TEMA 1: MATRICES Y DETERMINANTES

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1 TEMA 1: MATRICES Y DETERMINANTES 1 Matrices Definición 11 Una matriz es un arreglo rectangular de números reales de la forma a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m A = a n1 a n2 a nm Las líneas horizontales (verticales) son las filas (columnas) de la matriz La matriz es de orden n m si consta de n filas y de m columnas El conjunto de todas las matrices de orden n m se denota M n m El elemento a ij pertences a la fila i-ésima y a la columna j-ésima de la matriz Utilizaremos muy a menudo la forma abreviada A = (a ij ) i=1,,n j=1,,m para referirnos a la matriz, o incluso A = (a ij ) La diagonal principal de una matriz es la diagonal que va desde el elemento a 11 hasta el elemnto a ss, donde s = min{n, m} es el mínimo de filas y columnas Una matriz es cuadrada si n = m La traza de una matriz cuadrada A es la suma de sus elementos diagnoales, traza (A) = n i=1 a ii Definición 12 La matriz identidad de orden n es I n = La matriz nula, = O n es la matriz cuadrada con todos sus elementos nulos Definición 13 La traspuesta de una matriz A M n m se denota por A t, y es la matriz que resulta al intercambiar las filas por las columnas de A a 11 a 21 a n1 A t a 12 a 22 a n2 = M m n a 1m a 2m a nm Definición 14 Una matriz es simétrica si A = A, y antisimétrica si A = A una matriz simétrica o antisimétrica es necesariamente cuadrada La matriz identidad es simétrica, pero no es antisimétrica De hecho, una matriz antisimétrica tiene todos sus elementos en la diagonal principal nulos Basta observar que A y A tienen la misma giagonal principal (esto es cierto para cualquier matriz); dado que A = A, debe ser a ii = a ii = a ii, por lo que 2a ii = 0 y a ii = 0 1

2 2 TEMA 1: MATRICES Y DETERMINANTES 2 Operaciones con matrices La suma de dos matrices del mismo orden n m, es la matriz cuyos elementos son la suma de los elementos que ocupan la mima posición en las matrices originales Por tanto, si A = (a ij ) i=1,,n j=1,,m y B = (b ij) i=1,,n j=1,,m Ejemplo 21 Hallar A + B, donde A = A + B = A + B = (a ij + b ij ) i=1,,n ( j=1,,m ( ( 2) 5 + ( 3) ) ( y B = ) ( ) = ) El producto una matriz por un escalar es la matriz cuyos elementos son el producto de los elementos de la matriz original por el escalar Por tanto, si A = (a ij ) i=1,,n j=1,,m y λ R, entocnes λa = (λa ij ) i=1,,n Ejemplo 22 Sea λ = 3 y A = ( j=1,,m ) Entonces 3A = ( ) El producto de una matriz n m y una matriz m p (en es preciso orden) es una matriz de orden n p cuyo elemento en la fila i y columna j es el producto escalar (de vectores) de la fila i-ésima de la primera matriz por la columna j-ésima de la segunda matriz Por tanto, si A = (a ij ) i=1,,n j=1,,m and B = (b ij) j=1,,m k=1,,p, la matriz producto, C = AB M n p, tiene por elementos c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a im b mj ( ) Ejemplo 23 Hallar AB y BA, donde A = and B = ( ) 49 8= ( 4) Respuesta: AB = Sin embargo, BA no tiene sentido, dado que las dimensiones de las matrices no son compatibles para realizar el producto 21 Propiedades En las propiedades que se enumeran a continuación, se asume que las matrices que intervienen son de orden compatible para poder realizar las operaciones indicadas También, α, β R (1) (A t ) t = A (2) (A + B) t = A t + B t (3) A + B = B + A (la suma es commutativa) (4) A + (B + C) = (A + B) + C (la suma es asociativa) (5) α(a + B) = αa + αb (6) (α + β)a = αa + βa (7) La multiplicación de matrices no es commutativa, es decir, AB y BA en general no coinciden (8) A(BC) = (AB)C (el producto es asociativo)

3 TEMA 1: MATRICES Y DETERMINANTES 3 (9) A(B + C) = AC + AB y A(B + C) = AB + AC (el producto es distributivo respecto a la adición) (10) I n A = AI n = A and O n A = AO n = O n Cuando queremos resolver una ecuación del tipo 5x = 10, simplemente dividimos por 5, 5 1 5x = , y obtenemos trivialmente la solución x = 2 Si la ecuacin es matricial AX = B, donde A y B son matrices dadas y X es la matriz incógnita, existirá un objeto similar a 5 1 en el ejemplo escalar, tal que permita resolver la ecuación matricial? Obviamente, si existe, ese objeto debe cumplir A 1 A = I n Definición 24 Una matriz cuadrada A es regular o inversible si y sólo si existe una matriz B tal que AB = BA = I n La matriz B se llama matriz inversa de A y se denota A 1 Al contrario que con los números reales, ( no toda ) matriz no nula admite inversa Por 1 1 ejemplo, si consideramos la matriz A = y suponemos que admite inversa B = 1 1 ( ) x y, entonces al realizar el producto BA encontramos que, por una parte, x + y = 1 z t y por otra, x + y = 0, lo que no puede ser Luego, A no admite inversa Teorema 25 La matriz inversa es única La unicidad de A 1 se prueba fácilmente Por reducción al absurdo, si B es otra matriz inversa de A con B A 1, entonces BA = I n y Contradicción B = BI n = B(AA 1 ) = (BA)A 1 = I n A 1 = A 1 22 Propiedades de la matriz inversa Asumimos que las matrices que intervienen en las propiedades siguientes son regulares (1) (A 1 ) 1 = A (2) (A T ) 1 = (A 1 ) T (3) (AB) 1 = B 1 A 1 3 Determinantes En la ecuación matricial AX = B, si existiera A 1, entonces X = A 1 B y hemos solucionado dicha ecuación Es importante, pues, contar con un criterio que nos permita decidir qué matrices admiten inversa Resulta que esta información queda resumida en un único número que puede asociarse a toda matriz cuadrada, el determinante de una matriz A toda matriz cuadrada A le asociamos un número real llamado el determinante de A y denotamos por A o det (A), de la siguiente forma Para una matriz de orden 1, A = ((a), det (A) ) = a a b Para una matriz de orden 2, A =, det (A) = ad bc c d Para una matriz de orden 3 a 11 a 12 a 13 det (A) = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 23 a 32 a 33 a 21 a 12 a 13 a 32 a 33 + a 31 a 12 a 13 a 22 a 23

4 4 TEMA 1: MATRICES Y DETERMINANTES Esta expresión se conoce como el desarrollo del determinante por la primera columna de la matriz; este desarrollo puede hacerse, siguinedo las mismas pautas, por cualquier fila o columna, dando el mismo resultado Es importante tener en cuenta el signo ( 1) i+j colocado delante del término a ij Antes de continuar con la definición inductiva para el caso general, veamos un ejemplo Ejemplo 31 Calcular el deteminante mediante su desarrollo por la segunda columna = ( 1) ( 1) ( 1) = 2 ( 3) + 3 (0) (1) 1 = 5 Para una matriz de orden n general, el m todo de definicióne s el mismo que para matrices de orden 3, mediante eld esarrollo del determinante por una fila o columna, reduciendo de esta forma el cálculo del determinante de un determinante de orden n al cálculo de n determinantes de orden n 1 Por ejemplo,para un determinante de orden 4, hay que calcular 4 determinantes de orden 3 Para dar la definición general precisa, necesitamos introducir los siguientes dos conceptos Definición 32 Dada una matriz A de orden n, el menor complementario del elemento a ij, denotado M ij, es el determinante de orden n 1 que resulta de la eliminación de la fila i y de la columna j que contiene dicho elemento El adjunto de a ij, denotado A ij, es dicho menor complementario, multiplicado por el factor ( 1) i+j, es decir, A ij = ( 1) i+j M ij Definición 33 El determinante de una matriz cuadrada A M n se define por or, equivalently A = a i1 A i1 + a i2 A i2 + + a in A in (desarrollo de A por la fila i) A = a 1j A 1j + a 2j A 2j + + a nj A nj Ejemplo 34 Hallar el determinante (desarrollo de A por la columna j) Respuesta: Desarrollando el determinante por la tercera columna, tenemos = ( 1) ( 1) Propiedades de los determinantes Asumimos que las matrices A y B son cuadradas de orden n y λ R (1) A = A t (2) λa = λ n A (3) AB = A B (4) Una matriz A es regular si y sólo si A 0; en este caso, A 1 = 1 A

5 TEMA 1: MATRICES Y DETERMINANTES 5 (5) Al intercambiar dos líneas paralelas (filas o columnas) en un determinante, el determinante cambia de signo (6) Si un determinante tiene dos líneas paralelas (filas o columnas) iguales, entonces el determinante es 0 (7) Si todos los elementos de una fila o columna de un determinante se multiplican por una cosntante λ, entocnes el valor del determnate queda multiplicado por dicha constante λ (8) Al sumar una fila multiplicada por una constante (o columna) a otra fila (columna) no cambia el valor del determinante Por ejemplo = ya que el segundo determinante se obtiene del primero al restar a la segunda fila la primera multiplicada por 4 El siguiente resultado es fundamental Teorema 35 Una matriz cuadrada A admite inversa si y sólo si A 0 4 Operaciones elementales con matrices Cálculo de la matriz inversa Las siguientes operaciones con las filas y columnas de una matriz A M n m se denominan operaciones elementales El intercambio de líneas paralelas de A (filas o columnas) La multiplicación de una línea de A (fila o columna) por una constante diferente de 0 La suma a una línea de A (fila o columna), un múltiplo de otra línea paralela de A Todas estas operacioens pueden ser dadas en términos de producto de matrices adecuadas (llamadas elementales) por A Una operación sobre las filas de A es equivalente a la multiplicación por la izquierda por una matriz elemental E M n De la misma forma, una operación sobre las columnas de A es equivalente a la multiplicación por la derecha por una matriz elemental E M n Por ejemplo, para intercambiar las filas 1 y 3 de la matriz A = , multiplicamos por la izquierda por la matriz elemental E = para obtener EA = =

6 6 TEMA 1: MATRICES Y DETERMINANTES Para intercambiar las filas 1 y 2, la matriz elemental es E = la fila 2 de A la fila 3 pero multiplciada por7, la matriz elemental es E = manera que EA = = Para multiplciar la fila 2 de A por 5, consideramos la matriz elemental E = de manera que EA = = Para sumar a , de Estamos interesados en el método de Gauss de cálculo de la inversa de una matriz regular mediante operaciones elementales Definición 41 Dos matrices A y B del mismo orden son equivalentes si una de ellas puede obtenerse de la otra mediante operaciones elementales Teorema 42 Si A M n es regular, entocnes A es equivalente a la matriz identidad I n, es decir, existen matrices elementales E 1,, E r y E 1,, E r, tales que E r E 1 A = I n and AE 1 E r = I n Por tanto, la inversa de la matriz A es A 1 = E r E 1 = E 1 E r Esto significa que podemos encontrar la inversa de A mediante un número finito de operaciones elementales en las filas de la matriz Desde un punto de vista práctico el método de Gauss consiste en escribir una matriz ampliada a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n (A I n ) = a n1 a n2 a nn y realizar operaciones elementales sobre las filas de A hasta que sta se transforma en la matriz identidad I n La matriz en que se transforma la matriz identidad inicial, es la inversa de A, A 1 Ejemplo 43 Hallar la inversa de la matriz A = Respuesta: Se considera la matriz (A I 3 ) = En las operaciones siguientes, f i denota la fila i y f i ± λf j significa que sumamos (restamos) λ veces la,

7 fila j a la fila i (f 3 f 1 ) (2f 2 f 3 ) TEMA 1: MATRICES Y DETERMINANTES ( ) 1 2 Por tanto, la inversa de la matriz es ; ; (f 3 + f 2 ) (2f 1 f 2 ) /2 1/2 1/ /2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 A 1 = 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 5 Rango de una matriz El concepto de rango de matrices es fundamental en el estudio de los sistemas lineales de ecuaciones Definición 51 La forma escalonada inferior de una matriz A M n m es la matriz equivalente B M n m con ceros por debajo de la diagonal principal Por tanto, la forma escalonada se obtiene al realizar operaciones elementales con las filas de A hasta conseguir que todos los elementos a 21, a 31, a 32, sean nulos Por ejemplo, la matriz E = es la forma escalonada inferior de la matriz A = , ya que ambas son matrices equivalentes (compruébese!) Definición 52 El rango de una matriz A M n m, denotado rango (A), es el número de filas no nulas en la matriz escalonada inferior equivalente a A Por ejemplo, el rango de la matriz A anterior es 3, ya que el número de filas no nulas de E es 3 51 Propiedades del rango de una matriz Sean A, B M n m (1) Las matrices A y B son equivalentes si y sólo si rango (A) = rango (B) (2) rango (A t ) = rango (A) (3) rango (A) min{n, m} (4) Si A es cuadrada, entonces rango (A) = n si y sólo si A 0

8 8 TEMA 1: MATRICES Y DETERMINANTES Ejemplo 53 Hallar el rango de la matriz A = Respuesta: El rango es a lo sumo 3 Para hallarlo exactamente, busquemos la forma escalonada de A r 1+r (1/2)r 2+r /2 Luego el rango de A es 3 (pues quedan tres filas no nulas en la matriz escalonada) Existe una definición alternativa de rango, por supuesto, equivalente a la dada Definición 54 Dada una matriz A M n m, un menor de orden r de A es cualquiera de los determinantes de orden r que pueden construirse con r filas y r columnas de A Teorema 55 El rango de A coincide con el orden del mayor menor no nulo de A Notar que para determinar el rango de una matriz A con este método, podemos utilizar cualquiera de sus matrices equivalentes, en particular, la dorma escalonada de la matriz A Ejemplo 56 Calcular el rango de A = Respuesta: El rango es 3 a lo más En lugar de hallar la forma escalonada equivalente de A, vamos a calcularlo por menores Notar que , por lo que el rango de A es 2 al menos Si encontramos un menor no nulo de orden 3, entonces el rango de A es 3 En principio, podríamos necesitar calcular 4 menores de orden 3 (paramos en el momento en que encontramos uno no nulo) = 0, = 0, = 0, = 0 Por tanto, el rango es 2 Por supuesto, se obtiene el mismo resultado mediante transformaciones elementales f f 2 2f f 3 f