elemento neutro y elemento unidad: inversa aditiva (opuesto): para todo λ K 0, existe un único µ K tal que λµ = 1;

Transcripción

1 3. Espacios Vectoriales 3.1. Definición de espacio vectorial Un cuerpo es una estructura algebraica (K, +, ) formada por un conjunto K no vacio y dos operaciones internas + y que verifican las siguientes propiedades: conmutativa: λ + µ = µ + λ y λµ = µλ para todo µ, λ K; asociativa: (λ + µ) + ν = λ + (µ + ν) y (λµ)ν = λ(µν) para todo λ, µ, ν K; elemento neutro y elemento unidad: λ + 0 = λ y λ1 = λ para todo λ K; inversa aditiva (opuesto): para todo λ K existe un único µ K tal que λ + µ = 0; inversa multiplicativa: para todo λ K con λ 0, existe un único µ K tal que λµ = 1; distributiva: λ(µ + ν) = λµ + λν para todo λ, µ, ν K. La inversa aditiva de λ se denota por λ. Restar en K se define como µ λ = µ + ( λ). La inversa multiplicativa de λ 0 se denota por 1/λ. Dividir en K se define como µ/λ = µ(1/λ). Ejemplos: (R, +, ) y (C, +, ) son cuerpos. 1

2 Dado un cuerpo (K, +, ), un espacio vectorial sobre K es una estructura algebraica (V, +, ) donde V es un conjunto no vacío, la suma es una aplicación que asigna un elemento u + v V para cualquier par u, v K, y el producto es una aplicación que asigna un elemento λv V para cualquier λ K y cualquier u V, y tiene las siguientes propiedades: conmutatividad: u+v = v+u para todo u, v V ; asociatividad: (u + v) + w = u + (v + w) y (λµ)v = λ(µv) para todo u, v, w V y para todo λ, µ K; elemento neutro: existe un elemento 0 V tal que v + 0 = v para todo v V ; inversa aditiva: para todo v V existe w V tal que v + w = 0. elemento unidad: el elemento unidad de K es elemento unidad de la multiplicación 1v = v para todo v V. propiedades distributivas: λ(u + v) = λu + λv y (λ + µ)u = λu + µu para todo u, v V y para todo λ, µ K. Los elementos de V reciben el nombre de vectores. 2

3 Propiedades: 1. En un espacio vectorial el elemento neutro es único. 2. Cada elemento de un espacio vectorial tiene un único opuesto. 3. 0v = 0 para todo v V. 4. λ0 = 0 para todo λ K. 5. ( 1)v = v para todo v V Subespacio Vectorial Un subconjunto U de V es un subespacio vectorial de V si también es un espacio vectorial (con la misma suma y la misma multiplicación por un escalar). Para comprobar que U V es un subespacio vectorial es suficiente comprobar que contiene el vector 0, que es cerrado al sumar vectores de U y que es cerrado al multiplicar cualquier escalar por un vector de U: 1. 0 U; 2. u + v U para todo u, v U; 3. λv U para todo v U y para todo λ K. 3

4 3.3. Subespacio generado por un sistema de vectores. Dependencia e independencia lineal Una combinación lineal de los vectores {v 1,..., v s } V es un vector de la forma donde λ 1,..., λ s K. v = λ 1 v λ s v s Obsérvese que 0 es combinación lineal de cualquier conjunto de vectores no vacío (basta tomar λ i = 0). Teorema Sea S = {v 1,..., v s } V. Entonces L(S) = {λ 1 v λ s v s V : λ 1,..., λ s K} es el menor subespacio vectorial de V que contiene a S. A L(S) lo llamaremos el subespacio vectorial generado por S. Un conjunto de vectores S = {v 1,..., v s } es un sistema generador de un espacio (o subespacio) vectorial V si L(S) = V. Es decir, si todo elemento de V se puede poner como combinación lineal de los vectores de S. 4

5 Un sistema de vectores S = {v 1,..., v s } es linealmente dependiente si existe λ 1,..., λ s K no todos nulos de modo que λ 1 v λ s v s = 0. S = {v 1,..., v s } es linealmente independiente si no es linealmente dependiente. Es decir, si λ 1 v λ s v s = 0 = λ 1 = = λ s = 0. Observación: si {v 1,..., v s } es un sistema de vectores linealmente dependiente, entonces uno de ellos se puede poner como combinación lineal del resto. Si λ 1 0 = v 1 = ( λ 2 λ 1 ) v ( λ ) s v s. λ 1 Tres vectores no nulos en R 2 son siempre linealmente dependientes. En general n + 1 vectores en R n son siempre linealmente dependientes Base y dimensión de un subespacio vectorial Teorema: Si S = {v 1,..., v s } es un sistema linealmente independiente que genera V, entonces todo elemento de V se puede escribir de modo único como combinación lineal de {v 1,..., v s }. 5

6 Una base de un espacio vectorial V es un sistema de vectores linealmente independiente que es sistema generador de V. Dado v V, a los únicos λ 1,..., λ s K tales que v = λ 1 v λ s v s, se les denomina coordenadas de v. Observación BASE = SIST GENERADOR + LINAL. INDEP. {(1, 0, 0), {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 1, 0), {(1, 0, 0), (0, 1, 0)} (0, 0, 1), (1, 1, 1)} (0, 0, 1)} Base R 3 Sist. gen. de R 3, pero no base Sist. lin. indep., pero no base Teorema: todas las bases de un espacio vectorial tienen el mismo número de vectores. Le dimensión de un espacio vectorial es el número de elementos que posee cualquier base suya. Ejemplos: dim(r n ) = n; dim(k t [x]) = t + 1; dim(m mn ) = mn. 6

7 Una base de un subespacio vectorial W V es un sistema de vectores linealmente independiente que es sistema generador de W. La dimensión de W es igual al número de vectores de cualquier base de W. {v 1,..., v s } l.i. rang {v 1,..., v s } sist. gen. de W v 1 v s v 1,..., v s W, rg v 1 = s v s = dim(w ) Ampliación de un sistema de vectores lineal independiente a una base de W. En este caso rang v 1 v s = s < dim(w ). Debemos añadir vectores de W de tal forma que el rango siga siendo el número de columnas e igual a la dimensión de W. 7

8 Reducción de un sistema generador a una base. En este caso rang v 1 v s = dim(w ) < s. Debemos quitar vectores de tal forma que el rango siga siendo igual a la dimensión de W e igual al número de columnas Coordenadas y ecuaciones de un subespacio vectorial Sea B = {v 1,..., v n } una base de V. El vector v tiene coordenadas (λ 1,..., λ n ) en base B si v = λ 1 v λ n v n. Para expresar esto escribiremos: v = (λ 1,..., λ n ) B. Las coordenadas nos permiten trabajar con cualquier espacio vectorial como si fuese K n. Teorema 1. El conjunto de soluciones de un sistema lineal homogéneo es un subespacio vectorial de K n de dimensión n (rango de la matriz del sistema). 2. Fijada cualquier base B = {v 1,..., v n } de V, las coordenadas de los vectores de un subespacio vectorial de dimensión k son el conjunto de soluciones 8

9 de un sistema de ecuaciones homogéneo con n k ecuaciones y n incógnitas. Al sistema de ecuaciones que describe un subespacio vectorial fijada una base, le llamaremos ecuaciones implícitas del subespacio. A la solución de este sistema lo llamaremos ecuaciones paramétricas del sistema. Formas de describir un subespacio vectorial 5HVROYHUVLVWHPD (F,PSOtFLWDV (F 3DUDPpWULFDV (OLPLQDUSDUiPHWURV 12 6( 38('( 6HSDUDU 3DUiP &RPELQDFLyQOLQHDO 'HORVYHFWRUHVGHODEDVH %DVH 6LVWHPDJHQHUDGRU (OLPLQDUFROXPQDVGHWDOIRUPDTXH (OUDQJRQRFDPELH\VHDLJXDODO GHFROXPQDV Q~P 9

10 3.6. Operaciones con subespacios vectoriales. Cambio de coordenadas La intersección de dos subespacios es un subespacio. La única forma de calcular la intersección es a través de las ecuaciones implícitas: las ecuaciones implícitas de U 1 U 2 se obtienen al juntar las ecuaciones implícitas de U 1 con las de U 2. En general, la unión de dos subespacios no es un subep. La suma de dos subespacios se define como U 1 + U 2 = {u 1 + u 2 : u 1 U 1, u 2 U 2 } y es un subespacio. Un sistema generador de U 1 + U 2 se obtiene uniendo un sistema generador de U 1 con uno de U 2. Fórmula de la dimensión: sean U 1, U 2 dos subespacios de V, entonces dim(u 1 ) + dim(u 2 ) = dim(u 1 U 2 ) + dim(u 1 + U 2 ) V es suma directa de U 1 y U 2, y lo denotamos por V = U 1 U 2 si 1. V = V = U 1 + U 2 ; 2. U 1 U 2 = {0}. U 1, U 2 se dice que son suplementarios. 10

11 Proposición: V = U 1 U 2 todo v V se escribe de forma única como v = u 1 + u 2, donde u 1 U 1 y u 2 U 2. Sean B = {e 1,..., e n }, B = {v 1,..., v n } bases de V. La matriz cambio de coordenadas entre B y B es M B (B ) = v 1 v s, donde las coordenadas de v 1,..., v s están en base B. Sea v V un vector cualquiera con coordenadas v = (λ 1,..., λ n ) B = (µ 1,..., µ n ) B. Entonces, M B (B ) µ 1. µ n B = λ 1. λ n B. Además, M B (B) = M B (B ) 1 11