y λu = Idea. Podemos sumar vectores y multiplicar por un escalar. El resultado vuelve a ser un vector Definición de espacio vectorial.

Transcripción

1 Espacios vectoriales Espacios y subespacios R n es el conjunto de todos los vectores columna con n componentes. Además R n es un espacio vectorial. Ejemplo Dados dos vectores de R por ejemplo u = 5 v = 8. y λ =. un escalar. Calculamos u + v = 6. 6 y λu = Idea. Podemos sumar vectores y multiplicar por un escalar. El resultado vuelve a ser un vector Definición de espacio vectorial. Definición Un conjunto no vacío V es un espacio vectorial y sus elementos se llaman vectores se cumplen las siguientes propiedades: Dados tres vectores u v y w cualesqueira y dos escalares λ y µ se tiene. La suma de u y v denotada por u + v es un elemento de V.. u + v = v + u.. u + v + w = u + v + w. 4. Existe un vector cero en V tal que u + = u. 5. Para cada u en V existe un vector u en V tal que u + u =. 6. El múltiplo escalar de u por λ denotado por λu es un elemento de V. 7. λu + v = λu + λv. 8. λ + µu = λu + µu. 9. λµu = λµu.. u = u. Ejemplo R n es un espacio vectorial. Ejercicio Comprobar que P n = {px = a + a x + + a n x n : a... a n R} el conjunto de todos los polinomios de grado menor o igual que n es un espacio vectorial... Subespacios vectoriales. Dado un espacio vectorial buscamos un subconjunto dentro de ese espacio que también tenga estructura de espacio vectorial. Definición Dado un espacio vectorial V un subespacio vectorial de V es un subconjunto H que cumple:. H.

2 . Si u v H entonces u + v H.. Si λ R y u H entonces λu H. Ejemplo 4 Los subespacios vectoriales de R son:. Rectas que pasan por el origen. Planos que pasan por el origen. R. Ejemplo 5 H = {x y T : x + y = } no es un subespacio de R porque H. Ejercicio 6 Es el conjunto H = {x x T : x x R} un subespacio de R?.. Subespacio generado por un conjunto. Buscamos una forma compacta de describir un subespacio. Esta forma no es única. Idea. Escribimos todos los vectores del subespacio como combinación lineal de unos vectores dados Ejemplo 7 Sea H = {a b b a a b T : a b R}. Este espacio se puede escribir como a b b a a = a + b = av + bv b luego H = Gen{v v } y es un subespacio de R 4. Espacios nulos y columna Objetivo. Caracterizar el conjunto de soluciones de Ax = el conjunto de vectores b para los que Ax = b tiene solución.. Espacio nulo. Un sistema lineal homogéneo Ax = siempre tiene solución. Cuando hay infinitas soluciones cómo las caracterizamos? Definición El espacio nulo de una matriz A de dimensión m n NA es el conjunto de todas las soluciones de Ax = ; es decir NA = {x R n : Ax = }. Observaciones. NA siempre contiene al siempre es solución de Ax =. NA es un subespacio de R n. Ejemplo 8 Encontrar el espacio nulo de A =

3 es un subespacio de R 5. Buscamos la solución general de Ax = : 6 7 A = La solución general es 5 y por tanto NA = {u v w} variables libres: x x 4 x 5. x = λ + λ + λ = λ u + λ v + λ w. 5.. Espacio columna. Dado un sistema Ax = b para que vectores b hay solución? Definición 4 El espacio columna de una matriz A de dimensión m n CA es el conjunto de todas las combinaciones lineales de las columnas de A; es decir CA = {b R m : b = Ax para algún x R n }. Observaciones. CA es un subespacio de R m. Ejemplo 9 Encontrar el espacio columna de A = es un subespacio de R 4. Buscamos las columnas que dan información sobre el sistema: A = Las variables principales del sistema están en la columna y 5 luego CA = {v v v } con 5 v = v 5 = v = 5. 5 Independencia lineal y sistemas generadores... Independencia lineal. Un subespacio puede estar generado por muchos vectores pero puede que haya algunos vectores repetidos iguales o múltiplos unos de otros. Idea. Buscamos vectores que no den información redundante aunque no sea suficiente sobre el subespacio.

4 Definición 5 Los vectores {v... v p } son linealmente independientes si la ecuación vectorial tiene sólo la solución trivial λ = = λ p =. De forma equivalente λ v + + λ p v p = Definición 6 Las columnas de A = [v... v p ] son linealmente independientes si el sistema Aλ = es compatible determinado es decir λ = es la única solución. Ejemplo Los vectores v = v = v = no son linealmente independientes porque el sistema [v v v ]λ = no tiene solución única es decir NA {}... Sistemas generadores. Cómo describimos un espacio a través de unos poco vectores? Idea. Buscamos vectores que den información suficiente aunque sea demasiada sobre el subespacio. Definición 7 Los vectores {v... v p } generan el espacio V V = Gen{v... v p } si cualquier vector de V se puede escribir como combinación lineal de {v... v p }. Ejemplo El conjunto {v v v } con v = v = v = 4 7 es un conjunto generador de R. 4 Bases dimensiones y rango 4.. Bases. Los conjuntos linealmente independientes pueden no dar información suficiente sobre un subespacio. Los conjuntos generadores pueden dar información demás sobre un subespacio. Idea. Buscamos un conjunto de vectores lo suficientemente grande para que genere todo el espacio pero lo suficientemente pequeño para que sus vectores sean linealmente independientes. Definición 8 Sea H un subespacio vectorial de V. El conjunto de vectores B = {b... b p } es una base de H si. B es un conjunto linealmente independiente. B genera H. Importante. Todo elemento de V se puede escribir como combinación lineal de los elementos de B. La forma es única. Ejemplo La base más importante es la base canónica. En R n dimensión n es decir: e =. e =.... e n =.. corresponde a las columnas de la matriz identidad de 4

5 Ejercicio Encontrar una base para NA siendo A = Indicación: Qué vectores generan NA? Son linealmente independientes?. Observación. En un espacio vectorial hay infinitas bases tienen algo en común? 4.. Dimensiones y Rango. Los subespacios vectoriales tienen infinitos elementos pero quedan caracterizados por los elementos de una base. Cuál es el tamaño de un subespacio? Definición 9 La dimensión de un subespacio vectorial es el número de elementos de una base. Ejemplo 4 R n tiene dimensión n. Ejemplo 5 Subespacios de R y su dimensión Subespacio Dimensión {} Rectas que pasan por el origen Planos que pasan por el origen R Una matriz A tiene dimensión m n. Pero puede que no sea la dimensión correcta si pensamos en el sistema Ax = b. Por qué? Definición Dada una matriz A. El rango de A ra es el número de entradas principales de A. Ejercicio 6 Si A es m n por qué se tiene ra mín{m n}? Cuál es la dimensión de CA y de NA? Importante. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: Las columnas de A de dimensión m n son linealmente independientes el rango de A es n Ejercicio 7 Dada la matriz Calcular la dimensión de CA y de NA. Cuál es el rango? 6 7 A Importante. Dada una matriz A de m n y rango r se tiene dimca + dimna = r + n r = n. 5

6 5 Cambio de base Idea. Un mismo vector v se puede representar de muchas maneras en función de la base que elijamos para describir el espacio. El vector es único pero su representación es distinta. Ejemplo 8 Dadas las bases de R B = { } y B = { } y el vector v = T tenemos las siguientes representaciones = + y = +. Por tanto las coordenadas de v son v = = B B Definición Sea B = {b... b n } una base de V y v V. Las coordenadas de v es la base B son los escalares x... x n tales que v = x b + + x n b n Se denota por [x] B y se entiende que si no se especifica base se trata de las coordenadas en la base canónica. Ejemplo 9 Dada las base de R { } B = para hallar las coordenadas del vector v = 4 5 T es términos de esta base planteamos el sistema 4 x 4 = x + x = 5 5 x. El sistema tiene solución única Por qué? y obtenemos [v] B =. Importante. Dadas las bases B = {b... b n } y B = {b... b n} de un espacio vectorial V y v V se tiene [v] B = P B B[v] B donde P B B es la matriz de cambio de base y viene dada por P B B = [b ] B... [b n ] B. Además P B B = P B B Ejercicio Dadas las bases de R B = { } y C = { } hallar las matrices de cambio de base P C B y P B C. 6