Matrices Particionadas Traza de una Matriz
|
|
- Marta Rivas Quintero
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 CAPÍTULO Matrices Particionadas Traza de una Matriz Este capítulo consta de tres secciones Las dos primeras versan sobre matrices particionadas La tercera sección trata sobre la traza de una matriz En este capítulo se consignarán los principales resultados sobre la traza de una matriz Existen razones para querer particionar una matriz A, algunas de ellas son: (i) La partición puede simplificar la escritura de A (ii) La partición puede exhibir detalles particulares e interesantes de A (iii) La partición puede permitir simplificar cálculos que involucran la matriz A 1 Submatrices Operaciones con matrices particionadas A veces es necesario considerar matrices que resultan de eliminar algunas filas y/o columnas de alguna matriz dada, como se hizo por ejemplo, al definir el menor correspondiente al elemento a ij de una matriz A [a ij] m n (véase el apartado 11 del capítulo 1) 1 Definición Sea A una matriz Una submatriz de A es una matriz que se puede obtener al suprimir algunas filas y/o columnas de la matriz A Ejemplo Las matrices S 1 S y S dadas a continuación, son submatrices de la matriz 1 A S 1 (suprimiendo en A la fila y la columna ) S (suprimiendo en A la fila ) S 6 (suprimiendo en A la fila y las columnas 1 y ) Dada una matriz A [a ij] m n ; mediante un sistema de rectas horizontales o verticales se puede particionarla en submatrices de A (Matriz particionada), como se ilustra en el siguiente ejemplo: 6 a 11 a 1 a 1 a 1 a 1 a a a a 1 a a a a 1 a a a a 1 a a a
2 1 Submatrices Matrices particionadas Hecho esto, se puede escribir, usando una notación obvia: A11 A 1 A 1 A A 1 A A donde A 11 a 11 a 1 a 1 A 1 a 1 a 1 a a a a A 1 a 1 a a a1 A 1 a 1 a a A a a a A a Debe ser claro para el lector, que una matriz puede ser particionada de diferentes maneras, por ejemplo: A Tal vez, la principal conveniencia de particionar matrices, es que se puede operar con matrices particionadas como si las submatrices fuesen elementos ordinarios, tal como se establece en el teorema siguiente Teorema 1 Si las matrices A y B están particionadas así: A 11 A 1 A 1n B 11 B 1 B 1n A 1 A A n A 6 B B 1 B B n 6 A m1 A m A mn B m1 B m B mn y si las sumas A ij + B ij están definidas para i 1 m j 1 n entonces A 11 + B 11 A 1 + B 1 A 1n + B 1n A 1 + B 1 A + B A n + B n A + B 6 A m1 + B m1 A m + B m A mn + B mn Si las matrices A y B están particionadas así: A 11 A 1 A 1n B 11 B 1 B 1s A 1 A A n A 6 y B B 1 B B s 6 A m1 A m A mn B n1 B n B ns 18
3 Matrices particionadas 1 Submatrices y si el número de columnas de cada bloque A ik es igual al número de filas de cada bloque B kj; i 1 m k 1 n j 1 s entonces donde C ij k1 A ikb kj C 11 C 1 C 1s C 1 C C s AB 6 C m1 C m C ms Si la matriz A está particionada como en (1) y si α es un escalar, entonces αa αa 11 αa 1 αa 1n αa 1 αa αa n 6 αa m1 αa m αa mn Si la matriz A está particionada como en (1), entonces A T A T 11 A T 1 A T m1 A T 1 A T A T m 6 A T 1n A T n A T mn Los incisos (1), () y () del teorema anterior son fáciles de verificar La demostración del inciso () es laboriosa y no se haran Sin embargo, el lector interesado puede consultar una indicación de dicha demostración en [1] página 19 A continuación se ilustrará el inciso () de dicho teorema Si y entonces A AB B A 11 A 1 A 1 A 1 A A 6 B 11 B 1 B 1 A 11B 11 + A 1B 1 + A 1B 1 A 1B 11 + A B 1 + A B
4 1 Submatrices Matrices particionadas pues A 11B 11 A 1B 1 A 1B ˆ A 1B 11 [1] ˆ 1 ˆ A B 1 ˆ A B 1 ˆ ˆ 1 ˆ Ejercicios 1 Dadas A m n y B n k, muestre que: a) La fila i de AB es igual a la fila i de A por la matriz B; en símbolos AB) i A ib (Sug: Particione la matriz A por filas) b) La columna j de AB es igual a la matriz A por la columna j de B; en símbolos AB) j AB j (Sugerencia: Particione la matriz B por columnas) c) Si A tiene una fila nula, entonces AB tiene una fila nula d) Si B tiene una columna nula, entonces AB tiene una columna nula Si A B n n son matrices triangulares superiores (inferiores), muestre que: a) AB es una matriz triangular superior (inferior) b) AB ii A iib ii Considere las matrices triangulares superiores por bloques X Y U V M y N Z W Muestre que si el producto MN está definido, entonces MN es una matriz triangular superior por bloques Sean A B n n R), X Y n 1 R) y α β R Suponga que A B Si M B A X A + B)X αx y A B)Y βy, demuestre X α X Y β Y a) M X Y b) M Y A B Si A B n n R) y A es simétrica, muestre que la matriz M B T es simétrica A 6 Suponga que las matrices que abajo aparecen son de tamaño apropiado, donde I es la matriz identica y que A 11 es una matriz invertible Encuentre matrices X y Y tales que el producto que 0
5 Matrices particionadas Determinantes sigue tiene la forma indicada Encuentre además B I A 11 A 1 X I A 1 A Y I A A B 11 B 1 B B Determinantes e inversas de algunas matrices especiales En algunas situaciones es conveniente utilizar matrices particionadas para describir determinantes e inversas de ciertas matrices en términos de las submatrices En particular, los teoremas 6 y 11, son usados en la deducción de las distribuciones condicionales de un vector aleatorio con distribución normal multivariante (véase el Teorema 61 de []) Es bien conocido, que el determinante de una matriz triangular (superior o inferior) es justamente el producto de los elementos de la diagonal principal La siguiente proposición enuncia un resultado análogo para matrices particionadas Proposición Sean A y C matrices cuadradas, A B 1 Si M entonces M A C C A Si M entonces M A C B C M Demostración Para la demostración del literal (1) usamos inducción sobre el orden n de la matriz Si n se tiene que M ac A C donde A B M C a b 0 c Suponga ahora que (1) es válida para n k y se demostrará que es válida para n k + 1 Sea M una matriz cuadrada de orden n k+1 particionada como en (1) Suponga además que B [b ij] r s y C [c ij] s s Si se denota por ˆB j a la submatriz de B que se obtiene suprimiendo en B la columna j y por Ĉj a la submatriz de C que se obtiene suprimiendo en C la columna j y la fila s, j 1 s Ahora, desarrollando el determinante de C por los cofactores de la fila s (véase el Teorema 1(1)), se obtiene: C c s1 1) s+1 Ĉ1 + c s 1) s+ Ĉ + + c ss 1) s+s Ĉs Así mismo, desarrollando el determinante de M por los cofactores de la fila k + 1 se obtiene: M c s1 1) k+1) s+1 A ˆB 1 0 Ĉ 1 + +c s 1) k+1) s+ A ˆB 0 Ĉ + + c ss 1) k+1) s+s A ˆB s 0 Ĉ s 1
6 Determinantes Matrices particionadas Utilizando la hipótesis de inducción se obtiene: M 1) k+1) s c s1 1) s+1 A Ĉ1 + c s 1) s+ A Ĉ + + c ss 1) s+s A Ĉs A c s1 1) s+1 Ĉ1 + c s 1) s+ Ĉ + + +c ss 1) s+s Ĉs A C Lo que completa la demostración de (1) La demostración de () se sigue del hecho de que M M T (teorema 1(1)) y del inciso (1) En efecto, se tiene: detm) detm T ) A T det B T C T deta T ) detc T ) deta) detc) Ejemplo Use partición de matrices y los resultados de la proposición anterior para calcular el determinante de cada una de las matrices siguientes: M y N 6 las cuales se pueden particionar respectivamente como sigue: y Entonces M N A B M y N 1 1 A C B C 1
7 Matrices particionadas Determinantes El siguiente teorema brinda una alternativa para calcular determinantes de matrices más generales particionadas por bloques A B 6 Teorema Sean A y D matrices cuadradas y sea M C D 1 Si D es invertible, entonces M D A BD 1 C Si A es invertible, entonces M A D CA 1 B Demostración Se hará sólo la demostración del literal (1), el segundo resultado se verifica de manera análoga y se deja como ejercicio al lector I A BD 1 C B Sea S D 1 Entonces MS Ahora por el teorema 1(9) y por la C I D proposición anterior, se tiene: M M I I M S MS D A BD 1 C Los siguientes resultados son consecuencia inmediata de este teorema y sus verificaciones se dejan como ejercicio Corolario Sean A B C y D matrices cuadradas de orden n y sea M la matriz dada por A B M C D 1 Si D es invertible y si DB BD entonces M DA BC Si A es invertible y si AC CA entonces M AD CB Si D y A es invertible, entonces M 1) n B C Si A y D es invertible, entonces M 1) n B C 8 Ejemplo Utilizando los resultados del corolario anterior se encuentran los determinantes para las matrices M y N dadas por: M 1 y N Se particiona ahora las matrices M y N de froma adecuada 1 A B Para M tomamos 1 siendo D [1] Puesto que D es una matriz invertible C D entonces, M D A BD 1 C Similarmente para N 6 1 A B siendo A Dado que A es invertible 1 C 0 0 se tiene que M 1) B C 1
8 Determinantes Matrices particionadas 9 Proposición Sean A y C matrices cuadradas A B 1 La matriz M C invertible entonces A La matriz M B C invertible entonces es invertible sii las matrices A y C son invertibles Además, si M es M 1 A 1 A 1 BC 1 C 1 es invertible sii las matrices A y C son invertibles Además, si M es M 1 A 1 C 1 BA 1 La prueba de este resultado se propone como ejercicio El ejemplo siguiente, ilustra el inciso (1) de la proposición anterior 10 Ejemplo Verifique que la matriz es invertible y calcule su matriz inversa M Observando la estructura de la matriz M se puede ver que una buena partición es: M 6 A B C C Puesto que las matrices A y C son invertibles, entonces M también lo es y además, M 1 A 1 A 1 BC 1 C El siguiente teorema presenta una fórmula para calcular inversas de matrices más generales 11 Teorema Sea B una matriz invertible particionada así: B11 B 1 B con B B 1 B 11 y B matrices invertibles Si B 1 está particionada así: B 1 A11 A 1 A 1 A donde A ii i 1 ), son matrices cuadradas de igual orden que la matriz B ii respectivamente entonces: 1 Las matrices A 11 y A son invertibles y sus inversas son las matrices B 11 B 11 B 1B 1 B1 y B 1 B B 1B 1 11 B1, respectivamente
9 Matrices particionadas Determinantes La matriz B 1 se puede expresar en términos de B 1 B 1 B 1 B 1 11 B 1 B1B 1 11 B y B 1 1 B 1 11 B1B 1 1 B 1 1 B 1 11 B1B 1 B 1 1 B1B 1 11 B 1 1 La matriz B 1 también se puede expresar así: I k B 1 + donde k es el tamaño de B 11 B 1 B 1 B1 B 1 11 ˆ Ik como sigue ó B 1B 1 Demostración Partiendo de la definición de matrices inversas BB 1 B11 B 1 A11 A 1 I B 1 B A 1 A I se obtienen las igualdades (1) (a) B 11A 11 + B 1A 1 I (b) B 1A 11 + B A 1 (c) B 11A 1 + B 1A (d) B 1A 1 + B A I Premultiplicando ambos miembros de (1(b)) por B 1, se sigue: I B 1 B 1A 11 + A 1, o sea, A 1 B 1 B 1A 11 Sustituyendo A 1 en (1(a)) y factorizando A 11 por la derecha, se obtiene `B11 B 1B 1 B 1 A11 I Es decir, las matrices B 11 B 11 B 1B 1 B1 y A11 son inversas entre si Por otro lado, si se premultiplica ambos miembros de (1(c)) por B 1 11, se sigue: A 1 + B 1 11 B 1A, o sea, A 1 B 1 11 B 1A Sustituyendo A 1 en (1(d)) y factorizando A por la derecha, se obtiene: `B B 1B 1 11 B 1 A I Es decir, las matrices B 1 B B 1B 1 11 B1 y A son inversas una de la otra Por lo anterior, A 11 B 1 11 A 1 B 1 B1B 1 11 A 1 B 1 11 B1B 1 1 A B 1 1 La segunda expresión para B 1 del literal se obtiene procediendo de forma análoga, pero partiendo de la igualdad B 1 A11 A 1 B11 B 1 I B I A 1 A B 1 B I La demostración del literal se deja como ejercicio
10 Determinantes Matrices particionadas A continuación enunciamos y demostramos un teorema que involucra matrices particionadas y el rango de una matriz A11 A 1 1 Teorema Sea A, donde A A 1 A 11 es una matriz invertible r r Si ρa) ρa 11) entonces A A 1A 1 11 A1 Demostración Puesto que A 11 es una matriz invertible, entonces ρa 11) r (ver teorema 16) I Ahora, las matrices P y Q I A 1 11 A1 son invertibles, puesto que P A 1A 1 I 11 I Q 1 0 En consecuencia, por el teorema 1, la matriz A y la matriz A11 P AQ A A 1A 1 11 A1 tienen rango r Puesto que el número máximo de filas linealmente independientes de las matrices P AQ y A 11 es r (véase el teorema 1()), entonces necesariamente A A 1A 1 11 A1 o sea A A1A 1 11 A1 Ejercicios 1 Utilice matrices particionadas para calcular el determinante y la matriz inversa (si existe) de cada una de las matrices siguientes: M M Demuestre el inciso () del teorema 6 Demuestre el corolario Demuestre la proposición 9 Sean a b c y d escalares no nulos y sea n N Calcule el determinante y la matriz inversa, cuando exista, de la matriz ain bi n M ci n di n 6 Sean A una matriz cuadrada de orden n y B una matriz cuadrada de orden k Demuestre que si A C A M o si M, entonces M 1) nk A B (Sug: Efectúe operaciones B C B elementales por columnas y use la proposición ) Sean A y B matrices cuadradas a) Dar condiciones necesarias y suficientes para que la matriz A M B C sea invertible Si M es invertible, exprese M 1 en términos de las matrices A B y C b) Dar condiciones necesarias y suficientes para que la matriz C A M B sea invertible Si M es invertible, exprese M 1 en términos de las matrices A B y C 6
11 Matrices particionadas Determinantes A In c) Si A n n y M I n In P I n I n dar una expresión para M 1 8 Utilice los resultados que obtuvo en el problema anterior para calcular la matriz inversa de cada una de las matrices siguientes: M M Sean A 11 A y A matrices cuadradas Demuestre que si A 11 A 1 A 1 A 11 M A A ó M A 1 A A A 1 A A entonces M A 11 A A 10 Demuestre que si A 11 A y A son matrices invertibles, entonces la matriz M diaga 11 A A ) es invertible y A 1 M 1 11 A 1 A 1 11 Sean a R y A n n una matriz invertible, entonces a x det A a xa 1 y) y A (Sugerencia: Use el teorema 6) 1 Verifique que I A det B C (Sugerencia: Use el corolario ) 1 Muestre que In B det A I m detc BA) Im A det B I n y concluya que I m AB I n BA A B In I n 1 Sean A B n n; M ; P ; Q A B I n I n I n a) Calcule P MQ y muestre que det M deta B) deta + B) b) Use (a) para calcular det M donde 1 x 1 1 M x x ; x R x c) En (b), para qué valores de x se cumple que det M 0? A B 1 Sean A n n; D m m y M matrices invertibles, con B C D n m y C m n a) Muestre que A BD 1 C) y D CA 1 B) son matrices invertibles (Sugerencia: Use el teorema 6) b) Muestre que: A BD 1 C) 1 A 1 + A 1 BD CA 1 B) 1 CA 1 (Sugerencia: Multiplique A BD 1 C por la matriz que aparece a la derecha) I n
12 Traza de una matriz Matrices particionadas c) Muestre que cuando m n B I n y C I n en (b) se obtiene: A D 1 ) 1 A 1 + A 1 D A 1 ) 1 A 1 d) Muestre que cuando D I m en (b) se obtiene: A BC) 1 A 1 + A 1 BI CA 1 B) 1 CA 1 Traza de una matriz En ciertos contextos, la suma de los elementos de la diagonal de una matriz juega un papel importante Por ejemplo, la traza de una matriz aparece en la evaluación de las integrales requeridas en el estudio de la distribución normal multivariante (véase el teorema 1101 de []) y el valor esperado de formas cuadráticas (véase el teorema 61 de []) 1 Definición Sea A una matriz cuadrada La traza de A se denota por TrA) y se define como la suma de los elementos de la diagonal principal de A ésto es, TrA) A ss s1 1 Nota Puesto que los elementos de la diagonal principal de A son los mismos que los elementos de la diagonal principal de A T entonces TrA) TrA T ) 1 Teorema Sean A y B son matrices cuadradas del mismo orden Si α y β son escalares, entonces TrαA + βb) α TrA) + β TrB) Demostración Usando la estructura de espacio vectorial de las matrices, así como la definición de traza se tiene: TrαA + βb) αa + βb ss s1 `α Ass + β B ss s1 α A ss + β B ss s1 s1 α TrA) + β TrB) 16 Teorema Si A es una matriz m n y B es una matriz n m, entonces TrAB) TrBA) 8
13 Matrices particionadas Traza de una matriz Demostración Usando la definición de traza y la definición de producto de matrices obtenemos, TrAB) AB ss s1 s1 k1 mx k1 s1 mx A sk B ks B ks A sk mx BA kk TrBA) k1 1 Corolario Sea A una matriz cuadrada de orden n Si P es una matriz invertible n n entonces TrA) TrP 1 AP ) TrP AP 1 ) Demostración Por el teorema anterior, TrA) TrAI) TrAP P 1 ) TrP 1 AP ) TrP P 1 A) TrP 1 P A) TrP AP 1 ) 18 Corolario Si A es una matriz m n, entonces mx TrAA T ) TrA T A) A sk Además, TrAA T ) 0 sii A s1 k1 Demostración Por definición de traza y por el teorema 16, mx TrAA T T ) AA s1 mx s1 k1 ss A sk AT ks m X s1 k1 A sk ; Esto es, TrAA T ) es la suma de los cuadrados de los elementos de A De esto se sigue entonces que, TrAA T ) TrA T A) y además que TrAA T ) 0 si y sólo si A Ejercicios 1 Demuestre que si A es una matriz invertible, entonces TrA) deta) TrA 1 ) Si Sean A B C son tales que TrA) ; B es invertible y C 1 In ; calcule TrBA T B 1 + B 1 CB CC T ) I n I n 9 ; P
14 Traza de una matriz Matrices particionadas Sea V n n el espacio vectorial de las matrices n n Demuestre que la función ; : V V R definida por A; B TrAB T ) es un producto interno en V (Vea el apartado 1 del capítulo 1) Sean A y B matrices cuadradas de orden n Demuestre que TrAB T ) TrAA T ) TrBB T )) 1/ (Sugerencia: use el teorema 10) Si A B n n, muestre que AB BA I (Sugerencia: Utilice la función traza) 6 Si T : n n R es una transformación lineal, entonces existe una matriz A tal que T M) Tr(AM) (Escriba T M) en términos de T E ij), siendo E ij los elementos de la base estándar de las matrices) Calcule dim W, donde W {A : TrA) 0} 8 Sean A y B matrices cuadradas del mismo orden a) Muestre que TrAB) k ) TrBA) k ) b) Muestre con un ejemplo que TrAB) k ) TrA k B k ) 0
Álgebra Lineal. Miguel A. Marmolejo L. & Manuel M. Villegas L. Departamento de Matemáticas Universidad del Valle
Álgebra Lineal Miguel A Marmolejo L & Manuel M Villegas L Departamento de Matemáticas Universidad del Valle Índice general Introducción Índice de figuras iii Capítulo Preliminares Matrices Espacios vectoriales
Más detallesAPÉNDICE A. Algebra matricial
APÉNDICE A Algebra matricial El estudio de la econometría requiere cierta familiaridad con el álgebra matricial. La teoría de matrices simplifica la descripción, desarrollo y aplicación de los métodos
Más detallesEs decir, det A = producto de diagonal principal producto de diagonal secundaria. Determinante de una matriz cuadrada de orden 3
1.- DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA Determinante de una matriz cuadrada de orden 1 Dada una matriz cuadrada de orden 1, A = (a), se define det A = det (a) = a Determinante de una matriz cuadrada de
Más detallesALGEBRA y ALGEBRA LINEAL
520142 ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL Primer Semestre, Universidad de Concepción CAPITULO 7. MATRICES DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas 1 Definición: Matriz Sean
Más detallesMatrices y determinantes (Curso )
ÁLGEBRA Práctica 3 Matrices y determinantes (Curso 2008 2009) 1. En el conjunto de las matrices n n de elementos reales, demostrar que el producto de matrices triangulares inferiores es otra matriz triangular
Más detallesInversa generalizada e inversa condicional de matrices
CAPÍTULO Inversa generalizada e inversa condicional de matrices Este capítulo consta de cuatro secciones Las dos primeras versan sobre la definición, propiedades y cálculo de la inversa generalizada de
Más detallesMatrices 3. Matrices. Verónica Briceño V. agosto 2012
3 agosto 2012 En esta Presentación... En esta Presentación veremos: Matriz Inversa En esta Presentación... En esta Presentación veremos: Matriz Inversa Determinante En esta Presentación... En esta Presentación
Más detalles3. ÁLGEBRA LINEAL // 3.1. SISTEMAS DE
3. ÁLGEBRA LINEAL // 3.1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES COMPLEMENTOS PARA LA FORMACIÓN DISCIPLINAR EN MATEMÁTICAS Curso 2011-2012 3.1.1. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Método
Más detallesDefinición Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas.
Tema 1 Matrices 1.1. Conceptos básicos y ejemplos Definición 1.1.1. Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas. NOTA:
Más detallesÁLGEBRA LINEAL I Algunas soluciones a la Práctica 3
ÁLGEBRA LINEAL I Algunas soluciones a la Práctica 3 Matrices y determinantes (Curso 010 011). Sea A una matriz diagonal n n y supongamos que todos los elementos de su diagonal son distintos entre sí. Demostrar
Más detallesMatemáticas II. Prácticas: Matrices y Determinantes ; C = 1 3 5
Matemáticas II Prácticas: Matrices y Determinantes. Sean las matrices cuadradas siguientes: 4 5 6 B = 9 8 7 6 5 4 C = 5 7 9 0 7 8 9 Se pide calcular: a A B + C. b A AB + AC. c A B AB + ACB.. Sean las matrices:
Más detallesTEMA 7. Matrices y determinantes.
TEMA 7 Matrices y determinantes. 1. Matrices. Generalidades Definición 1 Sea E un conjunto cualquiera, m, n IN. Definimos matriz de orden m n sobre E a una expresión de la forma: a 11 a 12... a 1n a 21
Más detallesMatrices y Determinantes.
Tema II Capítulo 1 Matrices Álgebra Lineal I Departamento de Métodos Matemáticos y de Representación UDC Tema II Matrices y Determinantes 1 Matrices 1 Definiciones básicas Definición 11 Una matriz A de
Más detallesMétodos directos para resolver sistemas de ecuaciones lineales
Métodos directos para resolver sistemas de ecuaciones lineales Problemas para examen Si en algún problema se pide calcular el número de flops (operaciones aritméticas con punto flotante), entonces en el
Más detallesUniversidad de Buenos Aires - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales - Departamento de Matemática Segundo Cuatrimestre de 2002 ÁLGEBRA LINEAL
Universidad de Buenos Aires - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales - Departamento de Matemática Segundo Cuatrimestre de 2002 ÁLGEBRA LINEAL Práctica N 2: Matrices Ejercicio 1 Probar que los siguientes
Más detallesALGEBRA LINEAL - Práctica N 2 - Segundo cuatrimestre de 2017 Matrices y coordenadas
Departamento de Matemática - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales - UBA 1 ALGEBRA LINEAL - Práctica N 2 - Segundo cuatrimestre de 2017 Matrices y coordenadas Ejercicio 1 Sean m n y r N i) Probar que
Más detallesEscuela de Matemáticas
Escuela de Matemáticas Universidad de Costa Rica MA-004: Álgebra Lineal Prácticas Sistemas de ecuaciones lineales, Matrices Determinantes MSc Marco Gutiérrez Montenegro 07 Sistemas de ecuaciones lineales
Más detallesMatrices. José Vicente Romero Bauset. ETSIT-curso 2009/2010. José Vicente Romero Bauset Tema 1.- Matrices. 1
Matrices José Vicente Romero Bauset ETSIT-curso 2009/2010 José Vicente Romero Bauset Tema 1- Matrices 1 Introducción Por qué estudiar las matrices? Son muchas las situaciones de la vida real en las que
Más detallesÁLGEBRA LINEAL I Algunas soluciones a la Práctica 3
ÁLGEBRA LINEAL I Algunas soluciones a la Práctica 3 Matrices y determinantes (Curso 2011 2012) 2. Sea A una matriz diagonal n n y supongamos que todos los elementos de su diagonal son distintos entre sí.
Más detallesMatrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales
Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales David Ariza-Ruiz 10 de octubre de 2012 1 Matrices Una matriz es una tabla numérica rectangular de m filas y n columnas dispuesta de la siguiente
Más detalles3.7. Determinantes. Definición. El determinante de una matriz cuadrada es la suma equilibrada de todos esos posibles Definición de determinante.
37 Determinantes 11 Definición de determinante Para calcular el determinante de una matriz cuadrada de orden n tenemos que saber elegir n elementos de la matriz de forma que tomemos solo un elemento de
Más detallesTeoría de Matrices. Julio Yarasca. 30 de junio de 2015. Julio Yarasca
30 de junio de 2015 Matriz de m por n Definimeros a una matriz A de orden m por n como un arreglo de números de m filas y n columnas. a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A = a 31 a 32 a 33 a 3n....
Más detallesTema 1 CÁLCULO MATRICIAL y ECUACIONES LINEALES
Tema 1 CÁLCULO MATRICIAL y ECUACIONES LINEALES Prof. Rafael López Camino Universidad de Granada 1 Matrices Definición 1.1 Una matriz (real) de n filas y m columnas es una expresión de la forma a 11...
Más detallesDefinición: Dos matrices A y B son iguales si tienen el mismo orden y coinciden los elementos que ocupan el mismo lugar.
UNIDAD 03: MATRICES Y DETERMINANTES. 3.1 Conceptos de Matrices. 3.1.1 Definición de matriz. Definición: Se lama matriz de orden m x n a un arreglo rectangular de números dispuestos en m renglones y n columnas.
Más detallessolucionario matemáticas II
solucionario matemáticas II UNIDADES 8-4 bachillerato 8 Determinantes 4 9 Sistemas de ecuaciones lineales 46 Fin bloque II 0 Vectores 8 Rectas planos en el espacio 68 Propiedades métricas 08 Fin bloque
Más detallesContenido. 2 Operatoria con matrices. 3 Determinantes. 4 Matrices elementales. 1 Definición y tipos de matrices
elementales Diciembre 2010 Contenido Definición y tipos de matrices elementales 1 Definición y tipos de matrices 2 3 4 elementales 5 elementales Definición 1.1 (Matriz) Una matriz de m filas y n columnas
Más detallesTema 3: Espacios vectoriales
Tema 3: Espacios vectoriales K denotará un cuerpo. Definición. Se dice que un conjunto no vacio V es un espacio vectorial sobre K o que es un K-espacio vectorial si: 1. En V está definida una operación
Más detallesTópicos. en Álgebra Lineal
Tópicos en Álgebra Lineal Miguel A Marmolejo L Manuel M Villegas L Departamento de Matemáticas Universidad del Valle Índice general Introducción 1 Índice de guras iii Capítulo 1 Prerrequisitos 1 11 Matrices
Más detallesMatrices: repaso. Denotaremos con M m n el conjunto de matrices de tamaño m n, o sea, de m filas y n columnas. Una matriz A M m n es de la forma A =
Matrices: repaso Denotaremos con M m n el conjunto de matrices de tamaño m n, o sea, de m filas y n columnas Una matriz A M m n es de la forma a 11 a 1n A = a m1 a mn Denotaremos A ij = a ij el coeficiente
Más detallesValores propios y vectores propios Diagonalización
CAPÍTULO Valores propios y vectores propios Diagonalización Este capítulo consta de cuatro secciones Con el fin de dar una idea de lo que se hará en las dos primeras secciones, se considerará un espacio
Más detallesFactorización de matrices
CAPÍTULO Factorización de matrices En este capítulo se estudian algunas de las técnicas más utilizadas para factorizar matrices, es decir, técnicas que permiten escribir una matriz como producto de dos
Más detallesEjercicios de Álgebra Lineal Parcial 1
Ejercicios de Álgebra Lineal Parcial 1 1. Ejercicios de respuesta corta ( ) 3 1 a) Si A = encuentre la entrada c 6 2 12 de la matriz A 2 { x 3y = 1 b) Si para k R el sistema tiene solución única, verique
Más detallesClase 8 Matrices Álgebra Lineal
Clase 8 Matrices Álgebra Lineal Código Escuela de Matemáticas - Facultad de Ciencias Universidad Nacional de Colombia Matrices Definición Una matriz es un arreglo rectangular de números denominados entradas
Más detallesDeterminantes Introducción a los determinantes. Recordemos la definición del determinante de una matriz A de 2 2 ( fórmula.
Capítulo 5 Determinantes 5.1. Introducción a los determinantes Recordemos la definición del determinante de una matriz A de 2 2 ( fórmula 2.4 ) [ ] a b det = ad bc c d La proposición 2.16 implica que el
Más detallesMATEMÁTICA LIC. Y PROF. EN CS. BIOLÓGICAS
Definición: se llama matriz de m filas y n columnas sobre un cuerpo K (R ó C), a una ordenación rectangular de la forma Notación: a11 a...... a1n a21 a...... a2n A = M M M donde cada elemento a ij Є K
Más detallesAlgebra lineal Matrices
Algebra lineal Matrices Una matriz A un arreglo rectangular de números dispuestos en m renglones (filas) y n columnas. Fila 1 La componente o elemento ij de A, denotado por es el número que aparece en
Más detallesResumen de Teoría de Matrices
Resumen de Teoría de Matrices Rubén Alexis Sáez Morcillo Ana Isabel Martínez Domínguez 1 de Octubre de 2004 1. Matrices. Generalidades. Definición 1.1. Se llama matriz de orden m n sobre un cuerpo K a
Más detallesMatrices y determinantes
Matrices y determinantes 1 Ejemplo Cuál es el tamaño de las siguientes matrices? Cuál es el elemento a 21, b 23, c 42? 2 Tipos de matrices Matriz renglón o vector renglón Matriz columna o vector columna
Más detallesDefinición (matriz): Definición (dimensión de una matriz): Si una matriz tiene m renglones y n columnas se dice que es de dimensión m n.
Índice general 1. Álgebra de Matrices 1 1.1. Conceptos Fundamentales............................ 1 1.1.1. Vectores y Matrices........................... 1 1.1.2. Transpuesta................................
Más detallesDETERMINANTES UNIDAD 3. Página 76
UNIDAD 3 DETERMINANTE Página 76 Determinantes de orden 2 Resuelve cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones y calcula el determinante de la matriz de los coeficientes: 2x + 3y 29 5x 3y 8 4x + y
Más detallesCapítulo 2. Determinantes Introducción. Definiciones
Capítulo 2 Determinantes 2.1. Introducción. Definiciones Si nos centramos en la resolución de un sistema A x = b con A una matriz n n, podemos calcular A 1 y la resolución es inmendiata. El problema es
Más detallesConjuntos y matrices. Sistemas de ecuaciones lineales
1 Conjuntos y matrices Sistemas de ecuaciones lineales 11 Matrices Nuestro objetivo consiste en estudiar sistemas de ecuaciones del tipo: a 11 x 1 ++ a 1m x m = b 1 a n1 x 1 ++ a nm x m = b n Una solución
Más detallesTema 1: Matrices y Determinantes
Tema 1: Matrices y Determinantes September 14, 2009 1 Matrices Definición 11 Una matriz es un arreglo rectangular de números reales a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m A = a n1 a n2 a nm Se dice que una matriz
Más detallesTraza de una Matriz Cuadrada
Traza de una Matriz Cuadrada Departamento de Matemáticas, CSI/ITESM 10 de septiembre de 2008 Índice 7.1. Definiciones y propiedades básicas.................................. 1 7.2. La traza de un producto........................................
Más detallesLección 8. Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Lección 8 Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales MIGUEL ANGEL UH ZAPATA 1 Análisis Numérico I Facultad de Matemáticas, UADY Septiembre 2014 1 Centro de Investigación en Matemáticas, Unidad Mérida En
Más detallesGrado en Ciencias Ambientales. Matemáticas. Curso 10/11.
Grado en Ciencias Ambientales. Matemáticas. Curso 0/. Problemas Tema 2. Matrices y Determinantes. Matrices.. Determinar dos matrices cuadradas de orden 2, X e Y tales que: 2 2X 5Y = 2 ; X + 2Y = 4.2. Calcular
Más detallesMatrices. Álgebra de matrices.
Matrices. Álgebra de matrices. 1. Definiciones generales Definición 1.1 Si m y n son dos números naturales, se llama matriz de números reales de orden m n a una aplicación A : {1, 2, 3,..., m} {1, 2, 3,...,
Más detallesMatrices triangulares y descomposición LU
Matrices triangulares y descomposición LU Problemas para examen Si en algún problema se pide calcular el número de flops (operaciones aritméticas con punto flotante), entonces en el examen será suficiente
Más detallesValores y Vectores Propios
Valores y Vectores Propios Iván Huerta Facultad de Matemáticas Pontificia Universidad Católica de Chile ihuerta@mat.puc.cl Segundo Semestre, 1999 Definición Valores y Vectores Propios Valores y Vectores
Más detallesVectores y Matrices. Tema 3: Repaso de Álgebra Lineal Parte I. Contenidos
Tema 3: Repaso de Álgebra Lineal Parte I Virginia Mazzone Contenidos Vectores y Matrices Bases y Ortonormailizaciòn Norma de Vectores Ecuaciones Lineales Algenraicas Ejercicios Vectores y Matrices Los
Más detallesUniversidad Nacional de Colombia Departamento de Matemáticas Álgebra Lineal - Grupo 01 Taller 1, E = 2 4
(i) Sean A = [ ] 1 3, B = 1 4 posible calcule: Universidad Nacional de Colombia Departamento de Matemáticas 100003-1 Álgebra Lineal - Grupo 01 Taller 1 1 0 1, C = 3 1 3 4 1 5, D = 3 1 3 [ ] 3, E = 4 4
Más detallesÁLGEBRA LINEAL Problemas, 2006/2007
ÁLGEBRA LINEAL Problemas, 2006/2007 Nota: si no se especifíca lo contrario suponemos que las matrices y espacios vectoriales están definidos sobre un cuerpo K arbitrario 1 Una matriz A de orden n n se
Más detallesMatriz sobre K = R o C de dimensión m n
2 Matrices y Determinantes 21 Matrices Matriz sobre K = R o C de dimensión m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Tipos de matrices: Cuadrada: n n = (a ij) i=1,,m j=1,,n Nula: (0) i,j 1 0
Más detallesMatrices. En este capítulo: matrices, determinantes. matriz inversa
Matrices En este capítulo: matrices, determinantes matriz inversa 1 1.1 Matrices De manera informal una matriz es un rectángulo de números dentro de unos paréntesis. A = a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 2,1 a 2,2 a
Más detallesCapítulo 1: Diagonalización de matrices
Capítulo : Diagonalización de matrices Matrices y determinantes Definición Una matriz es un arreglo rectangular de números reales a a a m a A a a m a n a n a nm La matriz es de orden n m si consta de n
Más detallesEJERCICIOS DE MATRICES, DETERMINANTES Y PROBLEMAS. 1. (2001) De las matrices,,,
EJERCICIOS DE MATRICES, DETERMINANTES Y PROBLEMAS SELECTIVIDAD 1. (2001) De las matrices,,, determina cuáles tienen inversa y en los casos en que exista, calcula el determinante de dichas matrices. 2.
Más detallesTema 11.- Autovalores y Autovectores.
Álgebra 004-005 Ingenieros Industriales Departamento de Matemática Aplicada II Universidad de Sevilla Tema - Autovalores y Autovectores Definición, propiedades e interpretación geométrica La ecuación característica
Más detallesDeterminantes. Problemas teóricos. i=1. 2. De la fórmula general (1) deduzca la fórmula para el determinante de orden 3.
Determinantes Problemas teóricos Adradezco por varios problemas e ideas a los profesores de la ESFM Myriam Rosalía Maldonado Ramírez y Eliseo Sarmiento Rosales y al estudiante de servicio social Sadi Manuel
Más detallesDEFINICIONES TIPOS DE MATRICES DETERMINANTES Y PROPIEDADES OPERACIONES MATRICIALES INVERSA DE UNA MATRIZ SISTEMAS DE ECUACIONES
ALGEBRA DE MATRICES DEFINICIONES TIPOS DE MATRICES DETERMINANTES Y PROPIEDADES OPERACIONES MATRICIALES INVERSA DE UNA MATRIZ SISTEMAS DE ECUACIONES DEFINICIONES 2 Las matrices y los determinantes son herramientas
Más detallesMATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES Definición Una matriz real de orden m n es una tabla ordenada de m n números reales a 11 a 12 a 1n a A = 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn en la cual las líneas horizontales
Más detallesCAPÍTULO VIII MATRICES
MTRICES Y DETERMINNTES 23 CPÍTULO VIII MTRICES 8. INTRODUCCIÓN Se da por entendido el concepto de transformación lineal entre dos espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo, y se determina la matriz asociada
Más detalles2. Álgebra matricial. Inversa de una matriz O B 1 O B 1. Depto. de Álgebra, curso
Depto de Álgebra, curso 2017-2018 2 Álgebra matricial Inversa de una matriz Ejercicio 21 Calcule la matriz inversa de cada una de las matrices siguientes: a 2 1 1 3 2 1 h e, b 2 1 1 5 2 3 2 0 1 1 2 1 1
Más detallesSemana 14 [1/28] Matrices. 22 de julio de Matrices
Semana 14 [1/28] 22 de julio de 2007 Definiciones básicas Semana 14 [2/28] Definiciones básicas Matriz Una matriz A, de m filas y n columnas con coeficientes en el cuerpo à (en este apunte à será Ê ó C)
Más detallesMenor, cofactor y comatriz
Menor, cofactor y comatriz Sea A una matriz cuadrada de orden n. Al quitarle la línea i y la columna j se obtiene una submatriz de orden n-1, que se denota habitualmente A i,j. Por ejemplo, con n = 4,
Más detallesTema 5: Determinantes.
Tema 5: Determinantes. 1. El grupo simétrico. Definición. Una permutación del conjunto {1,..., n} es una aplicación biyectiva de {1,..., n} en si mismo. Se define el conjunto Σ n = {f : {1,..., n} {1,...,
Más detalles2 - Matrices y Determinantes
Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1 2 - Matrices y Determinantes 1 Matrices 11 Definición Una matriz A es cualquier ordenamiento rectangular de números o funciones a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A a m1
Más detallesTema 1. Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones.
Tema 1. Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones. Álgebra Lineal Escuela Politécnica Superior Universidad de Málaga Emilio Muñoz-Velasco (Basado en los apuntes de Jesús Medina e Inmaculada Fortes)
Más detallesAUTÓNOMA DE MADRID. Dpto. Análisis Económico: Economía Cuantitativa UNIVERSIDAD. Soluciones de los ejercicios de Álgebra Lineal.
Soluciones de los ejercicios de Álgebra Lineal Curso 016/017 Versión 4-1-017 Índice general 1. Espacios vectoriales 1.1. Cuestiones test................................. 1.. Problemas.....................................
Más detallesUNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR MA1116 abril-julio de 2009 Departamento de Matemáticas Puras y Aplicadas. Ejercicios sugeridos para :
III 1 / 8 Ejercicios sugeridos para : los temas de las clases del 5 y 7 de mayo de 2009. Temas : Matriz transpuesta. Matriz simétrica. Determinantes; propiedades de los determinantes. Matriz adjunta de
Más detallesCambio de base. Objetivos. Estudiar la relación entre las coordenadas de un vector en dos bases.
Cambio de base Objetivos Estudiar la relación entre las coordenadas de un vector en dos bases Requisitos Definición de una base, multiplicación de una matriz por un vector, delta de Kronecker Definición
Más detallesTEMA 1: MATRICES Y DETERMINANTES
TEMA 1: MATRICES Y DETERMINANTES 1 Matrices Definición 11 Una matriz es un arreglo rectangular de números reales de la forma a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m A = a n1 a n2 a nm Las líneas horizontales (verticales)
Más detallesDefinición de matriz Una matriz A es un conjunto de números dispuestos en filas y en columnas.
1.- CONCEPTO DE MATRIZ. TIPOS DE MATRICES Definición de matriz Una matriz A es un conjunto de números dispuestos en filas y en columnas. 1 3 4 Por ejemplo, A = es una matriz de 2 filas y 3 columnas 0 5
Más detallesMatrices y Determinantes. Prof. Nilsa I. Toro Catedrática Recinto Universitario de Mayagüez Residencial - AFAMaC
Matrices y Determinantes Prof. Nilsa I. Toro Catedrática Recinto Universitario de Mayagüez Residencial - AFAMaC Origen y Usos Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J.
Más detallesMATRICES. Una matriz es un conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.
MATRICES Una matriz es un conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento
Más detallesUna forma fácil de recordar esta suma (regla de Sarrus): Primero vamos a estudiar algunas propiedades de los determinantes.
Una forma fácil de recordar esta suma (regla de Sarrus): Ejemplos: Tarea: realizar al menos tres ejercicios de cálculo de determinantes de matrices de 2x2 y otros tres de 3x3. PARA DETERMINANTES DE MATRICES
Más detallesTema 4: Estructura vectorial de R n.
TEORÍA DE ÁLGEBRA I: Tema 4. DIPLOMATURA DE ESTADÍSTICA 1 Tema 4: Estructura vectorial de R n. 1 Definiciones y propiedades Definición. 1.1 Denotaremos por R n al conjunto de todas las n-tuplas de números
Más detallesMatemática 2 MAT022. Clase 1 (Complementos) Departamento de Matemática Universidad Técnica Federico Santa María. Matrices
Matemática 2 MAT022 Clase 1 (Complementos) Departamento de Matemática Universidad Técnica Federico Santa María Tabla de Contenidos 1 Matrices Propiedades Tabla de Contenidos Matrices 1 Matrices Propiedades
Más detallesVectores y matrices. Problemas para examen
Vectores y matrices Problemas para examen Operaciones lineales con vectores 1. Programación: la suma de dos vectores. Escriba una función que calcule x + y, donde x, y R n. Calcule el número de flops.
Más detallesEl álgebra de las matrices Suma y producto por un escalar Producto de matrices Propiedades y ejemplos
El álgebra de las matrices Suma y producto por un escalar Producto de matrices Propiedades y ejemplos c Jana Rodriguez Hertz p. 1/1 Suma de matrices - definición Si dos matrices A,B M m n K tienen el mismo
Más detallesTema 1. Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones.
Tema 1. Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones. Álgebra Lineal Escuela Politécnica Superior Universidad de Málaga Emilio Muñoz-Velasco (Basado en los apuntes de Jesús Medina e Inmaculada Fortes)
Más detallesDETERMINANTES Profesor: Fernando Ureña Portero
: CONCEPTO, CÁLCULO DE. Definición: A cada matriz cuadrada A=a ij, de orden n, se le asigna un número real, denominado determinante de A, denotado por A o por det (A). A =det (A)= 1.-Determinante de orden
Más detallesSoluciones de los problemas de álgebra lineal
Soluciones de los problemas de álgebra lineal HOJA :. a. a. b,d 4. b,c. b. (a) 4A +C t = 6 6 µ 6 4 7 6, (b) (BA) t C = 7 6 0 8 4 µ (c) B + AC = 0 9 4, (d) CA =, 0 µ (e) (B I) =, (f) (CA) = 6 4 0 6 8 7
Más detallesMatemática 2 MAT022. Clase 6 (Complementos) Departamento de Matemática Universidad Técnica Federico Santa María. Determinante de una matriz
Matemática 2 MAT022 Clase 6 (Complementos) Departamento de Matemática Universidad Técnica Federico Santa María Tabla de Contenidos 1 Determinante de una matriz Sea A la matriz de orden 2 2 con coeficientes
Más detallesComenzaremos recordando algunas definiciones y propiedades estudiadas en el capítulo anterior.
Capítulo 2 Matrices En el capítulo anterior hemos utilizado matrices para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y hemos visto que, para n, m N, el conjunto de las matrices de n filas y m columnas
Más detallesMENORES, COFACTORES Y DETERMINANTES
MENORES, COFACTORES Y DETERMINANTES 1. Introducción. 2. Determinante de una matriz de 3 x 3. 3. Menores y cofactores. 4. Determinante de una matriz de n x n. 5. Matriz triangular. 6. Determinante de una
Más detallesEspacios Vectoriales
Espacios y subespacios vectoriales Espacios Vectoriales 1. Demuestre que con la suma y multiplicación habituales es un espacio vectorial real.. Considere el conjunto C de los números complejos con la suma
Más detallesTransformaciones lineales y matrices
CAPíTULO 5 Transformaciones lineales y matrices 1 Matriz asociada a una transformación lineal Supongamos que V y W son espacios vectoriales de dimensión finita y que T : V W es una transformación lineal
Más detallesMatrices. Operaciones con matrices.
Matrices. Operaciones con matrices. Ejercicio. Dadas las matrices ( ) ( ) 4 A = B = ( ) C = D = 4 5 ( ) 4 E = F = seleccione las que se pueden sumar y súmelas. Ejercicio. Dadas las matrices ( ) ( ) A =
Más detallesMATEMÁTICAS 2º BACH TECNOL. MATRICES. Profesor: Fernando Ureña Portero MATRICES
CONCEPTO DE MATRIZ Definición: Se denomina matriz A o (a ij ) a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas : Columnas Filas Elemento a ij : Cada uno
Más detallesTema 4: Determinantes
Tema 4: Determinantes Curso 2016/2017 Ruzica Jevtic Universidad San Pablo CEU Madrid Índice de contenidos Introducción Propiedades de los determinantes Regla de Cramer Inversión de matrices Áreas y volúmenes
Más detallesUna matriz es un arreglo rectangular de elementos. Por ejemplo:
1 MATRICES CONCEPTOS BÁSICOS Definición: Matriz Una matriz es un arreglo rectangular de elementos. Por ejemplo: es una matriz de 3 x 2 (que se lee 3 por 2 ) pues es un arreglo rectangular de números con
Más detallesde la forma ), i =1,..., m, j =1,..., n, o simplemente por (a i j ).
INTRODUCCIÓN. MATRICES Y DETERMINANTES Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales.
Más detallesa) La adición y la multiplicación de matries cuadradas del mismo orden, están bien definidas.
MATRICES CUADRADAS Definición: ( Cuadradas Una matriz A es una matriz cuadrada de orden n, si y solo si, A es de oreden n n, es decir, A tiene n filas y n columnas: a 11 a 1n a n1 a nn Observación: a La
Más detalles1. Matrices. Operaciones con matrices
REPASO MUY BÁSICO DE MATRICES. Matrices. Operaciones con matrices.. Introducción Las matrices aparecieron por primera vez hacia el año 850, introducidas por el inglés J. J. Sylvester. Su desarrollo se
Más detalles4.1. Determinante de una matriz cuadrada de orden 2. , entonces el determinante de A es a 21 a 22 a 11 a 12 = a 11a 22 a 12 a 21
Capítulo 4 Determinante Los determinantes se calculan para matrices cuadradas. Se usan para saber cuando una matriz tiene inversa, en el cálculo de autovalores y también para resolver sistemas de ecuaciones
Más detallesSi A es una matriz cuadrada n x n, tal que A 2 = A, e I es la matriz unidad ( n x n ), qué matriz es B 2, si B = 2ª - I?
MATRICES Si A es una matriz cuadrada n x n, tal que A 2 = A, e I es la matriz unidad ( n x n ), qué matriz es B 2, si B = 2ª - I? La multiplicación de matrices cuadradas, tiene la propiedad conmutativa?
Más detallesMATRICES,DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Departamento de Matemática Aplicada II EEI ÁLGEBRA Y ESTADÍSTICA Boletín n o 1 (2010-2011 MATRICES,DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1 Sean A, B, C, D y E matrices de tamaño 4 5, 4 5, 5 2,
Más detallesMatemáticas 2.º Bachillerato. Matemáticas 2.º Bachillerato. Matemáticas 2.º Bachillerato. Ejemplo:
Mapa conceptual Determinante de segundo orden Dada una matriz cuadrada de segundo orden: a a 11 12 A = a a 21 22 se llama determinante de A al número real: det (A)= A = a11 a 12 = a a a a a21 a22 11 22
Más detallesCapitulo 6. Matrices y determinantes
Capitulo 6. Matrices y determinantes Objetivo. El alumno aplicará los conceptos fundamentales de las matrices, determinantes y sus propiedades a problemas que requieran de ellos para su resolución. Contenido.
Más detallesMATRICES. Se simboliza tal matriz por y se le llamará una matriz x o matriz de orden x (que se lee por ).
1 MATRICES 1 Una matriz es una disposición rectangular de números (Reales); la forma general de una matriz con filas y columnas es Se simboliza tal matriz por y se le llamará una matriz x o matriz de orden
Más detalles