MATEMÁTICAS I TEMA 1: Espacios Vectoriales. 1 Definición de espacio vectorial. Subespacios

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1 Sonia L. Rueda ETS Arquitectura. UPM Curso MATEMÁTICAS I TEMA 1: Espacios Vectoriales 1 Definición de espacio vectorial. Subespacios Dados dos conjuntos V y K se llama ley de composición externa en V con respecto de operadores en K a una aplicación K V V (k, v) kv. Si K es un cuerpo (ej. R o C) con operaciones internas (K, +, ), llamamos unidad de K al elemento neutro de (K {0}, ) y lo denotamos 1 K. Definición 1.1. Un conjunto no vacío V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K (también K-espacio vectorial) con las operaciones + : V V V interna y : K V V externa si se verifica: 1. (V, +) es un grupo commutativo o abeliano. Llamamos 0 a su elemento neutro. 2. u, v V, a, b K (a) a(u + v) = au + av (b) (a + b)u = au + bu (c) (ab)u = a(bu) (d) 1 k u = u. Escribiremos (V, K, +, ). Los elementos de un K-espacio vectorial se llaman vectores y los elementos del cuerpo escalares. Ejemplos Un cuerpo K es espacio vectorial sobre si mismo. El conjunto {0} es un espacio vectorial sobre K.

2 Sonia L. Rueda. ETS Arquitectura. UPM Mat I. Álgebra n N, K n = {(a 1, a 2,..., a n ) a i K, i = 1,... n} es un espacio vectorial sobre el cuerpo K con las operaciones: (a 1, a 2,..., a n ) + (b 1, b 2,..., b n ) = (a 1 + b 1, a 2 + b 2,..., a n + b n ) α(a 1, a 2,..., a n ) = (αa 1, αa 2,..., αa n ) con (b 1, b 2,..., b n ) K n y α K, es decir, tenemos el espacio vectorial (K n, K, +, ). 3. Dado un sistema de ecuaciones lineales homogéneo con coeficientes reales a 11 x a 1n x n = 0 a ( ) 21 x a 2n x n = 0 a m1 x a mn x n = 0 de m ecuaciones con n incógnitas. El conjunto de soluciones del sistema W = {(a 1, a 2,..., a n ) R n (a 1, a 2,..., a n ) es solución de (*)} R n es un espacio vectorial (W, R, +, ). 1.1 Subespacios Sea V un K-espacio vectorial. Definición 1.3. Un subconjunto no vacío U de V es un subespacio vectorial de V si α, β K y u, v U αu + βv U. Equivalentemente, U es subespacio vectorial si es un K-espacio vectorial con las operaciones de V. Ejemplos Dado un espacio vectorial V, entonces los conjuntos {0} y V son subespacios. 2. V = R 3, U = {(x, y, 0) x, y R} es subespacio de R El conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales homogéneo de m ecuaciones y n incógnitas con coeficientes reales es subespacio de R n.

3 Sonia L. Rueda. ETS Arquitectura. UPM Mat I. Álgebra Dado un vector no nulo u de un K-espacio vectorial V, el conjunto es un subespacio vectorial de V. U = {au a K} Definición 1.5. Se dice que un vector u V es combinación lineal de los vectores u 1,..., u n si existen escalares a 1,..., a n K tal que u = a 1 u a n u n = n a i u i. i=1 Proposición 1.6. La intersección de dos subespacios es un subespacio. Proposición 1.7. Sea S un conjunto no vacío de V. Entonces el conjunto < S >= {u V u = n a i u i, a i K, u i S} i=1 es un subespacio vectorial de V que recibe el nombre de subespacio engendrado por S. Obsérvese que: 1. S < S >. 2. Todo subespacio W tal que S W verifica < S > W. El subespacio < S > coincide con la intersección de todos los subespacios que contienen a S. Ejemplo 1.8. Sea S = {(1, 0, 0), (0, 1, 1)} R 3. Entonces < S >= {(a, b, b) a, b R}. Definición 1.9. Se dice que un K-espacio vectorial V es finitamente generado si existe un conjunto finito de vectores G tal que V =< G >, diremos que el conjunto G es un sistema generador de V.

4 Sonia L. Rueda. ETS Arquitectura. UPM Mat I. Álgebra Dependencia lineal. Bases. Dimensión. Definición 2.1. Sea {u 1,..., u n } un conjunto de n vectores de un K-espacio vectorial V. Se dice que {u 1,..., u n } es un sistema linealmente independiente (sistema libre o familia libre) si la única combinación lineal que vale 0 V es la que tiene todos los coeficientes nulos; esto es, dados λ 1,..., λ n K si λ 1 u λ n u n = 0 λ 1 =... = λ n = 0. En otro caso, se dice que {u 1,..., u n } es un sistema linealmente dependiente, o un sistema ligado o que los vectores u 1,..., u n son linealmente dependientes, es decir λ 1,..., λ n K no todos nulos tal que λ 1 u λ n u n = 0. Ejemplos u 1 = (1, 0, 0), u 2 = (0, 3, 0), u 3 = (0, 0, 5) son linealmente independientes en (R 3, R). 2. {(1, 2, 0), (2, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 6)} es un sistema ligado. Observaciones Si 0 V es miembro de un sistema de vectores S, entonces S es un sistema linealmente dependiente. 2. S = {u}, u 0 es linealmente independiente. S = {u, v} es linealmente dependiente u = αv, con α K. 3. Si S = {u 1,..., u n } es linealmente dependiente. Dado u V cualesquiera entonces S {u} es también linealmente dependiente. 4. Si S = {u 1,..., u n } es linealmente independiente. Entonces S {u i } es linealmente independiente para cualquier i {1,..., n}. Definición 2.4. Dos sitemas de vectores de V, S y T son equivalentes si < S >=< T >. Proposición 2.5. Todo sistema es equivalente al sistema obtenido al añadirle un vector combinación lienal de los vectores del sistema. A continuación enumeramos algunas propiedades de la dependencia y la independencia lineal.

5 Sonia L. Rueda. ETS Arquitectura. UPM Mat I. Álgebra Proposición 2.6. Sea V espacio vectorial sobre K. 1. {u 1,..., u n } es un sistema linealmente dependiente sií alguno de sus vectores se puede poner como combinación lineal de los demás (depende linealmente de los demás). 2. Si w V depende linealmente de v 1,..., v n y estos dependen a su vez de otros vectores u 1,..., u m entonces w depende de u 1,..., u m. 3. Dos sistemas S y T son equivalentes sií todo vector de S depende linealmente de los vectores de T y recíprocamente. 4. Sea S un sistema linealmente independiente y v un vector que no depende linealmente de los vectores de S, entonces S {v} es un sistema linelmente independiente. El siguiente resultado es el Teorema fundamental de la independencia lineal. Teorema 2.7. Sea V un K-espacio vectorial engendrado por un cierto sistema G = {v 1,..., v n } de un número finito de vectores. Si I = {u 1,..., u m } es un sistema linealmente independiente de vectores de V entonces m n. Definición 2.8. Sea V un K-espacio vectorial finitamente generado. Se dice que un sistema de vectores B = {v 1,..., v n } de V es una base de V si verifica, 1. B es sistema generador. 2. B es sistema linealmente independiente. Ejemplos Sea e i el vector de K n cuyas entradas son todas cero excepto la i-ésima que vale 1. Entonces B = {e 1,..., e n } es una base de K n. 2. Sea E ij la matriz m n que tiene todas sus entradas nulas excepto la entrada ij que vale 1. es una base de M m n (R). B = {E ij i = 1,..., m, j = 1,..., n} A continuación se enuncia el Teorema de existencia de base.

6 Sonia L. Rueda. ETS Arquitectura. UPM Mat I. Álgebra Teorema Cualquier sistema generador de un espacio vectorial finitamente generado, V 0 incluye una base de V. En consecuencia, todo espacio vectorial V 0 finitamente generado tiene alguna base. Proposición Sea V un K-espacio vectorial finitamente generado con base B = {v 1,..., v n }. Entonces todo vector de V se puede expresar de forma única como combinación lineal de los vectores de B. Definición Sea V un K-espacio vectorial finitamente generado con base B = {v 1,..., v n }. Las coordenadas de un vector v V es la n-upla de escalares (λ 1,..., λ n ) K n such that v = λ 1 e λ n e n de forma única. El siguiente resultado se conoce como Teorema de la dimensión. Teorema Todas las bases de un espacio vectorial V 0 finitamente generado tienen igual número de vectores. Definición Se llama dimensión de un espacio vectorial V finitamente generado al número de elementos de una base de V y se denota por dimv. Se conviene en que el espacio V = {0} tiene dimensión 0. Propiedades de las bases y la dimensión. Si S = {u 1,..., u n } es un sistema de vectores de V con dimv finita, entonces: 1. Si S es sistema generador, entonces n dimv. 2. Si S es sistema independiente, entonces n dimv. 3. Si S es sistema generador de V y dimv = n, entonces S es una base. 4. Si S es sistema libre de V y dimv = n, entonces S es una base. Observaciones. 1. dimv es el número máximo de elementos de un sistema de vectores de V linealmente independiente. 2. dimv es el número mínimo de elementos de un sistema de vectores que es sistema generador. El siguiente es el Teorema de prolongación de una base.

7 Sonia L. Rueda. ETS Arquitectura. UPM Mat I. Álgebra Teorema Se V un K-espacio vectorial de dimensión finita. sistema libre de vectores puede completarse hasta obtener una base. Todo Definición El rango de un sistema de vectores S = {u 1,..., u n } de V es la dimensión del subespacio que engendran: rango(s) = dim < S >. Definición El rango de una matriz es el mayor número de vectores fila linealmente independientes que posee (o equivalentemente de vectores columna). Sea A una matriz cuadrada de orden m n. El rango de A es igual al máximo orden de los menores no nulos. Ecuaciones cartesianas de un subespacio. Sea V un K-espacio vectorial finitamente generado con base B = {v 1,..., v n }. Dado un subespacio U de V, existe un sistema de ecuaciones lineales homogéneo S tal que el conjunto de soluciones de S es igual al conjunto de coordenadas de todos los vectores de U en la base B, esto es Sol(S) = {(λ 1,..., λ n ) K n λ 1 e λ n e n }. Además existe un sistema con dim(v ) dim(u) ecuaciones y este recibe el nombre de sistema de ecuaciones cartesinas de U en la base B. Las ecuaciones paramétricas de U son una solución paramétrica del sistema de ecuaciones cartesianas de U. 3 Operaciones con subespacios Sea V un espacio vectorial sobre K. Dados U 1, U 2 subespacios de V. Entonces: 1. U 1 U 2 es un subespacio vectorial de V. 2. En general U 1 U 2 no es un subespacio. Sean U 1 = {(x, 0) R 2 x R} U 2 = {(0, y) R 2 y R} entonces U 1 U 2 no es subespacio ya que si u 1 = (1, 0) y u 2 = (0, 1) entonces u 1 + u 2 = (1, 1) / U 1 U 2.

8 Sonia L. Rueda. ETS Arquitectura. UPM Mat I. Álgebra Definición 3.1. Sean U 1 y U 2 subespacios de V. Se llama suma de U 1 y U 2, y se denota U 1 + U 2 al conjunto U 1 + U 2 = {u 1 + u 2 u 1 U 1, u 2 U 2 }. Proposición 3.2. El conjunto U 1 + U 2 es un subespacio de V. Es el menor subespacio que contiene a U 1 y a U 2. Definición 3.3. Sean U 1 y U 2 subespacios de V. Se dice que U 1 + U 2 es suma directa y se escribe U 1 U 2 si U 1 U 2 = {0 V }. Proposición 3.4. Son equivalentes: 1. U 1 + U 2 es suma directa. 2. u 1 + u 2 = 0 V u i = 0 V, i = 1, 2 3. Todo vector de U 1 + U 2 puede expresarse de forma única como suma de un vector de U 1 y otro de U 2, esto es, si u 1 + u 2 = u 1 + u 2, con u i, u i U i, i = 1, 2 u i = u i, i = 1, 2. Suma directa de r subespacios de un espacio vectorial. Sean U 1,..., U r subespacios del K-espacio vectorial V. Entonces U U r es suma directa si dado u U U r existen unos únicos vectores u 1,..., u r, u i U i tal que u = u u r. Equivalentemente, U i ( j i U j ) = {0 V }. Definición 3.5. Dos subespacios U 1, U 2 de un K-espacio vectorial V son suplementarios si y sólo sí U 1 U 2 = V. Observaciones 1. Todo subespacio tiene algún suplementario. 2. Sean U 1 y U 2 son subespacios suplementarios de V. Si B 1 es una base de U 1 y B 2 es una base de U 2 entonces B 1 B 2 es una base de V. Fórmula de las dimensiones o de Grassman. Sean U 1 y U 2 subespacios de V. Entonces dimu 1 + dimu 2 = dim(u 1 + U 2 ) + dim(u 1 U 2 ).