MATEMÁTICA LIC. Y PROF. EN CS. BIOLÓGICAS

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Inés Torres Toro
hace 6 años
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1 Definición: se llama matriz de m filas y n columnas sobre un cuerpo K (R ó C), a una ordenación rectangular de la forma Notación: a11 a a1n a21 a a2n A = M M M donde cada elemento a ij Є K para 1 i m ; 1 j n M M M am1 a a Se dice que la matriz A es de orden mxn Encontraremos que las matrices se denotan de diferentes maneras, por ejemplo, una manera para denotar a la matriz A Є K mxn dada anteriormente puede ser: (a ij ), otra manera, puede ser: a ij. En ambos casos, cada elemento de la matriz es un elemento del cuerpo K. Dar ejemplos de matrices A y B tales que A Є R 2x3 y B Є C 3x2 Observaciones: 1. Si el número de filas y de columnas coinciden (es decir, m=n), la matriz se llama matriz cuadrada de orden n Dar un ejemplo de una matriz cuadrada de orden 2 2. Si m=1, la matriz se llama matriz fila o vector fila (dar un ejemplo) 3. Si n=1, la matriz se llama.... (dar un ejemplo) 4. Cada elemento del cuerpo K, puede interpretarse como una matriz cuadrada de orden.. (dar un ejemplo) Igualdad de matrices Dos matrices, A y B, son iguales (A=B), sii tienen el mismo orden y todos sus elementos correspondientes iguales. 1

2 a11 a a1n b11 b b1n a21 a a2n b21 b b2n Es decir, si A = M M M y B = M M M M M M M M M am1 a a bm1 b b Ambas son del mismo orden, por lo tanto, serán iguales sii a ij = b ij, para 1 i m ; 1 j n Determinar para qué valores de x e y resultan iguales las matrices A y B que se dan a continuación: 2y y 5 A = B = 3x 1 7 2x 7 Idem para las matrices 2y y 5 A = B = 3x 1 7 2x 7 Operaciones con matrices Suma de matrices Sean A=(a ij ) y B=(b ij ), ambas matrices de K mxn, se llama suma de A y B a la matriz C=(c ij ), de K mxn, tal que: c ij = a ij + b ij, para 1 i m ; 1 j n s: Calcular las siguientes sumas: i 1 2i 3 + i 4 a) + = 0 4 i 2 b) (2 3-1) + (-2 0 4) = Propiedades de la suma de matrices Si A, B, C, son matrices de K mxn, entonces se cumplen las siguientes propiedades: S1) Asociativa (A+B)+C = A+ (B+C) S2) Conmutativa A+B = B+A S3) Existencia de elemento neutro La matriz elemento neutro de K mxn, es la matriz nula de K mxn, con todos sus elementos cero. Si A Є K mxn, y 0 es la matriz nula de K mxn, se verifica que A + 0 = 0 + A = A S4) Existencia de elemento opuesto Para toda matiz A Є K mxn, existe la matriz opuesta de A, que se denota -A. es la matriz que verifica que A + (-A) = 0, siendo 0 la matriz nula de orden mxn. Si A = (a ij ), entonces A = ( a ij ) Resta de matrices La resta de dos matrices, A y B que pertenecen a K mxn, está dada por: A B = A + ( B) 2

3 Multiplicación de una matriz por un escalar Sea el escalar k Є K y A = (a ij ) Є K mxn, la matriz k. A Є K mxn, es k. A=(k.a ij ) para 1 i m ; 1 j n Hallar 3.A, siendo 1 2 A = 0 5, Є K 3x2 4 1 Observación: de orden mxn. Si k. A = 0, con k Є K, A Є K mxn, 0 Є K mxn, entonces k=0 ó la matriz A es la matriz nula Multiplicación de matrices La multiplicación de matrices no se puede definir en forma general, sino bajo determinadas condiciones de las matrices que intervienen como factores. Sean A y B matrices, A=(a ij ) Є K mxn y B = (b ij ) Є K nxp, es decir que el número de columnas de A coincide con el número de filas de B, se define el producto A x B en ese orden- a la matriz C=(c ij ) Є K mxp, tal n que c = a.b, para 1 i m ; 1 j n Ejemplos: ij ik kj k= ) Sean A = 2 5 A Є R 3x2 y B = realizar porque.. B Є R 2x4, por lo tanto la multiplicación se puede Si C = A x B, C Є R 3x4 c = ( 1) = 1 c = 1.( 5) = 5 c = ( 2) = 0 c = = c = ( 1) = 3 c = 2.( 5) = 10 c = ( 2) = 2 c = = c = ( 1) = 1 c = 0.( 5) = 0 c = ( 2) = 2 c = = Por lo que C = ) Sean A y B matrices tales que A Є K 2x2, B Є K 2x3, La multiplicación se puede realizar porque.. A a a b b b = B = a21 a b21 b b23 Entonces, si C = A x B, C Є K y c11 = a 11.b 11 + a.b 21, c = a 11.b + a.b, c 13 =. c 21 =... c = c 23 =. 3

4 s: Hallar, de ser posible A x B en cada caso: (justificar en caso de no ser posible) 1) A = y 2 3 B = A = B = 3 1 2) ( ) ) A = B = ( 2 4) Observaciones: 1) El producto de matrices no es en general, conmutativo. 2) Si A x B = 0, no necesariamente alguna de las matrices debe ser la matriz nula, por ejemplo, si A = B =, AxB es la matriz nula (verificarlo), y ni A ni B son nulas Las matrices no nulas que multiplicadas dan por resultado la matriz nula, se llaman divisores de cero Producto de matrices cuadradas El producto de matrices cuadradas del mismo orden siempre está definido. Todas las propiedades de la suma enunciadas anteriormente se cumplen para matrices cuadradas. Además de ellas, se agregan: Existencia de elemento neutro de la multiplicación de matrices cuadradas del mismo orden En K nxn, existe una matriz llamada matriz unidad o matriz identidad, que contiene unos en la diagonal principal y ceros en el resto Id = M M M M si i = j Se la denota Id, y está definida por Id = (a ij ), tal que aij = 0 si i j Y para cada A Є K nxn, se verifica que A x Id = Id x A = A Matriz traspuesta Dada una matriz A = (a ij ) Є K mxp, se llama matriz traspuesta de A, y se la denota A t, a la matriz B = (b ij ) Є K pxm, tal que b ij = a ji, para 1 i m ; 1 j p 4

5 Hallar A t, siendo A = Propiedades de las matrices traspuestas 1) (A t ) t = A A Є K mxn 2) (A+B) t = A t + B t A Є K mxn B Є K mxn 3) (k. A) t = k. A t A Є K mxn k Є K 4) (A x B) t = B t x A t A Є K mxn B Є K nxp Matriz inversible Una matriz A cuadrada de orden n es inversible o regular o no singular, si existe una matriz B también cuadrada y de igual orden, tal que A x B = B x A = Id. Decimos que B es la matriz inversa de A, y la denotamos como A -1 Observación Si una matriz tiene inversa, ésta es única. Por ejemplo, la matriz 2 5 A = 1 3 es inversible, porque existe la matriz 3 5 B =, tal que 1 2 A x B = Id y B x A = Id, verificarlo 5

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