TEMA 7. Matrices y determinantes.

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1 TEMA 7 Matrices y determinantes. 1. Matrices. Generalidades Definición 1 Sea E un conjunto cualquiera, m, n IN. Definimos matriz de orden m n sobre E a una expresión de la forma: a 11 a a 1n a 21 a a 2n a m1 a m2... a mn con a ij E, i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n. A los elementos a ij se les denomina elementos de la matriz. Atendiendo a la disposición de los elementos en la matriz, diremos que la matriz está compuesta por m filas (de n elementos) y n columnas (de m elementos), siendo a ij el elemento de la fila i y la columna j de la matriz. A la matriz cuyos elementos son a ij se denota por ((a ij )), o simplemente por A. Al conjunto de las matrices de orden m n sobre E se denota por M m n (E). En el caso de que una matriz tenga igual número de filas que de columnas (m=n) se denomina matriz cuadrada de orden n, y el conjunto de dichas matrices se denota por M n (E). Si solamente tiene una fila (m=1) se le denomina matriz fila, y si sólo tiene una columna (n=1) se le denomina matriz columna. Definición 2 Dos matrices A, B M m n (E) son iguales si tienen los mismos elementos. ((a ij )) = ((b ij )) a ij = b ij i, j. Definición 3 Dada una matriz A, se denomina submatriz de A a toda matriz que resulte de eliminar una o varias filas y/o columnas de la matriz A. Definición 4 Sea A M m n (E) y k = min{m, n}. Al conjunto formado por los elementos a ii con i = 1, 2,..., k se le llama diagonal principal de la matriz A. Y al conjunto {a ij / i + j = n + 1} se le llama diagonal no principal de la matriz A. Definición 5 Sea A M m n (E). Decimos que A es triangular superior si los elementos que están por debajo de la diagonal principal son nulos. Decimos que A es triangular inferior si los elementos que están por encima de la diagonal principal son nulos. La matriz A es diagonal si es triangular superior e inferior. Definición 6 A la matriz Θ M m n (E) cuyos elementos son nulos se le denomina matriz nula de orden m n. A la matriz diagonal I n M n (E) cuyos elementos de la diagonal principal son unos se le denomina matriz identidad de orden n. I.T.I. MECÁNICA Curso 2006/07 1 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS

2 Definición 7 Sea A M m n (C). Se denomina matriz conjugada de A a la matriz A = ((a ij )). Denotemos por A a la matriz A t. Diremos que A M n (C) es hermítica si A = A. Y antihermítica si A = A. 2. Operaciones con matrices Definiremos suma de matrices, producto de una matriz por un escalar y producto de matrices. Definición 8 (Suma de matrices) Sean A, B M m n (IK) con A = ((a ij )) y B = ((b ij )), definimos A + B = ((a ij + b ij )) M m n (IK). Definición 9 (Producto de una matriz por un escalar) Sea λ IK y A = ((a ij )) M m n (IK), definimos λa = ((λa ij )) M m n (IK). Definición 10 (Producto de matrices) A = ((a ij )) M m n (IK), B = ((b jk )) M n l (IK), definimos la matriz producto A.B = (( a ij b jk )) M m l (IK). j=1 Teorema 11 Respetando los órdenes de las matrices para que se puedan sumar y multiplicar, se verifican las siguientes propiedades: 1. A.B B.A, en general. 2. A.B = Θ/ A = Θ o B = Θ. Y por tanto: A.B = A.C/ B = C. 3. A.(B + C) = A.B + A.C; (A + B).C = A.C + B.C 4. (A.B).C = A.(B.C) 5. Si A M m n (IK), A.I n = I m.a = A Teorema 12 El producto de matrices triangulares inferiores, superiores y diagonales son, respectivamente, matrices triangulares inferiores, superiores y diagonales. 3. Matrices formadas por bloques o cajas. Operaciones Si en una matriz hacemos divisiones en sus filas o columnas quedará dividida en submatrices llamadas bloques o cajas. a 11 a a 1n A 11 A A 1q a 21 a a 2n = A 21 A A 2q , 1 p m 1 q n a m1 a m2... a mn A p1 A p2... A pq Las operaciones, suma y producto de matrices, las podemos realizar con los respectivos bloques, siempre que estos sean sumables y multiplicables, resultando los elementos de la matriz suma o producto I.T.I. MECÁNICA Curso 2006/07 2 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS

3 el resultado de la suma o producto de los respectivos bloques como si estos fueran escalares. Para comprobar que esto es cierto bastaría considerar la matriz de bloques descompuesta en suma de tantas matrices como bloques y tal que cada matriz sumando esta formada por el bloque respectivo y el resto ceros. 4. Matriz traspuesta. Propiedades Definición 13 Sea A M m n (E). Denominamos matriz traspuesta de A a la matriz A t M n m (E) cuyas filas son las columnas de A y cuyas columnas son las filas de A. Definición 14 Una matriz A cuadrada es simétrica si A t = A. Y es antisimétrica si A t = A. Teorema 15 Respetando los órdenes de las matrices para que se puedan sumar y multiplicar, se verifican las siguientes propiedades: 1. (A t ) t = A (Propiedad Involutiva de la trasposición) 2. (A + B) t = A t + B t 3. (λa) t = λa t λ R 4. (A.B) t = B t.a t 5. Determinantes: definición y propiedades Dada una matriz cuadrada A M n (IK), pretendemos asignarle un escalar de IK, que llamaremos determinante de A y representaremos por det(a) o A, para obtener información acerca de la matriz dada. Entre otras cosas dicho número proporciona criterios de invertibilidad de A y resulta ser también igual al volumen de un paralelepípedo P en el espacio n-dimensional, donde las aristas de P vienen de las filas de A. Vamos a definirlo por inducción, para lo cual utilizaremos cierta terminología. En concreto, denotaremos por A(i j) la matriz de orden n 1 que resulta de suprimir en A la fila i y la columna j. Definición 16 Dada A = ((a ij )) M n (IK), se define el determinante de A como: Si n = 1, det A = a 11 Si n > 1, det(a) = ( 1) 1+j a 1j deta(1 j) j=1 Por ejemplo si n = 2, det(a)= a 11 deta(1 1) a 12 deta(1 2); a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11.a 22 a 12.a 21 I.T.I. MECÁNICA Curso 2006/07 3 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS

4 5.1 Propiedades de los determinantes Si n = 3, deta = a 11 det(a)(1 1) a 12 deta(1 2) + a 13 det A(1 3); a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 23 a 32 a 33 a 12 a 21 a 23 a 31 a 33 + a 13 a 21 a 22 a 31 a 32 = = a 11 a 22 a 33 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33. expresión que se puede recordar más fácilmente con ayuda de la conocida regla de Sarrus. Si se examina cualquiera de las expresiones obtenidas para el determinante de matrices de orden 2 ó 3, se verá que cada uno de los productos incluye un término de cada una de las filas de A y un término de cada una de las columnas. En general, resulta que det(a) se puede definir también como la suma de todos los productos posibles de n elementos de A, con los signos adecuados, y donde en cada producto hay exactamente un término de cada fila y exactamente uno de cada columna. La primera fila jugó un papel esencial en la definición de det(a). La primera propiedad importante que vamos a ver es que la primera fila puede sustituirse por cualquier fila o cualquier columna de A en la definición de det(a). Previamente para simplificar el enunciado damos la siguiente: Definición 17 Dado un elemento a ij de A M n (IK) se denomina cofactor o adjunto del elemento a ij al número, que representaremos por A ij, definido por: A ij = ( 1) i+j.deta(i j) i, j = 1, 2,..., n Notemos que los signos de la definición de adjunto tienen una disposición de tablero de ajedrez: Teorema 18 (Desarrollo del det(a) por una fila o columna) Sea A M n (IK), entonces el det(a) se puede calcular desarrollándolo con respecto a cualquier fila o a cualquier columna,mediante deta = a ij A ij = a i1 A i1 + a i2 A i2 + + a in A in j=1 deta = a ij A ij = a 1j A 1j + a 2j A 2j + + a nj A nj i=1 i = 1,, n j = 1,, n 5.1. Propiedades de los determinantes Como consecuencia del Teorema [18] obtenemos una serie de propiedades de los determinantes que recogemos a continuación y que facilitan su cálculo. Teorema 19 Sea A M n (IK). Entonces: 1. det(a) = det(a t ). I.T.I. MECÁNICA Curso 2006/07 4 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS

5 2. Si denotamos por C i a las columnas de la matriz A, entonces: det(c 1, C 2,, αc i + βc i,, C n) = =αdet(c 1, C 2,, C i,, C n ) + βdet(c 1, C 2,, C i,, C n) α, β IK i = 1,, n (Válido también por filas). Casos particulares importantes se producen cuando α = β = 1 y cuando β = Si se permutan entre sí dos líneas (filas o columnas) de un determinante, éste cambia de signo. 4. Al sumar a una línea una combinación lineal de las restantes líneas paralelas el determinante de A no varía. Esta propiedad se utiliza a menudo en la práctica para calcular el determinante de una matriz de una forma más simple. Se toma un elemento de una línea distinto de cero como pivote y con él, utilizando la anterior propiedad, se hacen ceros el resto de elementos de dicha línea, con lo cual el determinante de orden n se reduce al cálculo de un determinante de orden n 1 5. Si una línea de la matriz A es combinación lineal de otras líneas paralelas a ella, el det(a) = 0 6. El producto de los elementos de una fila (o columna) por los adjuntos de otra fila (o columna) es nulo. 7. Si B M n (IK), entonces En particular, si A es no singular, det(a.b) = det(a).det(b) = det(b.a). det(a 1 ) = 1 det(a) = (det(a)) Menores de una matriz Definición 20 Sea A M m n (IK). Se llama menor de orden p de la matriz A al determinante de la matriz cuadrada obtenida por la intersección de p filas y p columnas de A. Definición 21 Se llama rango por menores de A, y lo denotamos por r(a), al mayor orden de sus menores no nulos Cálculo del rango Vamos a dar un método para calcular el rango de una matriz. Definición 22 Se llama orlar un menor de orden p a obtener un menor de orden p + 1 añadiéndole una fila y una columna al menor original. El método se basa en la propiedad siguiente: Si un menor de orden p de una matriz A es distinto de cero, y todos los menores de orden p + 1, que pueden formarse orlando éste con la fila h de la matriz y cada una de las columnas que no figuran en el menor, son nulos, entonces la fila h es combinación lineal de las filas de la matriz que figuran en el menor. I.T.I. MECÁNICA Curso 2006/07 5 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS

6 El método de los orlados consiste: 1. Se suprimen todas las líneas de la matriz A que sean combinación lineal de otras. 2. Se busca en la matriz un menor de orden uno no nulo. 3. Orlamos dicho menor con una fila determinada y con el resto de las columnas de la matriz A. a) Si todos los orlados son nulos, se suprime dicha fila y se repite la operación con otra fila determinada. b) Si algún orlado es no nulo se vuelve a repetir el proceso con dicho menor desde el punto (3). 4. Una vez agotadas todas las filas, el orden del último menor no nulo es el rango de la matriz A. 7. Matrices inversas Definición 23 (Matriz inversa) Sea A M n (IK). A es invertible si B M n (IK), A.B = B.A = I n. A la matriz B se le denota por A 1 y se denomina matriz inversa de A. Es fácil demostrar que la inversa de una matriz invertible es única. Teorema 24 Son ciertas las siguientes proposiciones: 1. Si A es invertible, A 1 también y (A 1 ) 1 = A. 2. Si A, B M n (IK) son invertibles, A.B también y (A.B) 1 = B 1.A 1 3. Si A es invertible, entonces A t también y (A t ) 1 = (A 1 ) t. Teorema 25 Las matrices diagonales, triangulares superiores o triangulares inferiores son invertibles si y sólo si los elementos de la diagonal son distintos de cero. Además las inversas de estas matrices siguen siendo diagonales, triangulares superiores o triangulares inferiores Cálculo de la inversa Queremos calcular una fórmula explícita para la matriz inversa de A, supuesto que existe. Definición 26 Dada una matriz A M n (IK), a la matriz cuadrada de orden n, adj(a) = ((A ij )) se le llama adjunta de la matriz A. Teorema 27 Sea A M n (IK), entonces A es invertible si y sólo si, det(a) 0. En dicho caso es: A 1 = 1 det(a).adj(a)t I.T.I. MECÁNICA Curso 2006/07 6 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS

7 7.1 Cálculo de la inversa Ejercicios 1. Calcular A y B sabiendo: A + B = A + A t = B B t = a) Sea una matriz de orden m n, demostrar que A t.a y A.A t son matrices simétricas. b) Hallar A t.a y A.A t en el caso A = 3. Sea A = a a a 4. Demostrar que: ( , a 0. Calcular A m, m IN a) la inversa de una matriz, de existir, es única. b) si A y B son invertibles, también lo es AB y se verifica (AB) 1 = B 1 A 1. c) si A es invertible, A 1 también y que (A 1 ) 1 = A. 5. Demostrar que toda matriz cuadrada de orden n que verifica la ecuación: a 0 I n + a 1 A + a 2 A a n A n = Θ, a 0 0 es invertible. Cuál es la inversa? ) 6. Sin desarrollar, demostrar que: a) a b c b + c a + c a + b = 0 b) c) 1 a 2 a 3 1 b 2 b 3 1 c 2 c 3 = bc a a 2 ca b b 2 ab c c 2 d) a + b b + c a + c m + n n + l m + l x + y y + z x + z = 2 = a b c m n l x y z Sea A una matriz cuadrada de orden impar y antisimétrica (A = A t ). Probar que det(a) = Calcular el valor de los siguientes determinantes de orden n: x x x x 1 x x a) b) x x 1 x x x x 1 9. Calcular el rango de las matrices siguientes,atendiendo a sus menores según los diferentes valores de a y b: A = 2a b 1 2 ab 1 B = 1 a a b 2 b a 1 1 a Calcular la inversa, mediante determinantes, de las siguientes matrices: A = B = C = I.T.I. MECÁNICA Curso 2006/07 7 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS