MATRICES. Matriz de los coeficientes. Matriz de las incógnitas. Matriz de los términos independientes. Matriz ampliada. Información general

Transcripción

1 MTRICES Sistema de ecuaciones lineales 2x+ 3y z= 5 5x 2y+ 2z= 10 x y+ 3z= 8 Expresión matricial x y = z Matriz de los coeficientes 3 filas 3 columnas matriz 3 3 x y z Matriz de las incógnitas 3 filas 1 columna matriz Matriz de los términos independientes 3 filas 1 columna matriz Matriz ampliada 3 filas 4 columnas matriz 3 4 Tabla Matriz Música Información general Emisora 15 4 Emisora 12 5 Emisora C Matriz 3 2 Número de horas de emisión de música y de información general en tres emisoras de radio I.E.S. Miguel de Cervantes (Granada) Departamento de Matemáticas GG 1

2 MTRIZ Una matriz de números reales de orden m n es una disposición rectangular de m n números reales que son los elementos de la matriz. a11 a12 a13 a1n a21 a22 a23 a2n = am1 am2 am3 amn Los elementos están dispuestos en filas y columnas. Filas (Horizontales) Fila i: a a a a ) ( i1 i2 i3 in Los subíndices ij del elemento a ij indica su posición: fila i y columna j. o = ( a ij ) Columnas (Verticales) Columna j: a1 j a2 j a mj La dimensión u orden de la matriz es el número de filas y columnas; en este caso es m n, o sea, m filas por n columnas. l conjunto de las matrices de números reales de dimensión m n lo designaremos por M m n. Ejercicio: = a) Dimensión b) Fila 2 c) Columna 3 d) Elemento a 34 Igualdad de matrices Dos matrices son iguales si tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan la misma posición son iguales. TIPOS DE MTRICES Matriz fila Tiene una única fila Dimensión 1 n Matriz columna Tiene una única columna Dimensión m 1 Matriz cuadrada Tiene el mismo número de filas que de columnas Dimensión n n Orden n Matriz rectangular Tiene distinto número de filas que de columnas Dimensión m n (m n) Matriz nula Todos sus elementos son cero Matriz escalonada (por filas) Superior Es una matriz en la que, de izquierda a derecha, el primer elemento no nulo de cada fila está más a la derecha que el primer elemento no nulo de la fila anterior Inferior Es una matriz en la que, de derecha a izquierda, el primer elemento no nulo de cada fila está más a la derecha que el primer elemento no nulo de la fila anterior Ejemplos ( 425 ) I.E.S. Miguel de Cervantes (Granada) Departamento de Matemáticas GG

3 MTRICES CUDRDS Diagonal principal y diagonal secundaria En una matriz cuadrada, la diagonal principal es la formada por los elementos con subíndices iguales, a ii La otra diagonal es la secundaria Matriz triangular Es una matriz cuadrada en la que todos los elementos por encima o por debajo de la diagonal principal son cero Triangular superior si son cero todos los elementos por debajo de la diagonal principal Triangular inferior si son cero todos los elementos por encima de la diagonal principal Matriz diagonal Es una matriz cuadrada en la que todos los elementos por encima y por debajo de la diagonal principal son cero Matriz escalar Es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal principal iguales Matriz identidad Es una matriz diagonal en la que todos los elementos de I3 = la diagonal principal son unos Diagonal principal Diagonal secundaria Triangular superior Triangular inferior Diagonal Escalar Identidad de orden 3 Matriz opuesta Matriz opuesta de es aquella que obtenemos cambiando el signo de todos los elementos de, y la representamos por Matriz traspuesta Matriz traspuesta de es aquella que obtenemos cambiando en las filas por las columnas, y la representamos por t Matriz simétrica Se dice que una matriz cuadrada es simétrica si coincide con su traspuesta t = En una matriz simétrica son iguales los elementos que ocupan posiciones simétricas respecto de la diagonal principal aij = aji Matriz antisimétrica Se dice que una matriz cuadrada es antisimétrica si la traspuesta y la opuesta de son iguales t = En una matriz antisimétrica cada elemento es igual al opuesto de su simétrico aij = aji De esto se deduce que los elementos de la diagonal principal son nulos a = 0 ii 2 3 = = t = = t = t = = = I.E.S. Miguel de Cervantes (Granada) Departamento de Matemáticas GG 3

4 OPERCIONES CON MTRICES Suma de matrices en M m n Definimos la suma de dos matrices =(a ij ) y =(b ij ), ambas de dimensión m n, como una nueva matriz de la misma dimensión que se obtiene al sumar los elementos de y de que se encuentran en la misma posición y expresaremos por +. = a ij a b + = + ij ij = b ij La suma de matrices es una operación interna en M m n. M M M + m n m n m n (, ) + a11 a12 a13 a1 n a21 a22 a23 a2n = a11 + b11 a12 + b12 a13 + b13 a1 n + b1 n am1 am2 am3 amn a21 + b21 a22 + b22 a23 + b23 a2n + b2n + = b11 b12 b13 b1 n b21 b22 b23 b am1 + bm 1 am2 + bm2 am3 + bm3 amn + bmn 2n = bm1 bm2 bm3 bmn Ejemplo: = y = ( ) = + = = ( 3) Propiedades de la suma de matrices en M m n 1. sociativa: + ( + C) = ( + ) + C 2. Conmutativa: + = + 3. Elemento neutro (Matriz nula): + 0= 0+ = 4. Elemento simétrico (Matriz opuesta): + ( ) = + = 0 (M m n,+) tiene estructura de grupo conmutativo Diferencia de matrices = + ( ) I.E.S. Miguel de Cervantes (Granada) Departamento de Matemáticas GG 4

5 Producto de un número real por una matriz de M m n Definimos el producto de un número real λ por una matriz de dimensión m n, con =(a ij ), como una nueva matriz de la misma dimensión de que se obtiene al multiplicar λ por cada uno de los elementos de, y lo expresaremos por λ. λ R λ λ a = a ij = ij El producto de un número real por una matriz es una operación externa en M m n M M ( λ, ) m n m n λ λ R a11 a12 a13 a1 n a a a a am1 am2 am3 amn n = λ λ a λ a λ a λ a λ a λ a λ a λ a λ a λ a λ a λ a n n = m1 m2 m3 mn Ejemplo: = ( ) = 3 = = ( 4) Propiedades del producto de un número real por una matriz de M m n 1. Distributiva respecto de la suma de matrices: ( ) λ + = λ + λ 2. Distributiva respecto de la suma de números: ( λ+ μ) = λ + μ 3. Seudoasociativa: ( λ μ) = λ ( μ ) 4. Elemento unidad: 1 = (M m n,, +, ) tiene estructura de espacio vectorial I.E.S. Miguel de Cervantes (Granada) Departamento de Matemáticas GG 5

6 PRODUCTO DE MTRICES No se puede realizar el producto de dos matrices cualesquiera. Para poder multiplicar dos matrices es necesario que el número de columnas de la primera matriz coincida con el número de filas de la segunda. La matriz producto tendrá tantas filas como la primera matriz y tantas columnas como la segunda matriz. Número de filas de = Número de filas de Número de columnas de = Número de columnas de Producto de una matriz fila por una matriz columna = C (m n) (n p) (m p) dim( ) = m n dim( C) = m p dim( ) = n p b11 b21 ( a11 a12 a1 n) = a11b11 + a12b a1 nbn1 bn1 El producto de una matriz fila por una matriz columna es un número, o dicho de otra forma, una matriz 1 1. (1 n) (n 1) (1 1) EJEMPLO Producto de dos matrices = = = ( ) El producto de dos matrices y es la matriz que se obtiene al multiplicar cada una de las filas de por cada una de las columnas de. La posición de cada elemento viene determinada por la fila y la columna de las que se obtiene. ( ij ) ( ij ) = C = a y dim( ) = m n C = ( cij ) y dim( C) = m p = b y dim( ) = n p columna j cij = Fi ( ) Cj ( ) = ( fila i de ) de b1 j b2 j cij = ( ai 1 ai 2 ain ) b nj c = a b + a b + + a b ij i1 1j i2 2 j in nj I.E.S. Miguel de Cervantes (Granada) Departamento de Matemáticas GG 6

7 EJEMPLO = y = (1) 5(3) (4) = = ( 1) 1( 3) ( 4) Propiedades = sociativa: ( ) C = ( C) Distributiva respecto a la suma por la izquierda: ( + C) = + C Distributiva respecto a la suma por la derecha: ( + ) C = C+ C Seudoasociativa: λ ( ) = ( λ ) = ( λ ) Matriz identidad: M m n e In matriz identidad de orden n In= M m n e Immatriz identidad de orden m Im = Para matrices cuadradas M I = I = n n n I.E.S. Miguel de Cervantes (Granada) Departamento de Matemáticas GG 7

8 NÚMEROS RELES MTRICES a b = b a = / a = 0 ab = 0 ó b = 0 = 0 = 0 / ó = 0 a c = b c C a = b = C / = c =/ 0 C =/ 0 ( ) a+ b = a + 2ab+ b ( ) a b = a 2ab+ b 2 2 ( a+ b)( a b) = a b ( ) = / + 2+ ( ) = / ( + )( ) = / EJERCICIOS ) Dadas las matrices = 2 1, = y C =, comprueba que C = C ( ) ( ) 2) Realiza los productos y en los siguientes casos: a) = 2 1 y = b) = 2 1 y c) = y Qué observas? = = ) Dadas las matrices = y = 4 1 0, hallar Sacas alguna conclusión? 4) Sean =, 2 0 = y C =. Comprobar que C = C Qué conclusión se puede obtener? 5) Dadas las matrices = 1 0 y 1 1 a) ( ) = / + 2+ b) ( ) = / 2+ c) ( )( ) + = / =, comprueba que: 0 1 I.E.S. Miguel de Cervantes (Granada) Departamento de Matemáticas GG 8

9 INVERS DE UN MTRIZ Sea una matriz cuadrada. Se dice que es la matriz inversa de si, y sólo si, = = I, siendo I la matriz identidad. Puede ser que exista o que no exista una matriz que cumpla dichas condiciones. Si existe, la designaremos por 1 y diremos que la matriz es regular o invertible. En caso contrario se dirá que es singular. Propiedades Sean y dos matrices regulares: 1) ( ) = 1 k 2) ( ) 1 1 k = ( k 0) 3) ( 1) 1 4) I 1 = = I t 1 1 5) ( ) = ( ) t 1 1 = = I EJERCICIOS 1) Dadas las matrices = y =, estudia si son inversas ) Calcula las inversas de las matrices = y, o demuestra que son singulares ) Calcula las inversas de las matrices = y = I.E.S. Miguel de Cervantes (Granada) Departamento de Matemáticas GG 9

10 Soluciones: = = I.E.S. Miguel de Cervantes (Granada) Departamento de Matemáticas GG 10

11 DEPENDENCI LINEL DE FILS Y COLUMNS Combinación lineal a a a a a = a m1 a a m2 a a m3 1n F1 a2n F2 = = a mn F m ( C C C ) 1 2 n Filas de : F 1, F 2,..., F m Columnas de : C 1, C 2,..., C n Se llama combinación lineal de las filas F 1, F 2,..., F r a una expresión de la forma: donde λ 1, λ 2,..., λ r son números reales. λ 1 F 1 + λ 2 F λ r F r Se llama combinación lineal de las columnas C 1, C 2,..., C s a una expresión de la forma: donde μ 1, μ 2,..., μ s son números reales. μ 1 C 1 + μ 2 C μ s C s EJERCICIO Dada la matriz a) 3 F 1 F 2 b) 2 C 3 +3 C = halla las siguientes combinaciones lineales: Dependencia lineal Una fila (columna) de una matriz depende linealmente de otras si es combinación lineal de ellas. Si entre las filas (columnas) de una matriz, alguna depende linealmente de otras, se dice que son linealmente dependientes; en caso contrario, son linealmente independientes En la matriz = las filas son linealmente dependientes porque F3 depende linealmente de F 1 y F 2 : F 3 = F 1 +2F 2 Las filas F 1 y F 2 son linealmente independientes. No se puede expresar una de ellas como combinación lineal de la otra, o sea, no se puede encontrar una expresión de la forma F 2 = λf 1 con λ 0 (no son proporcionales). EJERCICIO Estudiar si las filas de las siguientes matrices son linealmente dependientes o independientes: = = C = I.E.S. Miguel de Cervantes (Granada) Departamento de Matemáticas GG 11

12 RNGO DE UN MTRIZ En cualquier matriz el número de filas linealmente independientes coincide con el número de columnas linealmente independientes. Se llama rango de una matriz al número de filas (columnas) linealmente independientes. El rango de una matriz se representa por R(). El rango de una matriz es siempre menor o igual que el número de filas y que el número de columnas. El rango de una matriz es una característica importante de dicha matriz. Permite decidir si una matriz cuadrada tiene inversa. En sistemas de ecuaciones lineales nos dará información sobre la resolubilidad del sistema, o sea, nos permitirá clasificar el sistema = Rango() = 2 porque las dos filas son l.i = Rango() = 2 porque las filas F 1 y F 2 son l.i. y las F 3 y F 4 dependen linealmente de F 1 y F 2 : F 4 = F 1 + F 2 y F 3 = 5F 1 4F 2 (Las dos columnas C 1 y C 2 son l.i.) C = Rango(C) = 2 porque las filas F 1 y F 2 son l.i. y la F 3 depende linealmente de F 1 y F 2 : F 3 = F 1 F 2 TRNSFORMCIONES QUE CONSERVN EL RNGO DE UN MTRIZ 1) F i F j Si se intercambian entre sí dos filas (columnas), el rango de la matriz no cambia. Consecuencia: Si se cambia el orden de las filas (columnas), el rango de la matriz no varía. 2) F i λ F i (λ 0) Si se multiplica una fila (columna) por una constante distinta de cero, el rango no cambia. 3) F i F i + λ F j Si se suma a una fila (columna) un múltiplo de otra fila (columna), el rango no cambia. Consecuencia: Si se sustituye una fila (columna) por una combinación lineal de dicha fila (columna), con coeficiente no nulo, y de otras, el rango de la matriz no varía. 4) El rango no cambia si se suprime: Una fila o columna nula. Una fila o columna igual o proporcional a otra. Una fila o columna que sea combinación lineal de otras. 5) Si se traspone una matriz el rango no cambia. Las cuatro primeras transformaciones son las mismas que se utilizan en el método de Gauss. Obtención del rango de una matriz Estas transformaciones se utilizan para transformar una matriz en una matriz escalonada (Método de Gauss). El rango de la matriz dada es el número de filas no nulas de la matriz escalonada. I.E.S. Miguel de Cervantes (Granada) Departamento de Matemáticas GG 12