4) obtener las ecuaciones paramétricas y cartesianas del supespacio engendrado por S. 9. Demostrar que el conjunto de matrices de la forma: µ a 3b 4b, a,b R 4b a+3b es un subespacio ectorial de M 2 2. Hallar una base de este subespacio y su dimensión. 10. Sea el subespacio ectorial de R 4,V = {(x, y, z, t) x + y 2t =0,x y z =0} calcular la dimensión, una base y las ecuaciones paramétricas.

9 Prof. Susana López Sea el subespacio ectorial V = {(0,a,b,a+2b) a, b R}. Determinar la dimensión, una base y las ecuaciones cartesianas del subespacio ectorial. 12. Determinar la dimensión, una base y las ecuaciones paramétricas y cartesianas del subespacio ectorial engendrado por los ectores a = (1, 2, 0, 3),b = (3, 1, 1, 1),c = ( 1, 3, 1, 7) y d =(4, 3, 1, 2) 13. Dados los ectores a =(1, 1),b=(2, 1) y c =(1, 2) de R 2 (a) Comprobar que forman un sistema de generadores. (b) Comprobar que son linealmente dependientes. 14. Probar que el conjunto B = {(2, 3), (0, 2)} es una base del espacio ectorial R 2 y hallar las coordenadas del ector (5, 1) respecto de la base B. 15. Sabiendo que los ectores u,, y w son linealmente independientes, probar que los ectores u, u +, u + + w también lo son. 16. Determinar a y b para que el ector (1, 0,a,b) pertenezca al subespacio engendrado por (1, 4, 5, 2) y (1, 2, 3, 1). 17. Demostrar que el conjunto de polinomios B = {1,x,x 2,x 3 } es una base de P 3 (x),conjunto de polinomios de grado menor o igual a 3. Probar que B 0 = 1,x 1, (x 1) 2, (x 1) 3ª también es una base de P 3 (x). 18. Dados los subespacios ectoriales F, engendrado por los ectores {(1, 0, 2), (2, 0, 4)} y G determinado por las ecuaciones 2x + y + z =0, x y +2z =0. Hallar la dimensión, una base y las ecuaciones paramétricas y cartesianas de los subespacios F, G, F G y F + G. 19. Expresar el polinomio 2x 3 3x 2 +5x 6 P 3 (x) como combinación lineal de los elementos de la base de P 3 (x) {1, 1 x, x + x 2,x 2 + x 3 }. 20. En R 4 se consideran los subespacios W 1 y W 2 engendrados, respectiamente, por los sistemas de ectores: Hallar: (a) Bases y dimensión de W 1 y W 2. (b) Ecuaciones y base de W 1 + W 2. (c) Ecuaciones y base de W 1 W Dados los subespacios ectoriales de R 3 S 1 = {(1, 0, 1, 0}, (0, 1, 0, 1), (1, 1, 1, 1)} S 2 = {(1, 0, 0, 0), (2, 1, 0, 1), (5, 1, 0, 1)} W 1 = {(x, y, z) R 3 x + y =0} W 2 = {(x, y, z) R 3 y z =0}

10 Prof. Susana López 40 (a) Calcular W 1 W 2 y W 1 +W 2. (b) Comprobar si se erifica W 1 W 2 =R Consideremos los siguientes subespacios de R 3 : (a) F 1 = (x, y, z) R 3 z =0 ª F 2 = (x, y, z) R 3 x = y =0 ª F 3 = (x, y, z) R 3 x =0,y = z ª (b) Probar que R 3 = F 1 + F 2 + F 3. (c) Probar que F 1 F 2 F 3 = { 0} ytambiénquef 1 F 2 = { 0}, F 1 F 3 = { 0} y F 2 F 3 = { 0}. (d) Buscar dos descomposiciones diferentes para 0 de la forma 0 = con 1 F 1, 2 F 2, 3 F 3 (con lo que se demostrará que R 3 no es suma directa de F 1,F 2 y F 3. (e) Comprobar (con la misma finalidad) que (F 1 + F 2 ) F 3 6= { 0}.