Determinantes. Primera definición. Consecuencias inmediatas de la definición
|
|
- María Concepción Ojeda Medina
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 Determinantes Primera definición Para calcular el determinante de una matriz cuadrada de orden n tenemos que saber elegir n elementos de la matriz de forma que tomemos solo un elemento de cada fila y de cada columna. Por ejemplo, podríamos elegir los elementos de la diagonal y se cumpliría que solo hemos tomado un elemento de cada fila y de cada columna. Lo mismo ocurre si elegimos los elementos de la contradiagonal. Hay, en general, muchas formas de elegir esos n elementos. Una vez elegidos los n elementos de esa forma, tenemos que hallar el producto todos ellos y volver a elegir otros n elementos tomados uno de cada fila y de cada columna y hallar su producto. El determinante de una matriz cuadrada es la suma equilibrada de todos esos posibles productos que se pueden formar eligiendo un elemento de cada fila de forma sin coger dos de la misma columna. Definición de determinante. Ejercicio (a) Cuál es el número total de dichos productos en una matriz de tamaño 3 3? (b) Cuál es la fórmula general que nos da el número de dichos productos para una matriz de tamaño n n? Solución: (a) 6. (b) n! Qué es una suma equilibrada? La expresión suma equilibrada en la definición de de- Significado de terminante significa que cada uno de esos productos va multiplicado por +1 o por 1 según cómo se hayan elegido los factores. Concretamente, cada uno de esos productos va multiplicado suma equilibrada. por ( 1) p siendo p del número de intercambio de filas y columnas que sean necesarios para colocar todos los factores de ese producto en la diagonal. Por ejemplo, si todos los factores se han elegido sobre la diagonal, p = 0 y el producto va multiplicado por ( 1) 0 = 1. Ejercicio En cualquier matriz cuadrada, uno de los posibles productos que se pueden formar en los que hay un factor de cada fila y de cada columna es el producto de los elementos de la contra-diagonal: Las siguientes preguntas son equivalentes a preguntar cuál es el número de intercambios de filas que es necesario realizar en una matriz cuadrada para llevar todos los elementos de la contra-diagonal a la diagonal. (a) Cuál es el signo que corresponde a este producto en el determinante de una matriz de tamaño 3 3? (b) Y en el de una matriz de tamaño 4 4? (c) Y en el de una matriz de tamaño 5 5? (d) Y en general en el de una matriz de tamaño n n? Solución: (a) 1. (b) 1. (c) 1. (d) ( 1) 1 2 (n (n mód 2)). Consecuencias inmediatas de la definición Matriz con una fila o columna de ceros. Si todos los elementos de una fila o de una columna son cero el determinante es cero. (Puesto que en cada uno de los productos hay un factor igual a cero.) 1 Versión de 9 de noviembre de 2015, 16:35 h.
2 Matriz triangular. Si todos los elementos encima o debajo de la diagonal son cero, todos los productos en los que intervenga un elemento fuera de la diagonal son cero y el determinante es igual al producto de los elementos de la diagonal. Matriz identidad. El determinante de una matriz identidad es 1. (Esto es consecuencia de lo anterior.) Múltiplo escalar de una matriz. Si una matriz cuadrada de orden n la multiplicamos por un número p, todos los productos que forman su determinante quedan multiplicados por p n veces (porque cada uno de los n factores de cada producto se ha multiplicado por p) y el determinante de la matriz queda multiplicado por p n Sea A = Sabiendo que det A = 20 calcular det(3a) Solución: det(3a) = = 1620 Matriz contra-triangular. Si en una matriz cuadrada de orden n todos los elementos encima o debajo de la contra-diagonal son cero, todos los productos en los que intervenga un elemento fuera de la contradiagonal son cero y el determinante es igual al producto de los elementos de la contra-diagonal multiplicado por ( 1) p donde p = 1 2 (n (n mód 2)) es el número de intercambios de fila que es necesario realizar para llevar los elementos de la contra-diagonal a la diagonal. 0 6 det = ( 1) 1 24 = 24, det = ( 1) 1 24 = 24, det ( ) = ( 1) 2 24 = 24, det = ( 1) 2 24 = 24. Determinante de la matriz traspuesta. Dado que la definición de determinante es simétrica respecto a las filas y columnas, el valor del determinante de una matriz es igual al de su traspuesta. Efecto de un intercambio de filas o columnas. Si se intecambian las posiciones de dos filas o de dos columnas de una matriz, se cambia el signo de su determinante. Consecuencia: El determinante de una matriz elemental de intercambio es 1: det P jk = 1. Efecto de un reescalado de una fila o columna. Si se multiplican todos los elementos de una fila o de una columna de una matriz por un número, se multiplica su determinante por ese número. Consecuencia: El determinante de una matriz elemental de reescalado por el escalar λ es igual a λ: det E λ = λ. 2
3 Cálculo del determinante por desarrollo de cofactores de una fila o columna Desarrollo por la primera columna Si queremos calcular un determinante, necesitamos formar todos los posibles productos que se pueden formar eligiendo un elemento de cada fila y de cada columna. Esto se puede hacer ordenadamente de la siguiente forma: Primero formamos todos los productos en los que aparece el primer elemento de la primera columna, a 11. La suma de todos estos productos (cada uno con su signo) es igual a a 11 multiplicado por el determinante de la matriz A 11 que se obtiene al eliminar en la original la primera fila y la primera columna, es decir (ver más abajo), el determinante del menor del elemento (1, 1). Después formamos todos los productos en los que interviene el segundo elemento de la primera columna, a 21. La suma equilibrada de estos productos es igual a a 21 multiplicado por el determinante de la matriz A 21 que se obtiene al eliminar en la original la segunda fila y la primera columna (el menor del elemento (2, 1)). Continuando de esta manera, vemos que el determinante de la matriz se puede expresar como una suma de productos de los elementos a i1 de la primera columna, cada uno de ellos multiplicado por el determinante de una matriz de un orden menor que la dada: det A = a 11 det A 11 a 21 det A 21 + ± a n1 det A n1 (1) Para entender perfectamente esta forma de calcular un determinante necesitamos introducir algunos conceptos: Menor de un elemento. Dada una matriz A, se llama menor del elemento que ocupa la posición (i, j) (es decir, fila i, columna j) y se denota A ij a la matriz obtenida al eliminar toda la fila i y toda la columna j de la matriz dada. Cofactor de un elemento. Dada una matriz cuadrada A, se llama cofactor del elemento que ocupa la posición (i, j) al determinante det A ij del menor de ese elemento multiplicado por +1 o 1 dependiendo de si i + j es par o impar. Así, el cofactor del elemento (i, j) de la matriz A se calcula por la fórmula: C i,j = ( 1) i+j det A ij. Usando cofactores, la fórmula (1) se puede escribir: det A = a 11 C a n1 C n1 Los cofactores de los elementos de una fila o columna nos permiten calcular el determinante de una matriz cuadrada mediante la fórmula de expansión del determinante por los cofactores de una fila o columna. La expansión del determinante de una matriz n n, A = (a ij ) por la columna j es: det A = a 1j C 1j + + a nj C nj La expansión del determinante de la misma matriz por la fila i es: det A = a i1 C i1 + + a in C in Consecuencias no tan inmediatas de la definición Efecto de descomponer una fila o columna como suma de dos. Si en una matriz cuadrada se descompone una fila o columna como suma de dos, su determinante se descompone en suma de dos. det a b c d e f = det a b c d e f + det a b c d e f. g + p h + q k + r g h k p q r 3
4 Efecto de sumar o restar a una fila otra fila o a una columna otra columna. Si en una matriz cuadrada se le suma o resta a una fila otra fila, su determinante no cambia. Consecuencia: Si una matriz cuadrada tiene dos filas o dos columnas iguales, su determinante es cero. Efecto de una operación de reemplazo de una fila o columna. Si a una fila o columna se le suma otra multiplicada por un escalar el determinante de la matriz no cambia. det a b c d e f = det a b c d e f. g + 3a h + 3b k + 3c g h k Consecuencia: El determinante de una matriz elemental de reemplazo es igual a 1. Cálculo de un determinante por reducción a forma escalonada De las propiedades enunciadas en la sección anterior se deduce que si una matriz A se transforma, mediante operaciones elementales de filas, en una matriz escalonada U y solamente se han usado operaciones de reemplazo y de intercambio (o sea, sin usar operaciones de reescalado, lo cual, por otra parte, siempre es posible), entonces el determinante de la matriz escalonada U es igual al determinante de A multiplicado por ±1 dependiendo de si el número de operaciones de intercambio ha sido par o impar. En otras palabras, si U es una forma escalonada de A obtenida sin operaciones de reescalado y con r operaciones de intercambio, entonces det A = ( 1) r det U. En consecuencia, el determinante de A sería igual a ( 1) r multiplicado por todos los elementos de la diagonal de U ya que toda matriz cuadrada escalonada es triangular. Al aplicar esta técnica de cálculo de un determinante no es necesario limitarse a operaciones elementales de filas. Se pueden realizar operaciones elementales de filas y de columnas mezcladas según convenga. Segunda definición Volumen n-dimensional. El volumen n-dimensional del n-cubo unitario de R n (generado por la base canónica de R n ) es 1. El volumen de un n-paralelepípedo recto rectangular definido por una base ortogonal de R n es el producto de las longitudes de sus n aristas. Definición de determinante. El determinante de una matriz cuadrada cuyas columnas forman una base de R n es el volumen n-dimensional de dicha base, el cual es igual al producto de las longitudes de los n vectores de la base, multiplicado por +1 o por 1 según que la base tenga la misma u opuesta orientación que la base canónica. Ejemplos de determinantes especiales 1. Si en una matriz cuadrada de orden n todos los elementos de una columna son iguales a p, su determinante es igual a p multiplicado por un determinante de orden n 1. Lo mismo ocurre si todos los elementos de una fila son iguales. Se resta la primera fila de cada una de las demás, 4
5 con lo que la columna en cuestión se convierte en (p, 0,..., 0) y ahora se desarrolla el determinante por esa columna. det a b p d e p = det a b p d a e b 0 = ( 1) 1+3 d a e b p det. g a h b g h p g a h b 0 2. Si en una matriz cuadrada de orden n la suma de los elementos de una fila es igual a la de los de otra fila cualquiera (todas las filas tienen la misma suma) entonces el determinante es igual a esa suma multiplicada por un determinante de orden n 1. Para verlo, realizamos sobre la matriz original las siguientes operaciones de reemplazo: Sumamos a la primera columna todas las demás columnas, con lo cual la primera columna tiene todos los elementos iguales y estamos en la situación del ejemplo anterior. det a b c b c a = det a + b + c b c a + b + c c a c b a c = (a + b + c) det. b b a c c b a a + b + c b a Determinante de una matriz por bloques En general no es sencillo reducir el determinante de una matriz por bloques a los determinantes de los bloques, pero hay un caso especial en el que sí es sencillo: Es el caso de una matriz partida en 2 2 bloques, que sea triangular por bloques y tal que los bloques en la diagonal sean cuadrados. Sean A y C matrices cuadradas (no necesariamente del mismo tamaño) y sea B una matriz con el mismo número de filas que A y el mismo número de columnas que C, de forma que se puede formar la matriz por bloques A B 0 C. Entonces A B det = det A det C. (2) 0 C Ejercicio: Demostrar esta fórmula siguiendo estos pasos: (a) demostar el caso C = I. (b) Demostrar el caso en que A no tiene inversa. (c) Para el caso de que A tenga inversa, demostrar la siguiente identidad y usarla, junto con (a), para demostrar (2): ( A B A 0 I A = 1 ) B. 0 C 0 I 0 C La fórmula (2) sigue siendo cierta en un caso más general. Supongamos que A es una matriz n n partida en k k bloques (no necesariamente del mismo tamaño) y tal que los bloques de la diagonal, A ii para i = 1,... k, son cuadrados (siendo el tamaño de A ii, p i p i ) y los bloques debajo de la diagonal son todos matrices nulas, A 11 A A 1k 0 A A 2k A = A kk Entonces el determinante de A es el producto de los determinantes de las matrices de la diagonal: Esta fórmula es una consecuencia inmediata de (2). det(a) = det(a 11 ) det(a kk ). (3) 5
3.7. Determinantes. Definición. El determinante de una matriz cuadrada es la suma equilibrada de todos esos posibles Definición de determinante.
37 Determinantes 11 Definición de determinante Para calcular el determinante de una matriz cuadrada de orden n tenemos que saber elegir n elementos de la matriz de forma que tomemos solo un elemento de
Más detallesTema 1: Matrices y Determinantes
Tema 1: Matrices y Determinantes September 14, 2009 1 Matrices Definición 11 Una matriz es un arreglo rectangular de números reales a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m A = a n1 a n2 a nm Se dice que una matriz
Más detallesDeterminante de una matriz
25 Matemáticas I : Preliminares Tema 3 Determinante de una matriz 31 Determinante de una matriz cuadrada Definición 67- Sea A una matriz cuadrada de orden n Llamaremos producto elemental en A al producto
Más detallesSistemas de Ecuaciones Lineales
Sistemas de Ecuaciones Lineales 1 Sistemas de ecuaciones y matrices Definición 1 Una ecuación lineal en las variables x 1, x 2,..., x n es una ecuación de la forma con a 1, a 2... y b números reales. a
Más detallesMENORES, COFACTORES Y DETERMINANTES
MENORES, COFACTORES Y DETERMINANTES 1. Introducción. 2. Determinante de una matriz de 3 x 3. 3. Menores y cofactores. 4. Determinante de una matriz de n x n. 5. Matriz triangular. 6. Determinante de una
Más detallesBLOQUE DE ÁLGEBRA: TEMA 1: MATRICES.
BLOQUE DE ÁLGEBRA: TEMA 1: MATRICES. Matrices: Se llama matriz de dimensión m n a un conjunto de números reales dispuestos en m filas y n columnas de la siguiente forma: 11 a 12 a 13... a 1n A= a a 21
Más detallesUna matriz es una tabla ordenada (por filas y columnas) de escalares a i j de la forma: ... ... a... ...
MATRICES Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Tienen también muchas aplicaciones
Más detallesLección 5.1: Matrices y determinantes. Primeros conceptos. Objetivos de esta lección
Matemáticas Tema 5: Conceptos básicos sobre matrices y vectores Objetivos Lección 5.: y determinantes Philippe Bechouche Departamento de Matemática Aplicada Universidad de Granada 3 4 phbe@ugr.es 5 Qué
Más detallesPRUEBA MÚLTIPLE ELECCIÓN MATRICES Y DETERMINANTES
PRUEBA MÚLTIPLE ELECCIÓN MATRICES Y DETERMINANTES 1. Sea una matriz A M n n (R) nilpotente de índice p. r(a) n 1 r(a) =p 1 8 4 2 2. Sea la matriz A = 2 1 1 0 5 2 1 1 r(a) =2 r(a) =3 r(a) =4 3. Sea una
Más detallesMatrices y Determinantes
Apuntes de Álgebra Lineal Capítulo 3 Matrices y Determinantes 31 Operaciones con matrices 311 Suma, resta y multiplicación por escalares Las matrices de un tamaño fijo m n se pueden sumar entre sí y esta
Más detallesMatrices y Determinantes
Apuntes de Álgebra Lineal Capítulo 3 Matrices y Determinantes 31 Operaciones con matrices 311 Suma, resta y multiplicación por escalares Las matrices de un tamaño fijo m n se pueden sumar entre sí y esta
Más detallesSe denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.
TEMA 1.- MATRICES 1.-Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. Cada uno de los números de que consta la
Más detallesMatrices. Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones ordenados en filas y columnas.
Matrices Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones ordenados en filas y columnas. Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento
Más detallesUna forma fácil de recordar esta suma (regla de Sarrus): Primero vamos a estudiar algunas propiedades de los determinantes.
Una forma fácil de recordar esta suma (regla de Sarrus): Ejemplos: Tarea: realizar al menos tres ejercicios de cálculo de determinantes de matrices de 2x2 y otros tres de 3x3. PARA DETERMINANTES DE MATRICES
Más detallesMatemáticas 2.º Bachillerato. Matemáticas 2.º Bachillerato. Matemáticas 2.º Bachillerato. Ejemplo:
Mapa conceptual Determinante de segundo orden Dada una matriz cuadrada de segundo orden: a a 11 12 A = a a 21 22 se llama determinante de A al número real: det (A)= A = a11 a 12 = a a a a a21 a22 11 22
Más detallesConcepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.
Matrices Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina
Más detallesMatrices y determinantes
Matrices y determinantes 1 Ejemplo Cuál es el tamaño de las siguientes matrices? Cuál es el elemento a 21, b 23, c 42? 2 Tipos de matrices Matriz renglón o vector renglón Matriz columna o vector columna
Más detallesTema 5. Matrices y Determinantes
Tema 5. Matrices y Determinantes 1. Definiciones 2. Operaciones Propiedades 3. Determinantes Orden 2 Orden 3: Regla de Sarrus Orden mayor de 3 Propiedades 4. Matriz inversa Ecuaciones matriciales 5. Rango
Más detallesMatrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales
Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales David Ariza-Ruiz 10 de octubre de 2012 1 Matrices Una matriz es una tabla numérica rectangular de m filas y n columnas dispuesta de la siguiente
Más detallesTEST DE DETERMINANTES
Página 1 de 7 TEST DE DETERMINANTES 1 Si A es una matriz cuadrada de orden 3 con A = -2, a qué es igual -A? A -2 B 2 C 0 D -6 2 A -144 B 44 C 88 D -31 3 Indicar qué igualdad es falsa: A B C D 4 A -54 B
Más detallesCONTENIDOS MATEMÁTICAS II SEGUNDA EVALUACIÓN CURSO 2017/2018 MATRICES
CONTENIDOS MATEMÁTICAS II SEGUNDA EVALUACIÓN CURSO 2017/2018 Unidades: - Matrices (Bloque Álgebra) - Determinantes (Bloque Álgebra) - Sistemas de ecuaciones lineales (Bloque Álgebra) - Vectores (Bloque
Más detallesTEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES. CONCEPTO DE MATRIZ. LA MATRIZ COMO EXPRESIÓN DE TABLAS Y GRAFOS.
TEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES. 1. MATRICES. CONCEPTO DE MATRIZ. LA MATRIZ COMO EXPRESIÓN DE TABLAS Y GRAFOS. DEFINICIÓN: Las matrices son tablas numéricas rectangulares
Más detallesDeterminantes. = a 11a 22 a 12 a 21 = ( 3) ( 5) ( 4) 7 = 15 ( 28) = = 43
Determinante de una matriz cuadrada Toda matriz cuadrada A lleva asociado un número, llamado determinante de A, y que denotaremos mediante el símbolo. Este número, entre otras cosas, permite saber cuándo
Más detallesMatriz sobre K = R o C de dimensión m n
2 Matrices y Determinantes 21 Matrices Matriz sobre K = R o C de dimensión m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Tipos de matrices: Cuadrada: n n = (a ij) i=1,,m j=1,,n Nula: (0) i,j 1 0
Más detalles1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS
1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS 1.1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Una ecuación lineal es una ecuación polinómica de grado 1, con una o varias incógnitas. Dos ecuaciones son equivalentes
Más detallesDefinición Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas.
Tema 1 Matrices 1.1. Conceptos básicos y ejemplos Definición 1.1.1. Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas. NOTA:
Más detallesMATRICES. Jaime Garrido Oliver
MATRICES Jaime Garrido Oliver ÍNDICE DE CONTENIDOS ÍNDICE DE CONTENIDOS... 2 MATRICES... 3 1.1. INTRODUCCIÓN.... 3 2. TIPOS DE MATRICES... 4 2.1. Matriz Fila, Matriz Columna... 4 2.2. Matrices cuadradas...
Más detallesDada la proporción =, calcula el producto de extremos menos el producto de medios. 4. Halla los determinantes de las siguientes matrices: Solución:
3 Determinantes. Determinantes de orden y 3 por Sarrus Piensa y calcula 3 6 Dada la proporción =, calcula el producto de extremos menos el producto de medios. 4 8 3 8 6 4 = 4 4 = 0 Aplica la teoría. Calcula
Más detallesCAPÍTULO 3: DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
CAPÍTULO 3: DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES Parte A: determinantes. A.1- Definición. Por simplificar, consideraremos que a cada matriz cuadrada se le asocia un número llamado determinante que se
Más detallesEspacios vectoriales con producto interior
Espacios vectoriales con producto interior Longitud, norma o módulo de vectores y distancias entre puntos Generalizando la fórmula pitagórica de la longitud de un vector de R 2 o de R 3, definimos la norma,
Más detallesMenor, cofactor y comatriz
Menor, cofactor y comatriz Sea A una matriz cuadrada de orden n. Al quitarle la línea i y la columna j se obtiene una submatriz de orden n-1, que se denota habitualmente A i,j. Por ejemplo, con n = 4,
Más detallesDefinición: Dos matrices A y B son iguales si tienen el mismo orden y coinciden los elementos que ocupan el mismo lugar.
UNIDAD 03: MATRICES Y DETERMINANTES. 3.1 Conceptos de Matrices. 3.1.1 Definición de matriz. Definición: Se lama matriz de orden m x n a un arreglo rectangular de números dispuestos en m renglones y n columnas.
Más detalles2 - Matrices y Determinantes
Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1 2 - Matrices y Determinantes 1 Matrices 11 Definición Una matriz A es cualquier ordenamiento rectangular de números o funciones a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A a m1
Más detallesMATRICES. Una matriz es un conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.
MATRICES Una matriz es un conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento
Más detallesTema 1. Álgebra lineal. Matrices
1 Tema 1. Álgebra lineal. Matrices 0.1 Introducción Los sistemas de ecuaciones lineales aparecen en un gran número de situaciones. Son conocidos los métodos de resolución de los mismos cuando tienen dos
Más detallesTEMA 7: MATRICES. OPERACIONES.
TEMA 7: MATRICES. OPERACIONES. 1. MATRICES. TIPOS DE MATRICES. Se llama matriz de orden m x n (m filas y n columnas) a un conjunto de m n elementos, distribuidos en m filas y n columnas y encerrados entre
Más detalles1 ÁLGEBRA DE MATRICES
1 ÁLGEBRA DE MATRICES 1.1 DEFINICIONES Las matrices son tablas numéricas rectangulares. Se dice que una matriz es de dimensión m n si tiene m filas y n columnas. Cada elemento de una matriz se designa
Más detallesMATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 1 Curso preparatorio de la prueba de acceso a la universidad para mayores de 25 años curso 2010/11 Nuria Torrado Robles Departamento de Estadística Universidad
Más detallesÁLGEBRA DE MATRICES TRASPUESTA DE UNA MATRIZ SUMA Y RESTA DE MATRICES
ÁLGEBRA DE MATRICES TRASPUESTA DE UNA MATRIZ La traspuesta de una matriz A consiste en intercambiar las filas por las columnas (o las columnas por las filas) y se denota por: A T Así, la traspuesta de
Más detallesA cada matriz n-cuadrada A = (ai j ) se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por det (A), A o
DETERMINANTES A cada matriz n-cuadrada A = (ai j ) se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por det (A), A o Una tabla ordenada n ð n de escalares situada entre dos líneas
Más detallesCURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
CONCEPTO MATRICES Se llama matriz de orden (dimensión) m n a un conjunto de m n elementos dispuestos en m filas y n columnas Se representa por A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn j=1,2,,n
Más detallesDeterminantes. Profesores Omar Darío Saldarriaga Ortíz. Hernán Giraldo
Determinantes Profesores Omar Darío Saldarriaga Ortíz Iván Dario Gómez Hernán Giraldo 2009 Definición Sea A una matriz de tamaño m n, para 1 i m y 1 j n, definimos el ij-ésimo menor de A, al cual denotaremos
Más detallesTEMA 1: MATRICES Y DETERMINANTES
TEMA 1: MATRICES Y DETERMINANTES 1 Matrices Definición 11 Una matriz es un arreglo rectangular de números reales de la forma a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m A = a n1 a n2 a nm Las líneas horizontales (verticales)
Más detalles3. ÁLGEBRA LINEAL // 3.1. SISTEMAS DE
3. ÁLGEBRA LINEAL // 3.1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES COMPLEMENTOS PARA LA FORMACIÓN DISCIPLINAR EN MATEMÁTICAS Curso 2011-2012 3.1.1. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Método
Más detalles3. ÁLGEBRA LINEAL // 3.1. SISTEMAS DE
3. ÁLGEBRA LINEAL // 3.1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES COMPLEMENTOS PARA LA FORMACIÓN DISCIPLINAR EN MATEMÁTICAS // Curso 2017-18 3.1.1. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Método
Más detallesMatrices y Determinantes.
Matrices y Determinantes. Definición [Matriz] Sea E un conjunto cualquiera, m, n N. Matrices. Generalidades Matriz de orden m n sobre E: a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n...... a m1 a m2... a mn a ij
Más detallesEstos apuntes se han sacado de la página de internet de vitutor con pequeñas modificaciones.
TEMA 1: MATRICES Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones ordenados en filas y columnas. Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento
Más detallesMatrices y Sistemas Lineales
Matrices y Sistemas Lineales Natalia Boal María Luisa Sein-Echaluce Universidad de Zaragoza Matrices sobre IR ó C. Definición Dado un conjunto K (IR ó C) y dos conjuntos finitos de índices I = {,, m} J
Más detallesMatemáticas 2ºBachillerato Aplicadas a las Ciencias Sociales
Matemáticas 2ºBachillerato Aplicadas a las Ciencias Sociales 1era evaluación. Determinantes DETERMINANTES Se trata de una herramienta matemática que sólo se puede utilizar cuando nos encontremos con matrices
Más detallesDefinición de matriz Una matriz A es un conjunto de números dispuestos en filas y en columnas.
1.- CONCEPTO DE MATRIZ. TIPOS DE MATRICES Definición de matriz Una matriz A es un conjunto de números dispuestos en filas y en columnas. 1 3 4 Por ejemplo, A = es una matriz de 2 filas y 3 columnas 0 5
Más detallesMatrices. En este capítulo: matrices, determinantes. matriz inversa
Matrices En este capítulo: matrices, determinantes matriz inversa 1 1.1 Matrices De manera informal una matriz es un rectángulo de números dentro de unos paréntesis. A = a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 2,1 a 2,2 a
Más detallesTema 2: Determinantes
Tema 2: Determinantes 1. Introducción En este tema vamos a asignar a cada matriz cuadrada de orden, un número real que llamaremos su determinante y escribiremos. Vamos a ver cómo se calcula. Consideremos
Más detallesMatrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales.
UNIVERSIDAD DE MURCIA Departamento de Matemáticas Óptica y Optometría Resúmenes Curso 2007-2008 Matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales. Una matriz A de orden m n es una colección de m
Más detallesLas matrices se denotarán usualmente por letras mayúsculas, A, B,..., y los elementos de las mismas por minúsculas, a, b,...
INTRO. MATRICES Y DETERMINANTES Prof. Gustavo Sosa Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas
Más detalles2.- TIPOS DE MATRICES
2º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II TEMA.- MATRICES PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES.- CONCEPTO DE MATRIZ. Definición de matriz Una matriz real A es un conjunto de números reales
Más detallesMATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
5 de Abril de 2 MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (Clase ) Departamento de Matemática Aplicada Facultad de Ingeniería Universidad Central de Venezuela Puntos a tratar. Definición
Más detallesVectores y Matrices. Tema 3: Repaso de Álgebra Lineal Parte I. Contenidos
Tema 3: Repaso de Álgebra Lineal Parte I Virginia Mazzone Contenidos Vectores y Matrices Bases y Ortonormailizaciòn Norma de Vectores Ecuaciones Lineales Algenraicas Ejercicios Vectores y Matrices Los
Más detallesAPUNTES ALGEBRA SUPERIOR
1-1-016 APUNTES ALGEBRA SUPERIOR Apuntes del Docente Esp. Pedro Alberto Arias Quintero. Departamento De Ciencias Básicas, Unidades Tecnológicas de Santander. Contenido MATRICES Y DETERMINANTES... ELEMENTOS
Más detalles2.1 Introducción. Propiedades.
19 2 MATRICES II: DETERMINANTES En este segundo capítulo de matrices, aprenderemos a utilizar una herramienta muy importante como son los determinantes Gracias a ellos, podremos calcular la inversa de
Más detallesMATEMÁTICAS 2º BACH TECNOL. MATRICES. Profesor: Fernando Ureña Portero MATRICES
CONCEPTO DE MATRIZ Definición: Se denomina matriz A o (a ij ) a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas : Columnas Filas Elemento a ij : Cada uno
Más detallesde la forma ), i =1,..., m, j =1,..., n, o simplemente por (a i j ).
INTRODUCCIÓN. MATRICES Y DETERMINANTES Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales.
Más detallesMatrices 3. Matrices. Verónica Briceño V. agosto 2012
3 agosto 2012 En esta Presentación... En esta Presentación veremos: Matriz Inversa En esta Presentación... En esta Presentación veremos: Matriz Inversa Determinante En esta Presentación... En esta Presentación
Más detallesTema 1: Matrices. El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto en la representación y manipulación de datos como en el cálculo numérico.
Tema 1: Matrices El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto en la representación y manipulación de datos como en el cálculo numérico. 1. Terminología Comenzamos con la definición de matriz
Más detallesTEMA 7. Matrices y determinantes.
TEMA 7 Matrices y determinantes. 1. Matrices. Generalidades Definición 1 Sea E un conjunto cualquiera, m, n IN. Definimos matriz de orden m n sobre E a una expresión de la forma: a 11 a 12... a 1n a 21
Más detallesMatrices y determinantes
Matrices y determinantes 1 Matrices Una matriz de orden m n es un conjunto de m n números ordenados en m filas y n columnas Por ejemplo, 1 1 2 0 2 0 2 1 1 1 2 1 3 0 2 es una matriz de orden 3 5 Una matriz
Más detallesEJERCICIOS RESUELTOS DE MATRICES
EJERCICIOS RESUELTOS DE MATRICES. Dadas las matrices A - 3, B 0 - y C 3 -, calcular si es posible: a) A + B b) AC c) CB y C t B d) (A+B)C a) A + B - 3 + 0 - b) AC - 3 3 - +0 -+ 3+ +(-) 0 7 0.+(-).3+(-)(-).+(-)
Más detallesAlgebra lineal Matrices
Algebra lineal Matrices Una matriz A un arreglo rectangular de números dispuestos en m renglones (filas) y n columnas. Fila 1 La componente o elemento ij de A, denotado por es el número que aparece en
Más detallesTema 1 CÁLCULO MATRICIAL y ECUACIONES LINEALES
Tema 1 CÁLCULO MATRICIAL y ECUACIONES LINEALES Prof. Rafael López Camino Universidad de Granada 1 Matrices Definición 1.1 Una matriz (real) de n filas y m columnas es una expresión de la forma a 11...
Más detallesMATRICES. 2º Bachillerato. Se llama matriz a una disposición rectangular de números reales, a los cuales se les denomina elementos de la matriz.
Concepto de matriz. Igualdad de matrices MATRICES 2º Bachillerato Concepto de matriz. Igualdad de matrices Concepto de matriz. Igualdad de matrices Se llama matriz a una disposición rectangular de números
Más detallesDeterminantes. Determinante de orden uno. a 11 = a 11 5 = 5
DETERMINANTES Determinantes Concepto de determinante A cada matriz cuadrada A se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por A o por det (A). A = Determinante de orden uno
Más detallesMatemáticas Física Curso de Temporada Verano Ing. Pablo Marcelo Flores Jara
Matemáticas Física Curso de Temporada Verano 2016 Ing. Pablo Marcelo Flores Jara pablofloresjara@gmail.com UNIDAD III: INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO MATRICIAL Ing. Pablo Marcelo Flores Jara pablofloresjara@gmail.com
Más detallesMatrices 1. Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.
Matrices 1 Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. Cada uno de los números de que consta la matriz se
Más detallesUna matriz es una arreglo rectangular ordenado de elementos, comúnmente llamados escalares, dispuestos en m renglones y n columnas.
MATRICES Las matrices tienen una importancia fundamental en el análisis económico sobre todo en el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, como en el modelo insumo-producto. Cuando trabajamos con modelos
Más detallesConjuntos y matrices. Sistemas de ecuaciones lineales
1 Conjuntos y matrices Sistemas de ecuaciones lineales 11 Matrices Nuestro objetivo consiste en estudiar sistemas de ecuaciones del tipo: a 11 x 1 ++ a 1m x m = b 1 a n1 x 1 ++ a nm x m = b n Una solución
Más detalles1. Lección 3: Matrices y Determinantes
Apuntes: Matemáticas Empresariales II 1. Lección 3: Matrices y Determinantes Se define matriz de orden n m a todo conjunto de n m elementos de un cuerpo K, dispuestos en n filas y m columnas: A n m = (
Más detallesProblemas Sesión 5: Matrices I
Problemas Sesión 5: Matrices I P) Sean A 2 3 6 sin embargo B C. ; B 3 8 2 3 y C 5 2 2. Comprueba que AB AC y que El resultado de calcular los productos es: AB AC 7 2 2 6 P2) Considera las matrices A y
Más detallesDeterminantes. Definiciones básicas sobre determinantes. José de Jesús Angel Angel.
Determinantes Definiciones básicas sobre determinantes wwwmathcommx José de Jesús Angel Angel jjaa@mathcommx MathCon c 2007-2008 Contenido 1 Determinantes 2 11 Propiedades de determinantes 4 2 Inversa
Más detallesTema 1: Matrices. El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto en la representación y manipulación de datos como en el cálculo numérico.
Tema 1: Matrices El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto en la representación y manipulación de datos como en el cálculo numérico. 1. Terminología Comenzamos con la definición de matriz
Más detallesMatrices y Determinantes. Prof. Nilsa I. Toro Catedrática Recinto Universitario de Mayagüez Residencial - AFAMaC
Matrices y Determinantes Prof. Nilsa I. Toro Catedrática Recinto Universitario de Mayagüez Residencial - AFAMaC Origen y Usos Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J.
Más detallesMatemáticas Empresariales II
Matemáticas Empresariales II Lección 3 Manuel León Navarro Colegio Universitario Cardenal Cisneros M. León Matemáticas Empresariales II 1 / 40 Concepto de Matriz Se define matriz de orden n m a todo conjunto
Más detallesÍ N D I C E MATRICES Y DETERMINANTES.
MATRICES Y DETERMINANTES Año escolar: 5to. año de bachillerato Autor: José Luis Albornoz Salazar Ocupación: Ing Civil. Docente Universitario País de residencia: Venezuela Correo electrónico: martilloatomico@gmail.com
Más detallesMatrices. Álgebra de matrices.
Matrices. Álgebra de matrices. 1. Definiciones generales Definición 1.1 Si m y n son dos números naturales, se llama matriz de números reales de orden m n a una aplicación A : {1, 2, 3,..., m} {1, 2, 3,...,
Más detallesTEMA V. Pues bien, a estas caracterizaciones de los sistemas de ecuaciones lineales se las llamó matrices. En el caso del sistema considerado tenemos:
TEMA V 1. MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Sea el siguiente sistema de ecuaciones lineales: Realmente quien determina la naturaleza y las soluciones del sistema, no son las incógnitas: x, y,
Más detallesDefinición 1. Determinante de una matriz 2 2. Sea A una matriz 2 2 dada por A =
Determinante de una matriz Funciones como f(x) = senx y f(x) = x 2 asocian un número real f(x) a un valor real de la variable x Dado que tanto x como f(x) asumen valores reales, se llaman funciones reales
Más detallesTema 2: Determinantes
Tema 2: Determinantes 1. Introducción En este tema vamos a asignar a cada matriz cuadrada de orden n, A M n un número real que llamaremos su determinante y escribiremos A. Vamos a ver cómo se calcula.
Más detallesHerramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas
real de con Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas, Grupo de Innovación Didáctica Departamento de Matemáticas Universidad de Extremadura real de con Índice real de con real de con.
Más detallesCAPÍTULO VIII MATRICES
MTRICES Y DETERMINNTES 23 CPÍTULO VIII MTRICES 8. INTRODUCCIÓN Se da por entendido el concepto de transformación lineal entre dos espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo, y se determina la matriz asociada
Más detallesObjetivos: Al inalizar la unidad, el alumno:
Unidad 1 Matrices y determinantes Objetivos: Al inalizar la unidad, el alumno: Identiicará qué es una matriz y cuáles son sus elementos. Distinguirá los principales tipos de matrices. Realizará operaciones
Más detallesEjemplo 1. Ejemplo introductorio
. -Jordan. Ejemplo 1. Ejemplo introductorio. -Jordan Dos especies de insectos se crían juntas en un recipiente de laboratorio. Todos los días se les proporcionan dos tipos de alimento A y B. 1 individuo
Más detallesÁLGEBRA LINEAL I Algunas soluciones a la Práctica 3
ÁLGEBRA LINEAL I Algunas soluciones a la Práctica 3 Matrices y determinantes (Curso 2011 2012) 2. Sea A una matriz diagonal n n y supongamos que todos los elementos de su diagonal son distintos entre sí.
Más detallesSistemas de Ecuaciones y Matrices
Sistemas de Ecuaciones y Matrices 0.1 Sistemas de ecuaciones Consideremos las gráficas de dos funciones f y g como en la figura siguiente: P Q y = fx y = gx En la práctica, en ocasiones hay que encontrar
Más detallesMATRICES OPERACIONES BÁSICAS CON MATRICES
MATRICES OPERACIONES BÁSICAS CON MATRICES ANTECEDENTES En el año 1850, fueron introducidas por J.J. Sylvester El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A.
Más detallesMATEMÁTICAS II: MATRICES Y DETERMINANTES
MATRICES Llamaremos matriz de números reales de orden (o dimensión) m n a un conjunto ordenado de m n números reales, dispuestos en m filas y n columnas: A a 11 a 12 a 13 a 1j a 1n a 21 a 22 a 23 a 2j
Más detallesMatrices y determinantes
Matrices y determinantes Las matrices y los determinantes son herramientas del álgebra de gran utilidad en muchas disciplinas. Los campos de aplicación de la teoría de las matrices y de los determinantes
Más detallesEs una tabla bidimensional de números consistente en cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse.
Definición de matriz Es una tabla bidimensional de números consistente en cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse. Una matriz es un cuadrado o tabla de números ordenados. Se llama matriz
Más detallesALGEBRA y ALGEBRA LINEAL
520142 ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL Primer Semestre, Universidad de Concepción CAPITULO 7. MATRICES DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas 1 Definición: Matriz Sean
Más detalles