Las matrices Parte 1-2 o bachillerato

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Julia Hidalgo Rodríguez
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1 Parte 1-2 o bachillerato wwwmathandmatesurlph 2014

2 1 Introducción Generalidades 2 Definición Ejercicio 1 : Suma de dos matrices cuadradas 2x2 Ejercicio 2 : Suma de dos matrices cuadradas 3x3 Propiedades 3 Producto de un número real por una matriz Ejercicio 3 : Producto de un número real por una matriz 3x3 Producto de matrices Ejercicio 4 : Producto de las dos matrices siguientes Potencia de matriz 4

número real por una matriz Ejercicio 3 : Producto de un número real por una matriz 3x3

3 Debemos saber que las matrices son simplemente tablas de datos organizadas en lineas y columnas que facilitan información de la relación existente entre dos magnitudes El estudio de ecuaciones lineales y las matrices aparecen en la estadística, en la economía, en la informática Es una parte fundamental dentro de los lenguajes de programación

estudio de ecuaciones lineales y las matrices aparecen en la estadística, en la

4 Generalidades Las más sencillas : Matriz fila : A 1 3 (matriz teniendo una fila y tres columnas ( a11 a 12 a 1n Matriz columna : A 3 1 a 11 a 21 a m1

5 Las más tratadas : Matriz cuadrada : A 2 2 ( a11 a 12 a 21 a 22 A 3 3 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33

6 La general : La matriz de dimensión m n, notado A o (a ij m n : a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn

7 Matriz nula : A 2 2 ( Matriz unidad o identidad : I 2 2 = I (

8 Matriz diagonal : Matriz cuadrada en la que todos los elementos que no están en la diagonal son nulos Matriz escalar : A = k I Matriz triangular superior : Matriz cuadrada en la que todos los elementos que están debajo de la diagonal son nulos Matriz opuesta : Matriz cuyos elementos son los opuestos de los elementos de la matriz inicial Matriz traspuesta A t : matriz que se obtiene al intercambiar en la matriz A sus filas por sus columnas Ejemplo : A= y A =( t

nulos Matriz opuesta : Matriz cuyos elementos son los opuestos de los elementos de la matriz inicial Matriz traspuesta A

9 Es obligatorio, para sumar (o restar dos matrices, que ellas tienen las mismas dimensiones y se suman (o resta elemento a elemento a 11 a 12 a 1n b 11 b 12 b 1n a 21 a 22 a 2n + b 21 b 22 b 2n a m1 a m2 a mn b m1 b m2 b mn = a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 1n + b 1n a 21 + b 21 a 22 + b 22 a 2n + b 2n a m1 + b m1 a m2 + b m2 a mn + b mn

a 21 a 22 a 2n + b 21 b 22 b 2n a m1 a m2 a mn b m1 b m2 b mn = a 11 + b 11 a 12 +

10 Ejemplo 1 : Sumar las dos matrices siguientes ( ( = Solución ( = ( 3 1 = 4 7

11 Sumar las dos matrices siguientes = Solución

12 Propiedades Comutativa : A+B=B+ A Asociativa : A+(B+ C=(A+B+C Matriz nula 0 : A+0= 0+A=A Matriz opuesta : A+( A= 0 la matriz opuesta se obtiene al cambiar todos los elementos de signo

13 Producto de un número real por una matriz Para multiplicar un número real por una matriz, se multiplica el número por cada elemento de la matriz (En general, se pondrá siempre el real k adelante la matriz k a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n = ka 11 ka 12 ka 1n ka 21 ka 22 ka 2n a m1 a m2 a mn ka m1 ka m2 ka mn

general, se pondrá siempre el real k adelante la matriz k a 11 a 12 a 1n a

14 Ejemplo 3 : Producto de un número real por una matriz 3x = Solución

15 Producto de un número real por una matriz Para multiplicar dos matrices, se multiplica cada fila de la 1 a matriz por la columna de la 2 a El resultado es una matriz que tiene tantas filas como la 1 a y tantas columnas como la 2 a Así debe coincidir el número de columnas de la 1 a con el de filas de la 2 a A n p B p q = C n q ( a11 a 12 a 21 a 22 ( b11 b 12 = b 21 b 22 ( a11 b 11 + a 12 b 21 a 11 b 12 + a 12 b 22 a 21 b 11 + a 2 b 21 a 21 b 12 + a 22 b 22

a Así debe coincidir el número de columnas de la 1 a con el de filas de la 2 a A n p B p q = C n q ( a11 a 12 a 21

16 Ejercicio 4 : Producto de las dos matrices siguientes ( ( = Solución (

17 Propiedades No es conmutativa (en general : A B B A Asociativa : A (B C=(A B C Matriz unidad I : A I = I A=A Distributiva : A (B+ C= A B+ A C En general : A B=A C no significa que B = C

18 Potencia de matriz A n = AA A n factores Ejemplo 4 : Calcular A 3 ( 1 2 Sabiendo que A= 0 1 Solución (

19 Calcular A + B ; A - B ; 2A + 3B ; AB ; BA y B 2 ( ( Sabiendo que A= et B =

20 Soluciones ( 12 6 A+B = 3 9 ( AB = ( AB = ( 6 2 A B= 11 7 ( BA= 11 6 ( A+3B= AB BA

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