Matrices y determinantes (Curso )

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1 ÁLGEBRA Práctica 3 Matrices y determinantes (Curso ) 1. En el conjunto de las matrices n n de elementos reales, demostrar que el producto de matrices triangulares inferiores es otra matriz triangular inferior. (Primer parcial, febrero 2000) 2. Sea A una matriz diagonal n n y supongamos que todos los elementos de su diagonal son distintos entre sí. Demostrar que cualquier matriz n n que conmute con A ha de ser diagonal. (Examen final, junio 2002) 3. Se define la traza de una matriz cuadrada como la suma de los elementos de su diagonal principal. Sean A, B, C M n n (K) (C regular), demostrar: (a) tr(a + B) =tra+trb (b) tr(αa) = αtra. (c) tr(ab) =tr(ba) (d) tr(c 1 AC) =tr(a) 4. Sea A una matriz columna de orden n 1 tal que A t A = 1 y B = Id n 2AA t. Demostrar que: a) B es simétrica b) B 1 = B t (Primer parcial, enero 2008) 5. Sea A la matriz cuadrada de tamaño n n (n 2) cuyos elementos son { a si i = j a ij = b si i j Hallar a y b para que se verifique la relación A 2 = I, siendo I la matriz identidad n n. (Examen final, junio 1998) 6. Sea X una matriz cuadrada de tamaño n n y elementos reales. Sea k un número par. Probar que si X k = Id, entonces n es también un número par.

2 7. Calcular la potencia n-ésima de la matriz: A = (Examen extraordinario, diciembre 2005) 8. Decidir si la familia de matrices hemisimétricas regulares de M n n (K) verifica alguna de las dos condiciones: (a) dada una matriz de la familia, su inversa también pertenece a la familia; (b) dadas dos matrices de la familia, su producto también pertenece a la familia. 9. Determinar el rango de la siguiente matriz según los valores de a y b : 3 b a b 2 1 a a a a a b a b a 10. (a) Describir todas las matrices singulares reales simétricas 2 2, cuya traza es nula. (b) Describir todas las matrices singulares reales hemisimétricas 2 2, cuya traza es nula. 11. Demostrar que, si A y B son matrices regulares, se cumple que A 1 + B 1 = A + B AB (Primer parcial, febrero 2000) 12. Calcular razonadamente el siguiente determinante: (Examen extraordinario, septiembre 2006) 13. Hallar el siguiente determinante para n 2 x 1 + y 1 x 1 + y 2 x 1 + y 3 x 1 + y n x 2 + y 1 x 2 + y 2 x 2 + y 3 x 2 + y n A n = x 3 + y 1 x 3 + y 2 x 3 + y 3 x 3 + y n x n + y 1 x n + y 2 x n + y 3 x n + y n

3 (Primer parcial, febrero 2003) 14. Se considera el siguiente determinante de orden n: 1 + a 1 a 2 a 3 a n a a 2 a 3 a n A n = a 1 a a 3 a n a 1 a 2 a a n Obtener una relación de recurrencia que dé A n en función de A n 1 y, a partir de ella, hallar la expresión explícita de A n. 15. Sabiendo que el determinante de A es 1, hallar el determinante de B, A = a 1 d b 2 e, B = 2a d a + d 3 a 2b e b + e 6 b. c 1 f 2c f c + f 3 c (Examen final, septiembre 2005) 16. Encontrar la (única) respuesta correcta, de entre las indicadas, a las siguientes cuestiones: (a) Dada una matriz A M n n que cumple A 2 + βa + αi = Ω si β = 0, A es siempre regular. si α = 0, A es siempre singular. si α 0, A puede ser singular. si β 0, A puede ser singular. (Primer parcial, febrero 2001) (b) En una matriz cuadrada de orden n escribimos las filas en orden inverso. Su determinante queda multiplicado por 1. Su determinante queda invariante. Su determinante queda multiplicado por ( 1) n. Ninguna de las restantes respuestas es correcta. (Examen final, junio 2000) (c) Sea A M n n (IR). A 2 = Ω A = Ω. A 2 singular A singular. A 2 simétrica A simétrica. A 2 triangular inferior A triangular inferior.

4 (Primer parcial, febrero 1999) (d) Sean A y B matrices reales invertibles n n. Indicar la proposición falsa. Si A y B conmutan entonces A 1 y B conmutan. Si A y B conmutan entonces A 1 y B 1 conmutan. La matriz (A 1 B) t siempre tiene inversa. la matriz (A 1 + B) t siempre tiene inversa. (Primer parcial, enero 2005)

5 ÁLGEBRA Problemas adicionales Matrices y determinantes (Curso ) I. En el conjunto de las matrices n n de elementos reales, demostrar que si AA T = Ω, entonces A = Ω. (Primer parcial, febrero 2000) II. Calcular las potencias n-ésimas de las siguientes matrices: A = , B = ( ), C = 0 a b, D = c 0 0 a2 ab ac ab b 2 bc ac bc c 2. III. Para las siguientes familias de matrices no singulares de M n n (K), decidir si verifican alguna de las dos condiciones: (a) dada una matriz de la familia, su inversa también pertenece a la familia; (b) dadas dos matrices de la familia, su producto también pertenece a la familia. (1) las matrices simétricas regulares, (2) las matrices regulares que conmutan con una matriz dada A M n n (K), (3) las matrices ortogonales. IV. En el espacio vectorial real M n n sea U el conjunto de matrices que cumplen que la suma de todos los elementos de cualquier fila y la suma de todos los elementos de cualquier columna es constante. Si A U, denotamos esa constante por S(A), es decir: n a ij = a i1 + a i2 + + a in = S(A) i {1, 2,, n} j=1 n a ij = a 1j + a 2j + + a nj = S(A) j {1, 2,, n} i=1 (a) Si se llama F a la matriz n n que tiene todos sus elementos iguales a 1, demostrar que: Hallar α en función de S(A). A U ( α IR AF = F A = αf )

6 (b) Si A U y es regular, probar que S(A) es distinto de cero y que A 1 U. Hallar S(A 1 ) en función de S(A). (Examen final, septiembre 2003) V. (a) Sea n un número natural. Se considera la matriz A de dimensión n y cuyos elementos son a ij = máx {i, j}, i, j {1,..., n} Calcular el determinante de A. (b) Lo mismo siendo a ij = i j. VI. Dada la matriz m n con m, n > 1, n 1 n A = n + 1 n n 1 2n (m 1)n + 1 (m 1)n mn 1 mn expresar a ij en función de i y j, y calcular su rango. (Examen final, septiembre 2005) VII. Probar que una matriz antisimétrica de orden 1975 tiene determinante nulo. (Examen final, junio 2007) VIII. Encontrar la (única) respuesta correcta, de entre las indicadas, a las siguientes cuestiones: (a) Sean A, B dos matrices cuadradas reales de dimensión 2 2 tales que A B = Ω. Entonces: A = Ω ó B = Ω. rango(a) < 2. rango(a) + rango(b) < 3. A = B = Ω. (Primer parcial, enero 2006) (b) Sea la matriz real de dimensión n n: A =

7 Su determinante es: ( 1) ( 1) n ( 1) n(n 1) 2 ( 1) n(n+1) 2 (Primer parcial, enero 2005)