MATEMÁTICAS. TEMA 2 Matrices

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1 MATEMÁTICAS TEMA Matrices 1

2 MATEMÁTICAS º BACHILLERATO ÍNDICE 1. Introducción.. Definición y Clasificación de Matrices.. Operaciones con Matrices. 4. Ejercicios Resueltos. 5. Ejercicios Propuestos. 1. Introducción. Las matrices aparecieron por primera vez hacia el año 1850, introducidas por el inglés J.J. Sylvester. Su desarrollo se debe a W.R. Hamilton y a A. Caley. Además de su utilidad para el estudio de los sistemas de ecuaciones, las matrices aparecen de manera natural en geometría, estadística economía, etc. Nuestra cultura está llena de matrices de números: el horario de los trenes de cada una de las estaciones es una matriz de doble entrada, la tabla de cotizaciones de la Bolsa en cada uno de los días de la semana, las tablas de sumar y multiplicar, la disposición de los alumnos en clase, las casillas de un tablero de ajedrez, las apuestas de la quiniela. Actualmente, muchos programas de ordenador utilizan el concepto de matriz. Así, las hojas de cálculo funcionan utilizando una inmensa matriz con cientos de filas y columnas en cuyas celdas se pueden introducir datos y fórmulas para realizar cálculos a gran velocidad. Esto requiere utilizar las operaciones con matrices.

3 . Definición y Clasificación de Matrices. DEFINICIÓN: Una matriz es una tabla (Nº reales) de elementos dispuestos en filas y columnas.se nombran con letras mayúsculas. 7 4 B D a a 1n 5 9 A Ejemplos 4 am 1 a mn C 5 7 E ( 1 1 ) m filas n columnas 4 ORDEN DE UNA MATRIZ: es el número de filas y columnas de una matriz B D C 5 7 E ( 1 ) Orden 1 x Orden x Orden x Orden x CLASIFICACIÓN SEGÚN LA FORMA DE LA MATRIZ A) Matriz fila: tienen una única fila A ( 1 6 1). B) Matriz columna: tienen una sola columna A. C) Matriz cuadrada: tienen el mismo número de filas y columnas A DIAGONAL PRINCIPAL B D) Matriz Rectangular: tienen distinto número de filas y columnas. A 1 0 E) Matriz Traspuesta: es aquella que se obtiene cambiando filas por columnas. t t ) ( A ) A t t t t A 1 A 7 1 )( A+ B) A + B t t ) ( αa) αa α R t B A t t 4) (A B). t A Propiedades de la Matriz Traspuesta:

4 t F) Matriz Simétrica: es la matriz cuadrada que coincide con su traspuesta ( A A ) G) Matriz Antisimétrica: es la matriz cuadrada que coincide con la opuesta de su t traspuesta ( A A ) CLASIFICACIÓN SEGÚN LOS ELEMENTOS DE LA MATRIZ 0 0 A) Matriz nula: todos los elementos son cero O. 0 0 B) Matriz Diagonal: todos los elementos son cero excepto los de su diagonal 0 0 principal. D C) Matriz unidad: es diagonal con todos los elementos de la diagonal iguales a 1. I I D) - Matriz triangular superior: es una matriz cuadrada con todos los elementos 9 nulos por debajo de la diagonal principal. A Matriz triangular inferior : es una matriz cuadrada con todos los elementos nulos por encima de la diagonal principal. B E) Matrices equidimensionales: son aquellas que tiene el mismo número de filas y columnas 4

5 . Operaciones con Matrices. A) SUMA: Deben ser matrices equidimensionales. Se suman los elementos que ocupan la misma posición B) PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UNA MATRIZ: se multiplica todos los elementos de la matriz por ese número C) PRODUCTO: Para multiplicar dos matrices el número de columnas de la primera tiene que coincidir con el número de filas de la segunda. El resultado es otra matriz que tiene el número de filas de la primera y el número de columnas de la segunda, y cada elemento matriz por la columna j de la segunda. a ij se obtiene multiplicando la fila i de la primera A B C mxn nxp mxp EJEMPLO ( 1) ( ) + ( 1) ( 5) ( ) + ( 5) ( ) x x IMPORTANTE: El producto de matrices NO cumple la propiedad conmutativa A B B A 5

6 4. EJERCICIOS RESUELTOS 6 1. Sean las matrices A y B : Se pueden multiplicar A B AB x x x. Hallar A B ( 1) AB ( 1) Sean las matrices A y B.Calcular A n y B n : A A A A A A A n n n A B B B B B B B B B B B B B B n n 1 n 1 n 1 n 1 6

7 . Encontrar todas las matrices X cuadradas de orden x que satisfagan la 1 0 igualdad X A A X siendo A 0 : Sea X a b, siendo abcd,,, R c d a b 1 0 a b a a XA c d 0 c d b b b b 0 b 0 b 0 a 0 X 1 0 a b a b X A A X c c c c 0 c 0 c 0 0 d AX 0 c d c d d d 4. Hallar todas las matrices X a 0, siendo abc R,,, distintas de la matriz b c nula, que cumpla X X : a 0 0 ( ) 0 a 0 a 0 a 0 a a a a a a X X X a b c b c ba + cb c ba + cb b b ( a+ c) b a+ c c a a 0 a 0 X X X b c b c c c 0 0 Si a 0 c 0 X b 0 Si a c 0 X b a) Comprobar que A + I 0 5. Sea la matriz A b) Hallar A a) Se comprueba fácilmente ba ) I 0 A I A A + A A ( A) A ( I) A IA A A I 7

8 6. Resuelve el sistema X 5 Y A 4X Y B siendo A y B 1 0 : Lo resolvemos por doble reducción x( 4) X 5Y 1X + 0Y X 5Y A X Y B x4x Y 1X 9Y x( ) X 5Y 9X + 15Y X 5Y A X Y B x54x Y 0X 15Y X Y Y X

9 5. EJERCICIOS SIN RESOLVER Sean las matrices A 1 4 y B. Hallar A B : 5 7 AB Se consideran las matrices A 1, B y C Calcular : A+C, AC + CA, A B : A+ C 1 4 AC + CA 10 7 AB Calcular A n, B n, C n y D n siendo A 1 1 0, B, C, D n si n es impar n n n n n n n n n n n A n 1 0 B C D n n n n n si n es par

10 4. Encontrar todas las matrices X tales que A XX A, siendo A Si X a b, siendo abcd,,, R c d Las matrices X que cumplen A XX A son b 0 a 0 X c 4d 4a 4d 4a d 5. A) Hallar todas las matrices a a 0 0 A distintas de tal que A A b B) Para cualquiera de las matrices A obtenidas en el apartado A) calcular: M A+A + +A 10 A) 0 0 Si a 0 b 1 A Si a 1 b 0 A 0 0 B) M10 A Dadas las matrices A y I a) Hallar dos constantes α y β tal que A α A+ β I b) Calcular A 5 utilizando la expresión obtenida en el apartado anterior. c) Hallar todas las matrices X que satisfacen ( ) ( ) a) α y β 1 b) A 5 5A 4I A X A+ X A X a b c) Si X, siendo abcd,,, R Las matrices X deben cumplir que c d A XX A para que sea cierta la igualdad( ) ( ) A X A+ X A X. Esas matrices X son las siguientes c 0 a b X a d 0 a 10

11 4 7. Sea la matriz A Calcular A A I A A A A ( A ) A I A I A A A I 8. Resuelve los siguientes sistemas a) 5 X + Y 0 1 X Y X : 1 1 Y b) 1 X + Y X Y X : Y