Matrices. Definiciones básicas de matrices. José de Jesús Angel Angel.

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1 Matrices Definiciones básicas de matrices wwwmathcommx José de Jesús Angel Angel MathCon c

2 Contenido 1 Matrices 2 11 Matrices cuadradas 3 12 Matriz transpuesta 4 13 Matriz identidad 4 14 Matriz diagonal 5 15 Matriz triángular 5 16 Matrices binarias 6 2 Operaciones entre matrices 7 21 Suma entre matrices 7 22 Producto por un escalar 8 23 Producto de matrices 9 3 Matriz inversa Obtención de matriz inversa por medio de Operaciones Elementales 12 4 Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices 21

3 Matrices 1 Definición 1 Una matriz real es una función A de [1,, n] [1,, m], al conjunto de los números reales R, y decimos que A tiene orden n m Una matriz A se representa con todos sus valores de manera usual como un arreglo de n filas y m columnas: a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m A a n1 a n2 a nm También la podemos representar como A a ij, donde 1 i n, 1 j m Ejemplos de matrices: 1 Ejemplo de una matriz 2 2: A a11 a 12 a 21 a 22 Como función la matriz anterior se escribe A : [1,, n] [1,, m] R, donde: 1, 1 a 11 1, 2 a 12 2, 1 a 21 2, 2 a 22

4 11 Matrices cuadradas 3 2 Ejemplo de una matriz 3 3: A a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Como función se escribe A : [1,, 3] [1,, 3], donde: 3 Ejemplo de una matriz 3 2: A 4 Ejemplo de una matriz 2 3: A 11 a a a a a a a a a 33 a 11 a 12 a 21 a 22 a 31 a 32 a 21 a 22 a 23 a11 a 12 a 13 5 Ejemplo de una matriz 1 3: A a 11 a 12 a 13 6 Ejemplo de una matriz 3 1: A 11 Matrices cuadradas a 11 a 21 a 31 Las matrices cuadradas son aquellas que tienen el mismo número de filas que de columnas Éste conjunto de matrices suele escribirse como M n Las matrices cuadradas tienen propiedades particulares A a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33

5 12 Matriz transpuesta 4 12 Matriz transpuesta Dada una matriz A se define la matriz transpuesta A T la transpuesta,como aquella que cambia las filas por columnas, o las columnas por filas, es decir: Si A a ij, entonces A T a ji Para una matriz en M 3 : Si A a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33, entonces A T a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 Ejemplo: Si A , entonces A T Propiedades de la matriz transpuesta: 1 A T T A, la transpuesta de una transpuesta es igual a la matriz 2 A + B T A T + B T, la transpuesta de una suma, es la suma de las transpuestas 3 AB T B T A T, la transpuesta de un producto es el producto de las transpuestas conmutado 4 ra T ra T, la transpuesta de un producto escalar es el producto escalar de la transpuesta 5 Si A A T, la matriz se llama simétrica 6 Si A T A, la matriz se llama antisimétrica 13 Matriz identidad En M n existe la matriz identidad, que consiste en una matriz con unos en la diagonal es decir donde i j y ceros en otro lugar o sea donde i j Por ejemplo en M 3,

6 14 Matriz diagonal 5 I Formalmente I n a ij { 0 si i j 1 si i j 14 Matriz diagonal La matriz es diagonal si tiene valores cero fuera de la diagonal En la diagonal es posible tener ceros o no Si a ij 0, con i j A a a a Matriz triángular Una matriz es triángular superior, si tiene valores cero abajo de la Si a ij 0, con i > j A a 11 a 12 a 13 0 a 22 a a 33 Una matriz es triángular inferior, si tiene valores cero arriba de la diagonal Si a ij 0, con i < j A a a 21 a 22 0 a 31 a 32 a 33

7 16 Matrices binarias 6 16 Matrices binarias Una matriz es binaria, si sus entradas toman sólo dos valores diferentes, podemos tomar los valores de 0, 1 A Las matrices binarias tienen varias aplicaciones, los valores 0, 1 representan elementos de un campo finito de dos elementos, esto quiere decir que los elementos 0, 1 se pueden multiplicar y sumar, y en ambos casos forman un grupo Abeliano Es decir: + : {0, 1} {0, 1} {0, 1}, Para esta suma: 1 La suma es conmutativa 2 La suma es asociativa 3 Existe el neutro aditivo, 0 4 Existe el inverso aditivo, a : {0, 1} {0, 1} {0, 1}, Para este producto: 1 El producto es conmutativo 2 El producto es asociativo 3 Existe el neutro multiplicativo, 1 4 Existe el inverso multiplicativo, a

8 Operaciones entre matrices 2 21 Suma entre matrices La suma esta definida sólo para matrices del mismo orden, es decir, sólo se puede sumar una matriz de orden n m con otra de orden n m La suma se realiza entrada por entrada, es decir: Si A a ij, y B b ij, entonces A + B a ij + b ij Ejemplos de suma de matrices: 1 Una matriz de orden 2 2 más otra del mismo orden Una matriz de orden 3 2 más otra del mismo orden Una matriz de orden 1 3 más otra del mismo orden

9 22 Producto por un escalar Una matriz de orden 1 3 más otra del mismo orden Una matriz 3 3 sumada con otra del mismo orden a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 + b 11 b 12 b 13 b 21 b 22 b 23 b 31 b 32 b 33 a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 13 + b 13 a 21 + b 21 a 22 + b 22 a 23 + b 23 a 31 + b 31 a 32 + b 32 a 33 + b 33 Las matrices con la suma forman un grupo Abeliano, es decir: 1 La suma de matrices es conmutativa, A + B B + A 2 La suma de matrices es asociativa, A + B + C A + B + C 3 Existe la matriz neutro aditivo cero, tal que A A A 4 Para toda matriz A, existe inverso aditivo la matriz A 22 Producto por un escalar El producto de un escalar número real r por una matriz ra, se define de la forma natural, es decir, multiplicar cada entrada de A por el número r El orden de A puede ser cualquiera Si A a ij, entonces ra ra ij Ejemplos 1 Una matriz 2 2 por r

10 23 Producto de matrices 9 2 Una matriz 3 2 por r Una matriz 3 3 por r r a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ra 11 ra 12 ra 13 ra 21 ra 22 ra 23 ra 31 ra 32 ra Producto de matrices El producto de matrices esta definido, entre A, matriz de orden n p, por B de orden p m Dando como resultado C de orden n m Si A a ij, y B b ij, entonces C c ij donde c ij p k1 a ikb kj Ejemplos de producto de matrices: 1 Una matriz 2 2 por otra de orden El proceso es el siguiente: a Se multiplica la primera fila de la primera matriz por la primera columna de la segunda _ b Se avanza de fila y se multiplica la segunda fila de la primera matriz por la primera columna de la segunda _ _ c De manera similar se multiplica la primera fila de la primera matriz por la segunda columna de la segunda

11 23 Producto de matrices _ d Avanzando de fila finalmente, se multiplica la segunda fila de la primera matriz por la segunda columna de la segunda Una matriz 2 2 por otra de orden Una matriz 2 2 por otra de orden / / / /2 3 7/2 4 Una matriz 2 3 por otra de orden / / / / Una matriz A, 3 3 por otra B de orden 3 3 A AB a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 B b 11 b 12 b 13 b 21 b 22 b 23 b 31 b 32 b 33 a 11b 11 + a 12 b 21 + a 13 b 31 a 11 b 12 + a 12 b 22 + a 13 b 32 a 11 b 13 + a 12 b 23 + a 13 b 33 a 21 b 11 + a 22 b 21 + a 23 b 31 a 21 b 12 + a 22 b 22 + a 23 b 32 a 21 b 13 + a 22 b 23 + a 23 b 33 a 31 b 11 + a 32 b 21 + a 33 b 31 a 31 b 12 + a 32 b 22 + a 33 b 32 a 31 b 13 + a 32 b 23 + a 33 b 33,

12 23 Producto de matrices 11 Resumiendo: 1 La suma de matrices forma un grupo Abeliano, es decir, es conmutativa, es asociativa, existe la matriz cero 0, y para toda matriz A, existe la matriz inversa aditiva A 2 Para el producto de matrices: éste NO es conmutativo, si es asociativo, existe la matriz neutra I para matrices cuadradas, y NO para toda matriz A, existe su matriz inversa multiplicativa A 1

13 Matriz inversa 3 Una matriz cuadrada A tiene inversa, si existe la matriz A 1 tal que A A 1 A 1 A I Se dice también que A es invertible o no singular Observación: No siempre existe la matriz inversa 31 Obtención de la matriz inversa por medio de Operaciones Elementales La matriz inversa de una matriz A se puede obtener aplicando un método similar al método de Gauss- Jordan para resolver SEL Operaciones elementales sobre filas de matrices 1 Cambio de dos filas 2 Multiplicar una fila por una constante 3 Sumar el múltiplo de una fila a otra fila Sea A una matriz, entonces existe la inversa A 1, si se puede calcular por el siguiente procedimiento 1 Considere la matriz A I, que significa ajuntar a A la matriz identidad I 2 Aplicar las operaciones elementales a las filas de A suficientes para convertirla en la matriz I 3 Las mismas operaciones elementales hay que aplicarlas al mismo tiempo a I adjuntada

14 31 Obtención de la matriz inversa por medio de Operaciones Elementales 13 4 La matriz de la derecha que resulte de 3, es la matriz inversa I A 1 Observación: si no es posible aplicar este método, entonces la matriz inversa no existe Ejemplos: Ejemplo 1 Sea A , encontrar la matriz inversa A 1, y comprobar el resultado a Adjuntar a A la matriz identidad I, b Aplicar F 2 3F 1 + F 2 3F F F c Obtenemos d Aplicar ahora F 1 F 2 + F 1 F F F e Obtenemos f Finalmente F 2 1 g Obtenemos F /2 1/2 2 1 Por lo tanto la inversa A 1 es 3/2 1/2 2 1 h Comprobando: 3/2 1/2 1 1 Ejemplo 2 Sea A a Considerar: /2 3/2 6/2 4/2, encontrar la matriz inversa A 1, y comprobar el resultado

15 31 Obtención de la matriz inversa por medio de Operaciones Elementales 14 b Aplicar F 2 2F 1 + F 2 2F F F c Obtenemos d Aplicar ahora F 1 F 2 + 3F 1 F F F e Obtenemos f Finalmente F F 1, F F /3 1/3 g Obtenemos 0 1 2/3 1/3 1/3 1/3 Por lo tanto la inversa A 1 es 2/3 1/ /3 1/3 h Comprobando: 2 1 2/3 1/3 5 3 Ejemplo 3 Sea A a Considerar: b Aplicar F 2 2F 1 + 5F 2 1/3 + 2/3 1/3 1/3 2/3 2/3 2/3 + 1/3, encontrar la matriz inversa A 1, y comprobar el resultado 2F F F c Obtenemos d Aplicar ahora F 1 3F 2 + 4F 1 3F F F

16 31 Obtención de la matriz inversa por medio de Operaciones Elementales e Obtenemos f Finalmente F F 1, F F /2 3/4 g Obtenemos 0 1 1/2 5/4 1/2 3/4 Por lo tanto la inversa A 1 es 1/2 5/ /2 3/4 h Comprobando: 2 2 1/2 5/ /2 3/2 15/4 + 15/4 2/2 2/2 6/4 + 10/4 1 1 Ejemplo 4 Sea A 2 2 Ejemplo 5 Sea A a Considerar: b Aplicar F 2 2F 1 + F 2, encontrar la matriz inversa A 1, y comprobar el resultado 2F F F c Obtenemos d En este caso no se puede aplicar el método, por lo tanto la matriz inversa NO existe Observemos que F 2 es múltiplo de F a Considerar:, encontrar la matriz inversa A 1, y comprobar el resultado b Aplicar F 2 F 1 + F 2 F F F

17 31 Obtención de la matriz inversa por medio de Operaciones Elementales 16 c Obtenemos d Aplicar ahora F 3 F 2 + F 3 F F F e Obtenemos f Ahora; F 2 F 3 + F 2 F 1 3F 3 + F F F F g Obtenemos h Ahora; F 1 2F 2 + F 1 2F F F i Obtenemos j Por último F 2 F 2 k Finalmente obtenemos Por lo tanto la inversa A 1 es l Comprobando: 3F F F

18 31 Obtención de la matriz inversa por medio de Operaciones Elementales Ejemplo 6 Sea A a Considerar:, encontrar la matriz inversa A 1, y comprobar el resultado b Aplicar F 3 F 1 + F 3 F F F c Obtenemos d Aplicar ahora: F 2 3F 3 + F 2 F 1 3F 3 + F F F F e Obtenemos f Ahora; F 1 F 2 + F 1 F F F g Obtenemos h Por último F 2 F 2 / F F F

19 31 Obtención de la matriz inversa por medio de Operaciones Elementales 18 i Finalmente obtenemos /2 1/2 3/ Por lo tanto la inversa A 1 es 3/2 1/2 3/ j Comprobando: /2 1/2 3/ Ejemplo 7 Sea A a Considerar:, encontrar la matriz inversa A 1, y comprobar el resultado b Aplicar F 2 F 1 + F 2 F F F c Obtenemos d Aplicar F 3 F 2 + F 3 F F F e Obtenemos f Aplicar ahora: F 2 2F 3 + F 2 F 1 F 3 + F

20 31 Obtención de la matriz inversa por medio de Operaciones Elementales 19 2F F F g Obtenemos h Ahora; F 1 F 2 + F 1 F F F i Obtenemos j Por último F 3 F 3 k Finalmente obtenemos Por lo tanto la inversa A 1 es F F F l Comprobando: Observación importante: el orden para hacer ceros las entradas dentro de la matriz debe seguirse siempre la siguiente secuencia a 11 6 a 5 a 1 a a 22 4 a 2 a 3 a a 33

21 31 Obtención de la matriz inversa por medio de Operaciones Elementales 20 Las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1 Existe la matriz inversa 2 La matriz es equivalente por OE a la matriz Identidad

22 Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices 4 Un sistema de ecuaciones lineales, ya sea homogéneo o no homogéneo puede ser escrito mediante matrices Definición 2 Considere el siguiente sistema de m ecuaciones con n incógnitas: a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x a 2n x n b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x a 3n x n b 3 a m1 x 1 + a m2 x 2 + a m3 x a mn x n b m, donde las constantes a 11,, a 1n, a 12, a 2n,, a m1,, a mn, b 1,, b m R, y las incógnitas x 1,, x n representan también números reales Entonces tenemos la siguiente representación matricial: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a 31 a 32 a 3n x 1 x 2 x 3 b 1 b 2 b 3 a m1 a m2 a mn x n b m Escrito como Ax b

23 4 Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices 22 Proposición 1 El sistema de ecuaciones lineales SEL Ax b tiene una única solución, si y sólo si la matriz A tiene inversa En este caso la solución es x A 1 b Ahora tenemos las siguientes equivalencias: 1 Existe la matriz inversa 2 La matriz es equivalente por OE a la matriz Identidad 3 El sistema homogéneo Ax 0 tiene como única solución a la trivial 4 El sistema Ax b, tiene una única solución