1. Matrices. Operaciones con matrices

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Joaquín Miguélez Arroyo
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1 REPASO MUY BÁSICO DE MATRICES. Matrices. Operaciones con matrices.. Introducción Las matrices aparecieron por primera vez hacia el año 850, introducidas por el inglés J. J. Sylvester. Su desarrollo se debe a W. R. Hamilton y a A. Caley. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de manera natural en geometría, estadística, economía y también en las ciencias naturales. Actualmente, muchos programas de ordenador utilizan el concepto de matriz. Así, las hojas de cálculo funcionan utilizando una inmensa matriz con cientos de filas y de columnas en cuyas celdas se pueden introducir datos y fórmulas para realizar cálculos a gran velocidad. Esto requiere utilizar técnicas de operaciones con matrices. Una matriz es una tabla ordenada de números por filas y columnas. Diremos que la matriz A es de orden m, n si tiene m filas y n columnas, por ejemplo, las matrices , , son de órdenes 3, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3 respectivamente. Los vectores también son matrices, de una fila o una columna: Los elementos de la matriz se llaman a ij, donde i es el número de fila y j el número de columna. Por ejemplo, en la primera matriz anterior, tenemos los siguientes elementos: a,, a 2 0, a 32 3, a Si el número de filas coincide con el número de columnas de una matriz, es decir n m, ésta se dice que es cuadrada de orden n. Por ejemplo, las matrices 0.3 2, son matrices cuadradas de órdenes 2 y 3 respectivamente. En las matrices cuadradas, los elementos con igual número de fila que de columna, a ii forman la diagonal principal. En las matrices anteriores, las diagonales principales son 0.3, 2 y 2,, 2 respectivamente. Dos matrices son iguales si tienen el mismo orden y además los mismos elementos.

2 La matriz traspuesta de una matriz de orden m, n, se escribe A T y es la matriz de orden n, m que se obtiene escribiendo sus filas como columnas y por lo tanto, sus columnas como filas. Por ejemplo, A T es la traspuesta de A y viceversa. Llamaremos matriz simétrica a una matriz A que coincida con su traspuesta, es decir, A A T. Observar que toda matriz simétrica debe tener el mismo número de filas que de columnas, es decir, tiene que ser cuadrada es una matriz simétrica. Algunos tipos especiales de matrices son los siguientes: Matriz nula. Es la matriz, 0, en la que todos los elementos son cero: 0 0, 0 son matrices nulas. Matriz identidad. Es una matriz cuadrada, I, cuyos elementos son ceros excepto en la diagonal principal donde todos los elementos son uno: ,, son matrices identidad de órdenes o dimensión 4, 2 y 3 respectivamente. Matriz triangular superior. Es una matriz cuadrada en la que todos los elementos por debajo de la diagonal principal son nulos. 2 3 U 0 2 es triangular superior. 3 Matriz triangular inferior. Es una matriz cuadrada en la que todos los elementos por encima de la diagonal principal son nulos. L es triangular inferior

3 .2. Operaciones con matrices Las operaciones que vamos a definir entre matrices son la suma y el producto. Además también podremos multiplicar matrices por números reales escalares..2.. Suma de matrices Si A, B son matrices del mismo orden m, n, la matriz suma C A B es la que obtendremos sumando elemento a elemento. Por ejemplo, A B C A B Las propiedades de la suma de matrices son las mismas y se deducen a partir de las propiedades de la suma en el cuerpo de los números reales, esto es: - Propiedad conmutativa: Propiedad asociativa: [ ] [ ] - Existencia de elemento neutro: la matriz nula definida anteriormente satisface: Existencia de elemento opuesto: Dada A a ij, la matriz A a ij satisface: Por lo tanto, hay operación resta definida por A B : A B Producto por escalares Si A es una matriz y λ es un escalar real, entonces la matriz λa es la que se obtiene al multiplicar todos los elementos de A por el número real λ, esto es por ejemplo, λ 3, Las propiedades del producto de matrices de por escalares son las siguientes: 3

4 . Propiedad distributiva respecto a la suma de matrices: λa B λa λb. 2. Propiedad distributiva respecto a la suma de escalares: 3. Propiedad asociativa mixta:.2.3. Producto de matrices λ λ 2 A λ A λ 2 A, λ λ 2 A λ λ 2 A. Si A es una matriz m, n y B una matriz n, p observar que el número de columnas de A debe coincidir con el de filas de B, entonces la matriz producto C A B o bien C AB es una matriz m, p, de modo que AB c ij donde n c ij a ik b kj, i {,..., m}, j {,..., p}. k En esta notación sumatoria, los índices i, j están fijos e indican el elemento i, j de la matriz que estamos calculando. El índice que varía es el k, que va tomando todos los valores comprendidos entre {,..., n}. Por lo tanto, se observa que de cada elemento c ij de la matriz producto se puede ver cómo es una operación entre los elementos de la fila i-ésima de la matriz A y los elementos de la columna j-ésima de la matriz B: multiplicamos ordenadamente cada elemento de la fila i-ésima de A con el del mismo lugar en la columna j-ésima de B y se suman los resultados: Las propiedades del producto de matrices son:. Propiedad asociativa: ABC ABC. 2. Propiedad distributiva respecto de la suma de matrices: AB C AB AC. 3. Existencia de elemento neutro: Dada A de orden n las matriz identidad I de orden n satisface observemos que estamos hablando de matrices cuadradas!: IA A, AI A. atención: el producto de matrices no posee la propiedad conmutativa! 4

5 .2.4. Matriz inversa de una matriz cuadrada Dada una matriz cuadrada A de orden n, diremos que la matriz B es la inversa de A si satisface AB BA I, donde I denota la matriz identidad de orden n. La inversa de una matriz, si existe, es única y la denotaremos por A. En ese caso diremos que A es inversible, regular o no singular. Si A, B son matrices inversibles, entonces la matriz producto C AB también es inversible y además su inversa es C B A. 2. Determinantes 2.. Introducción Las cuestiones sencillas acerca del determinante de una matriz cuadrada no son las fórmulas explícitas que lo definen sino más bien las propiedades que posee, así que veremos algunas de las propiedades más importantes. Para la mejor comprensión de éstas, las ilustraremos con un ejemplo 2 2. Comenzaremos definiendo el determinante de matrices 2 2, al que denotaremos por det A o bien A, y es el número real definido por: det : ad bc Algunas propiedades del determinante. El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta. En nuestro caso particular, a c ad bc det det ad cb. b d 2. Si una matriz tiene una fila columna nula, su determinante es cero. En nuestro caso particular, det 0, det Si una matriz tiene dos filas columnas proporcionales entonces su determinantes es cero. En nuestro caso particular, det aλb λab 0. λa λb 5

6 4. El determinante cambia de signo cuando se intercambian dos filas columnas. En nuestro caso particular, det cb ad det ad cb La regla de Sarrus El determinante de una matriz A de orden 3 se puede definir directamente a partir de la conocida regla de Sarrus: a a 2 a 3 a det a 2 a 22 a 23 a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 a 3 a 32 a 33 a a 22 a 33 a 2 a 32 a 3 a 2 a 23 a 3 a 3 a 22 a 3 a 32 a 23 a a 2 a 2 a 33. Ejemplo. det Regla de Cramer para resolver sistemas lineales Una aplicación de los determinantes es la regla de Cramer para resolver sistemas lineales cuadrados. Sin más explicaciones detallamos a continuación las soluciones de Cramer para sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas y tres ecuaciones con tres incógnitas. Observar que en el denominador ponemos el determinante de la matriz del sistema y en el numerador el mismo determinante sustituyendo una columna la de la incógnita que estamos calculando por la columna de términos independientes: Dos ecuaciones ax by cx dy p q }, x p q a c b d b d, y a c a c p q b d. Tres ecuaciones a x b y c z a 2 x b 2 y c 2 z a 3 x b 3 y c 3 z p q, x r p b c q b 2 c 2 r b 3 c 3 a b c a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3, y a p c a 2 q c 2 a 3 r c 3 a b c a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3, z a b p a 2 b 2 q a 3 b 3 r a b c a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3. 6

7 Ejemplo. es Ejemplo. La solución del sistema: x Consideremos el sistema x 2x 2 0 2x x , x 2 } x x 2 2x 3 9 2x 4x 2 3x 3 3x 6x 2 5x El determinante de la matriz de los coeficientes es , por lo que podemos garantizar en primer lugar que el sistema es compatible determinado, es decir, que posee una única solución. Para resolverlo, aplicando la regla de Cramer calcularemos x x 2 x , 2 2,

8 EJERCICIOS Matrices Para las matrices, A E , B F , G Resolver las siguientes cuestiones u operaciones: C , D u. B E, A D T, A T D, AB, BD, Bu, C T F, Cv, Eu 2. 4 A, 2 C, u, 3 G T, B E, D, B 3 I, F 2 I 2 3. Es alguna de las matrices anteriores simétricas? 4. Calcular el determinante de las matrices cuadradas anteriores Sistemas lineales v Resolver mediante la Regla de Cramer los siguientes sistema de ecuaciones lineales. 3x 2y z 4 2x y 2z 3 x 3y 2z 5, solución: x 68/35, y 53/35, z 42/ x 4y 2z 2 2x 8y 3z 32 y z x 2y z 2x 3y 4z 0 x 4y 4z 8, solución: x 2, y 3, z 4., solución: x 2, y 2, z 3. Chelo Ferreira Facultad de Veterinaria 8

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