Ejemplo 1. Ejemplo introductorio

Transcripción

1 . -Jordan.

2 Ejemplo 1. Ejemplo introductorio. -Jordan Dos especies de insectos se crían juntas en un recipiente de laboratorio. Todos los días se les proporcionan dos tipos de alimento A y B. 1 individuo de la especie 1 come: 5 unid. A + 3 unid. B. 1 individuo de la especie 2 come: 2 unid. A + 4 unid. B. A los insectos se les suministra diariamente: 80 unid. A + 76 unid. B. Cuántos insectos hay de cada especie?

3 Ejemplo 1. Interpretación geométrica. -Jordan 5x + 2y = 80 3x + 4y = 76 } x = 12 especie 1, y = 10 especie 2.

4 Ecuaciones. -Jordan Expresión general de una ecuación lineal: a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b, donde b R, a i R (i = 1,..., n) son los coeficientes, x i (i = 1,..., n) son las variables o incógnitas. Definición Una solución de la ecuación lineal anterior es una lista de números reales (s 1, s 2,..., s n ) tales que a 1 s 1 + a 2 s a n s n = b.

5 . -Jordan Definición Un sistema lineal de m y n incógnitas es una colección de m : a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2,.. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m donde b i R, a ij R son los coeficientes, x j son las variables o incógnitas, i = 1,..., m; j = 1,..., n.

6 equivalentes. -Jordan Definición Una solución del sistema lineal anterior es una lista de números reales (s 1, s 2,..., s n ) que son solución de cada una de sus m Definición Dos son equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones.

7 Número de soluciones. -Jordan Teorema Un sistema lineal puede tener cero, una o infinitas soluciones. Definición Un sistema lineal se dice: Incompatible: si no tiene solución. Compatible determinado: si tiene una solución. Compatible indeterminado: si tiene infinitas soluciones.

8 elementales. -Jordan A un sistema lineal le podemos aplicar tres tipos de transformaciones, las operaciones elementales, que afectan a sus pero dejan invariantes sus soluciones: Tipo I: E i E j, i j. Tipo II: E i E i + λe j, i j. Tipo III: E i βe i, β 0. Donde E i es la ecuación i del sistema. Teorema Sea B un sistema lineal obtenido a partir del sistema A mediante operaciones elementales, entonces A y B son equivalentes.

9 Ejemplo 2. Un ejemplo de eliminación gaussiana. -Jordan Ejemplo x + 2y + 3z = 6 2x 3y + 2z = 14 x = 1, y = 2, z = 3. 3x + y z = 2

10 Ejemplo 2.. -Jordan En el ejemplo anterior: x + 2y + 3z = 6 2x 3y + 2z = 14 AX = b, 3x + y z = 2 donde A = , X = x y z, b =

11 . -Jordan En general: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 AX = b,.. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m donde a 11 a a 1n a 21 a a 2n A =......, X = a m1 a m2... a mn x 1 x 2. x n, b = b 1 b 2. b m.

12 . -Jordan Definición a 11 a a 1n a 21 a a 2n A =..... es la matriz de coeficientes,. a m1 a m2... a mn x 1 x 2 X = es el vector incógnita y. b = x n b 1 b 2. b m es el vector de términos independientes.

13 Definición de matriz. -Jordan Definición Una matriz sobre R es una estructura rectangular a 11 a a 1n a 21 a a 2n A =......, a m1 a m2... a mn donde a ij R y se denominan elementos de la matriz. El conjunto de todas las matrices m n con elementos en R las denotaremos por M m n.

14 Filas y columnas. -Jordan Definición ( ai1 a i2... a in ) es la i-ésima fila de A. a j1 a j2. a jm es la j-ésima columna de A. a ij es el elemento en la fila i y la columna j. Si la matriz tiene m filas y n columnas, se dice que es una matriz m n.

15 Tipos particulares de matrices. -Jordan Sea A M m n. A es una matriz: fila, si m = 1. columna, si n = 1. cuadrada, si m = n. La diagonal principal de A la forman los elementos a 11, a 22,..., a nn. diagonal, si a ij = 0 i j. triangular superior, si a ij = 0 i > j. triangular inferior, si a ij = 0 i < j. La matriz identidad I n es la matriz diagonal de orden n con a ii = 1 i = 1,..., n. La matriz nula 0 m n es la matriz m n con a ij = 0 i = 1,..., n; j = 1,..., m.

16 Igualdad de matrices. -Jordan Definición Sean A M m n y B M p q. A es igual a B (A = B) si m = p, n = q, a ij = b ij i = 1,..., m; j = 1,..., n. Propiedades: Reflexiva: A = A A M. Simétrica: A = B B = A A, B M. Transitiva: A = B, B = C A = C A, B, C M.

17 Suma de matrices. -Jordan Definición Sean A = (a ij ), B = (b ij ) M m n. Llamamos matriz suma de A y B a la matriz C = A + B M m n tal que c ij = a ij + b ij Sean A, B, C M m n, se verifican las propiedades: Asociativa: (A + B) + C = A + (B + C). Conmutativa: A + B = B + A. Existe neutro O m n : A + O m n = O m n + A = A. El opuesto de A es A = ( a ij ): A + ( A) = A + A = O m n

18 Producto de un escalar por una matriz. -Jordan Definición Sean A = (a ij ) M m n y λ R. La matriz λa es la matriz m n cuyos elementos son λa ij, i = 1,..., m; j = 1,..., n. Sean A, B M m n, λ, µ R, se verifican las propiedades: Distributiva: λ(a + B) = λa + λb. Distributiva: (λ + µ)a = λa + µa. Asociativa: (λ µ)a = λ (µa). Existe neutro 1 R: 1A = A.

19 Producto de matrices. Definición -Jordan Sean A M m n y B M n p. Llamamos matriz producto de A por B a la matriz C = AB M m p tal que c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a in b nj. a 11 a 12 a 1n b 11 b 1j b 1p... b 21 b 2j b 2p a i1 a i2 a in... =... b n1 b nj b np a m1 a m2 a mn c 11 c 1p c ij c n1 c 1p

20 Propiedades del producto de matrices. -Jordan Sean A M m n, B M n p, C M p q. Se verifican las propiedades: Asociativa: (AB)C = A(BC). Distributivas: Sean A, B M m n, C M n p, entonces (A + B)C = AC + BC. Sean A, inm m n, B, C M n p, entonces A(B + C) = AB + AC. Existe neutro por la derecha I n : AI n = A. Existe neutro por la izquierda I m : I m A = A. Asociativa: λ(ab) = (λa)b = A(λB), λ R.

21 No conmutatividad del producto de matrices. -Jordan Observación El producto de matrices no cumple la propiedad conmutativa. Ejemplo Sean A = y B =

22 . -Jordan Definición A M n es invertible si existe una matriz B tal que AB = BA = I n. Diremos que B es la de A. Observación B debe pertenecer a M n.

23 Propiedades de la. -Jordan Propiedades: No toda matriz cuadrada tiene. Si A es invertible, entonces tiene una única y se denota por A 1. Si A es invertible, entonces A 1 también lo es y su es A. Si A y B son invertibles, entonces AB también lo es y su es (AB) 1 = B 1 A 1. El cálculo de la lo abordaremos más adelante.

24 . -Jordan Definición Sea A = (a ij ) M m n. La matriz B M n m con B = (b ij ) = (a ji ) se llama matriz de A. La denotamos por A T : A T = (a ji ). Propiedades: (A T ) T = A. (A + B) T = A T + B T. (AB) T = B T A T. A invertible A T invertible y (A T ) 1 = (A 1 ) T.

25 simétrica. -Jordan Definición Una matriz A M n se dice simétrica si Ejemplo A = A T = A es simétrica.

26 Objetivo. -Jordan Objetivo: obtener un método útil de resolución de. Para lograrlo sistematizaremos el método de eliminación de incógnitas que aplicamos en la resolución del sistema lineal considerado anteriormente: x + 2y + 3z = 6 2x 3y + 2z = 14 x = 1, y = 2, z = 3. 3x + y z = 2

27 ampliada. -Jordan Sea el sistema lineal a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 A... a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m El método comenzará considerando la matriz ampliada A del sistema A: a 11 a a 1n b 1 A a 21 a a 2n b 2 = (A b) = a m1 a m2... a mn b m

28 escalonadas. -Jordan Definición El primer elemento no nulo de cada fila de una matriz se denomina pivote. Observación Si todos los elementos de una fila son 0, dicha fila no tiene pivote. Definición La matriz A es escalonada cuando cumple las propiedades: Si A tiene k filas en las que todos sus elementos son 0, éstas son las últimas k filas de A. Todo pivote de A, excepto el de la primera fila, tiene más ceros a su izquierda que el de la fila anterior.

29 escalonadas reducidas. -Jordan Definición La matriz A es escalonada reducida cuando es escalonada y además cumple: Todos los pivotes de A son iguales a 1. Si un elemento de A que no es pivote está situado en la misma columna que un pivote, entonces es 0.

30 Ejemplo. escalonadas. -Jordan Ejemplo A = Son escalonadas las siguientes matrices? C =, B =

31 Ejemplo. escalonadas. -Jordan A = Son escalonadas las siguientes matrices? A no es escalonada C =, B = C es escalonada reducida B es escalonada

32 elementales. -Jordan A una matriz A le podemos aplicar tres tipos de operaciones elementales que afectan a sus filas: Tipo I: f i f j, i j. Tipo II: f i f i + λf j, i j. Tipo III: f i βf i, β 0. Donde f i es la fila i de la matriz A. Definición Dos matrices A y B son equivalentes si se puede transformar la matriz A en la matriz B mediante una sucesión de operaciones elementales.

33 equivalentes. -Jordan Teorema Para cada matriz A existe una matriz escalonada equivalente a A. Además para transformar A en una matriz escalonada sólo se necesitan operaciones elementales tipo I y II. Ejemplo Transfórmese la matriz A en una matriz escalonada equivalente A =

34 equivalentes. -Jordan Teorema Para cada matriz A existe una matriz escalonada reducida equivalente a A. Ejemplo Encuéntrese una matriz escalonada reducida equivalente a: A =

35 equivalentes. -Jordan Teorema Para cada matriz A existe una y sólo una matriz escalonada reducida equivalente a A.

36 Correlación entre operaciones elementales. -Jordan Dada la identificación entre a 11 x 1 + a 12 x a 1n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n = b 2 A.. a m1 x 1 + a m2 x a mn = b m y a 11 a a 1n b 1 A a 21 a a 2n b 2 = , a m1 a m2... a mn b m

37 Correlación entre operaciones elementales. -Jordan... se tiene tiene una correlación entre las operaciones elementales que afectan al sistema lineal y las operaciones elementales que afectan a su matriz ampliada: Tipo I: E i E j equivale a f i f j. Tipo II: E i E i + λe j equivale a f i f i + λf j. Tipo III: E i βe i equivale a f i βf i, β 0. Teorema Sean A y B dos cada uno con m y n incógnitas. Si las matrices ampliadas A y B son equivalentes, entonces A y B son equivalentes, es decir, tienen las mismas soluciones.

38 Número de soluciones. -Jordan Teorema Sea A un sistema lineal con n incógnitas cuya matriz ampliada A es escalonada reducida, entonces: A es incompatible si A tiene un pivote en la última columna. A es compatible determinado si A tiene n pivotes y ninguno de ellos está en la última columna. A es compatible indeterminado si A tiene menos de n pivotes y ninguno de ellos está en la última columna. Observación Se tiene el resultado análogo para A matriz escalonada.

39 . -Jordan Sea AX = b. o de eliminación gaussiana para resolver Paso 1: Formar la matriz ampliada A. Paso 2: Mediante operaciones operaciones elementales por filas obtener una matriz C escalonada equivalente a A. Paso 3: Resolver (en caso de que sea compatible) el sistema lineal correspondiente a C mediante sustitución hacia atrás.

40 Ejemplo. Eliminación gaussiana. -Jordan Ejemplo Resuélvase el siguiente sistema lineal mediante el método de eliminación gaussiana: x + 2y + 3z = 9 2x y + z = 8 3x z = 3

41 -Jordan. -Jordan -Jordan para resolver Sea AX = b. Paso 1: Formar la matriz ampliada A. Paso 2: Transformar A en su forma escalonada reducida C mediante operaciones elementales por filas. Paso 3: Para cada fila distinta de cero en C se despeja la incógnita correspondiente al pivote de esa fila.

42 Variables básicas y libres. -Jordan Definición Una columna pivote de una matriz A es aquella que está en la misma posición que una columna de la forma escalonada o escalonada reducida de A que contiene a un pivote. Definición Las incógnitas o variables correspondientes a las columnas pivote se denominan variables básicas. Las restantes se denominan variables libres Observación Las variables que se despejan en el Paso 3 del método de -Jordan son las variables básicas. Las demás son las variables libres.

43 Ejemplo. -Jordan. -Jordan Ejemplo Resuélvase el siguiente sistema lineal mediante el método de -Jordan: 3x + 6y + z = 2 2x + 4y + 3z = 6 x + 2y + 3z = 6

44 Qué procedimiento emplearemos en cada caso?. -Jordan Ejemplo incompatibles:. compatibles determinados:. compatibles indeterminados: -Jordan. Resuélvase el siguiente sistema lineal: x + y z = 1 2x + y + z = 2 4x + 3y z = 0

45 Recordamos la definición. -Jordan La de una matriz A M n es una matriz A 1 M n tal que AA 1 = A 1 A = I n Teorema Sean A, B M n. Si AB = I n, entonces BA = I n. SI BA = I n, entonces AB = I n.

46 Objetivo. -Jordan Objetivo: Dada una matriz A, obtener un método práctico para calcular A 1. Lo lograremos con el método de -Jordan para el calculo de la.

47 -Jordan para el cálculo de la. Sea A M n. Buscamos B = (b ij ) M n tal que -Jordan : x j = b 1j b 2j. b nj AB = BA = I n. 0., e 0 j = 1 j, j = 1,..., n. 0. 0

48 -Jordan para el cálculo de la. -Jordan Determinar B tal que b 11 b 12 b 1n b 21 b 22 b 2n A = b n1 b n2 b nn equivale a determinar n matrices x 1,..., x n M n 1 tal que Ax j = e j, j = 1,..., n.

49 -Jordan para el cálculo de la. -Jordan Utilizaremos el método de -Jordan para resolver los Ax j = e j, j = 1,..., n. Observación Como todos tienen la misma matriz de coeficientes los resolveremos de forma simultánea.

50 -Jordan para el cálculo de la. -Jordan Consideramos la matriz n 2n (A e 1 e 2 e n ) = (A I n ) y la transformamos a la forma escalonada reducida (C D). La matriz (C D) da lugar a n Cx j = d j, j = 1,..., n, donde d j son las columnas de D.

51 -Jordan para el cálculo de la. -Jordan Casos posibles: 1 C = I n. Entonces x j = d j y B = D. 2 C I n. Entonces C tiene un fila llena de ceros (C M n escalonada reducida) y D no (se obtiene haciendo operaciones elementales en I n ). Uno de los Cx j = d j no tiene solución. Ax j = e j tampoco tiene solución. A no tiene.

52 -Jordan para el cálculo de la. -Jordan -Jordan para el cálculo de la Sea A M n. Paso 1: Formar la matriz ampliada (A I n ). Paso 2: Transformar (A I n ) en su forma escalonada reducida (C D) mediante operaciones elementales por filas. Paso 3: 1 Si C = I n, entonces A 1 = D. 2 SI C I n, entonces A es singular y no existe A 1.

53 Ejemplo... -Jordan Calcúlense, en caso de que existan, las s de las siguientes matrices: A = B =