Espacios Vectoriales

Transcripción

1 Espacios y subespacios vectoriales Espacios Vectoriales 1. Demuestre que con la suma y multiplicación habituales es un espacio vectorial real.. Considere el conjunto C de los números complejos con la suma usual. a) Para la multiplicación por escalar α : α ( a + bi) αa + αbi, demuestre que C es un espacio vectorial real. b) Para la multiplicación por λ α + βi C : λ (a + bi) ( αa βb) + ( αb + βa) i, demuestre que C es un espacio vectorial complejo.. Demuestre que en un espacio vectorial V sobre K se verifica: a) α V V, α K b) v V, v V c) α v ( α v ). Demuestre que no es un espacio vectorial sobre cuando se considera la suma y el producto por escalar definidos como sigue: 5. Considere el conjunto a) Evalúe b) Demuestre que ( x, y) + ( x', y' ) ( x + x', ) α ( x, y) ( αx,) + y las siguientes operaciones + x y x y, para x, y, α + α x x, α, x 1 1, 7 y - ( 6 ), 5 + I con estas operaciones es un espacio vectorial real. 6. Sea V + +. En V se define la suma y la multiplicación por escalar real así: ( x, y) + ( x', y' ) ( xx', yy' ) α α α ( x, y) ( x, y ), α a) Determine v + w y v w para v (1, ) y w (, 1). b) Demuestre que V con las operaciones así definidas es un espacio vectorial real. 1

2 7. 8. c) Encuentre β α, tales que ( 1, ) α(, ) + β(, 1). con las operaciones suma y producto por escalar que se definen a continuación no es un espacio vectorial sobre ; indique por qué. ( x, y) + ( a, b) ( x + a, ), ( x, y) ( α x, αy) α, con α con las operaciones suma y producto por escalar que se definen a continuación no es un espacio vectorial sobre ; indique por qué. ( x, y) + ( a,b) ( x + a, y + b), ( x, y) ( α x, y) α, con α 9. Establezca si los siguientes conjuntos V son o no espacios vectoriales reales. a) V ( x, y) b). { / x y } con la suma y multiplicación por escalar habituales de V con la suma habitual de ( x, y, z) ( αx,, αz) α. y la multiplicación por escalar 1 a c) V { / a, b } con la suma y multiplicación por escalar usuales en b 1 M ( ). d) V {ax + ax / a } con la suma y multiplicación por escalar usuales de P [ x]. e) V { f : ] a, b[ I / f es derivable en ] a, b [ } con la suma y multiplicación por escalar usuales de las funciones reales. 1. Sea V espacio vectorial sobre el cuerpo K. Demuestre que V y { v} son subespacios de V. 11. Averigüe si los siguientes conjuntos son o no son subespacios vectoriales de { / x y + z } { x, y, z / x y z 1} { x, y, z / x y z } { a, b, c / a b c } { a, b, c / a Q} { x, y, z / x + y + z x y z } a) W ( x, y, z) b) W ( ) c) W ( ) d) W ( ) e) W ( ) f) W ( ).

3 1. Decida si los siguientes conjuntos son o no son subespacios vectoriales de ( ) Justifique sus afirmaciones. a) W { A M n ( ) / A es diagonal}. { / A es invertible}. b) W A Mn ( ) { / A es antisimétrica}. W { A Mn / A In}. W { A Mn / tr A }. c) W A Mn ( ) d) ( ) e) ( ) ( ) n 1. Sea A matriz real de orden mxn. Demuestre que U { X / AX } subespacio de n. M. es un 1. Determine si los siguientes conjuntos son o no subespacios vectoriales de [ x] caso de serlo, demuéstrelo. { / a b c } { a + bx + cx P x / a + b + c 1 } { a + bx + cx P x / a + b+ c a b c } a) a + bx + cx P [ x] W b) [ ] W c) [ ] W d) W { p( x) P [ x] / p( ) 1 } P n. En 15. Determine si los siguientes conjuntos son o no son subespacios vectoriales del espacio F ( A; ) de todas las funciones reales definidas en el dominio A. Justifique su respuesta. a) W { f F(, ) / f ( ) f ( 1) }. b) W { f F(, ) / f es función par }. c) W f F( [ a, b ], ) / f es integrable en [ a,b] { }. b a U { x, y, z, w / x + y w z }. d) W f F( [ a,b ], ) / f es integrable en [ a,b] f Sea ( ) a) Demuestre que U es un subespacio vectorial del b) Encuentre la forma carácterística que tienen los vectores de U. c) Encuentre S U tal que S sea un subespacio de U.

4 17. Encuentre tres subespacios vectoriales no triviales de intersecciones de dos en dos sean {}. y tales que sus 18. Muestre que la unión de dos subespacios de un espacio vectorial V no necesariamente es un subespacio de V. 19. En cada caso, encuentre el subespacio U W de los subespacios U y W dados. { 1 / x1 x } { / x + x x + x } a) ( x, x, x, x ) ( x, x, x, x ) U W 1 1 a b / a + b d c d a b M ( ) / b + c c d b) M ( ) U W { / } { a + bx + cx P [ x] / a + b+ c } c) a + ax P [ x] U a W Combinaciones lineales - Generadores. Considere el espacio vectorial real y los conjuntos S {(, 1)}, T {(a, b)} y {(1, ), (, 6)}. Describa algebraica y geométricamente < S >, < T > y < > los subespacios generados por S, T y respectivamente. 1. Sean u 1 (-1,,, 1), u (,,, -1), u (5, 1, 1, ), u (1,, -1, ). Existen escalares reales α 1, α, α, α tales que α 1u1 + αu + αu + αu (-,, 6, -8).. Sean u (, 1,, ), v (, -1, 5, ), w (-1,,, 1). Cuáles de los siguientes vectores a (5, -5,, 1), b (-, 1, -, 1) está en el espacio generado por u, v y w?. En cada caso, escriba el vector v como combinación lineal de los vectores v i. a) v (8,, ), ( 1, 1, ), v (, 1, 5) v1 b) c) v x x; v1 x x +, v x x 1, v x v, v1, v, v

5 . Determine, en cada caso, si el vector v pertenece al espacio generado por el conjunto S. a) v x x + 8x, S { x + x + x, 1+ x + 6x 5x, 1+ x + x 8x }. b) v x + x x 1, S { x + x +, x + x + 1, x + x 1}. c) v 1, 1 1 S, 1 1 1, 5. En cada caso, muestre un vector del espacio V que no pertenezca al subespacio generado por el conjunto S, que se denotará < S >. Determine la condición que deben cumplir los vectores de V para pertenecer al subespacio < S >. a) V b) V, S {(1,,, -1), (, 1, -1, )}, S {(1,,, -1), (, 1, -1, ), (-1, 1,, 1)} c) V P [ x], S {, x 1, x } d) + V M ( ), 1 S, 1 1, 1 6. En el espacio considere S {(, -1, 6), (-,, 1)} y T {(-1,, 7), (8, -9, )}. Muestre que < S > < T >. 7. Muestre que el espacio vectorial no está generado por los vectores v (1,, 1) y u (, 1, ), pero que si está generado por v, u y w (, 1, 1). 8. Sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo K. Demuestre que V < S > y que S < S >, para cualquier S V 9. Determine un conjunto finito que genere al subespacio W si, a) W {(x, y, z) : x y + z } b) W { A M ( ) : A es simétrica} { / a + b + d b c d } c) a + bx + cx + dx P [ x] W. Encuentre un conjunto de generados del espacio solución del sistema de ecuaciones lineales x1 + x + x + x x1 x + x + x x1 + x + x x 5

6 Dependencia lineal 1. Sean (a, b) y (c, d) vectores del espacio entonces estos vectores son l.i.. Demuestre que si ad bc,. Determine si los siguientes subconjuntos del espacio vectorial V dado son l.i. o l.d. a) {( 1, 1), ( 1, ), (, ) }, V b) {( 1,,), (,,), ( 11, 6, 1) }, V { x, x }, V P [ x] { f x x, g x x }, V F( ; ) c) 1, ( x 1) d) ( ) ( ) e),,,, V ( ) 1 5 M f) {( 1, 1,, 6), ( 1,,, 1), ( 1, 1, 1, ), (, 1, 1, ) }, V g) { x, x, 1 + x x, x + 18x 9 }, V P [ x]. Encuentre vectores de que sean l.d. y tales que dos cualesquiera de ellos sean l.i.. Suponga que v 1, v, v tienen sus puntos iniciales en el origen. En cada caso determine si ellos pertenecen a un mismo plano: a) v 1 ( 1,, ), v (, 1, ), v ( 1, 1, ) b) v 1 (, 1, ), v (,, ), v (, 7, 6) c) v 1 (, 6, 9), v (,, 6), v ( 1, 1, 1) d) v 1 (, 6, 8), v (,, ), v (,, ) 5. Encuentre todos los valores k de modo que el conjunto S sea l.i. si: a) S { (1 + k, 1 k), (1 k, 1 + k) } b) S { (1, k, ), (-1,, 1), (, -1, k) } 6. Sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo K. Demuestre que: a) { v } es l. i. v b) { v, u } es l. d. v es un múltiplo escalar de u c) S S es l. d. 7. Demuestre que si {v 1, v } es 1.i. y v <{v 1, v }> entonces {v 1, v, v } es l.i. 6

7 8. Sea {, v, v } V v1 conjunto l.i. Demuestre que: a) { v v v, v + v, } 1 + v 1 es l.i. b) { v v, v v + v, v } v es l.i. n 9. Si { v,...., } y k > n, demuestre que {,..., } 1 v k v 1 v k es l.d. Base Dimensión - Coordenadas. Explique por qué los siguientes conjuntos de vectores no forman una base para el espacio vectorial que se indica (resuelva a simple vista) a) {(1, ), (, ), (, 7)} para b) {(-1,, ), (6, 1, 1)} para 1. Determine si los conjuntos B dados forman o no una base del espacio vectorial real V. a) B {(, ), (-1, )}, V b) B {(, 9), (-, -1)}, V c) B {(1, 1, ), (, 1, -1)}, V d) B {(, -, 1), (, 1, 1), (, -7, 1)}, V e) B {(, -1,, 1), (,, 1, -), (1, -1, 1, -1}, V f) B {, 1 x, 1 + x x }, V P [ x] g) B,,,, V M( ) Sea W subespacio de, W recta que pasa por el origen.. Demuestre que W { W } ó W es una línea. Encuentre una base para cada uno de los siguientes subespacios de a) El plano x y. b) El conjunto de vectores de c) El plano definido por x + y z que están en el plano de ecuación x y z d) La recta dada por las ecuaciones paramétricas x t, y -t, z t, con t. En cada caso, encuentre una base y la dimensión del espacio solución del sistema de ecuaciones lineales dado 7

8 a) x 1 + x x + x 1 x + x + x b) x + y + z + w 5x y + z w c) x1 x x1 6x x1 9x + x + x + x 5. Sean W 1, W los subespacios de : {( x, x, x, x ) / x x } {( x, x, x, x ) / x + x x x x + x } W1 1 1 W Muestre una base y determine la dimensión de cada uno de los siguientes subespacios W 1, W, W1 W y W1 + W. 6. Encuentre una base y determine la dimensión de los subespacios de P [ x] : U W y U + W si U < { 1 x, 1+ x } > y W < { x, x + x }> 7. Determine todos los valores reales de k tales que S es una base de a) S {(, 1, 1), (1, k, k), (1, k, -k)} b) S {(k - 1, k, k), (1 k, k +, k), (k, k, k)} 8. Si B { 1, v, v } { v v + v, v + v, } : v es una base de un espacio vectorial V, demuestre que v 1 también es una base de V. 9. En el subespacio considere los conjuntos W 1 y W : W 1 {(x 1, x, x ) / x 1 + x + 5x } y W {(x 1, x, x ) / x 1 x }. a) Son W 1 y W subespacios vectoriales de? Pruébelo. b) Demuestre que W 1 y W son distintos de. c) Determine una base para.w 1 W. d) Encuentre una base para W 1 y W extendiendo la base que obtuvo en c). e) Determine el espacio W 1 + W y una base para él. Es W 1 + W f) Cuáles son las dimensiones de W 1, W, W 1 W, W 1 + W?? g) Construya una base para extendiendo la que obtuvo para W 5. Sean U 1, U los subespacios de : {( x, x, x, x ) / x + x x x x + x } U

9 U {(1,,, 1), (, 1,, ), (,, 1, ), (, -, -, ) } a) Determine la dimensión de U1 U b) Encuentre una base S para U c) Encuentre una base B de d) Es U1 + U? 51. Considere los subespacios de [ x] y U { p(x) / p(1) p( 1) } que contenga a la base S de U P : W { x + x x + 1, x +, x + x x}. Determine los subespacios W U, W + U y sus respectivas dimensiones. 5. Sea B la base ordenada de, B {(1,, -1), (-1, 1, ), (, 1, 1)}. Determine las coordenadas con respecto a la base B de cada uno de los vectores de la base canónica de. 5. Considere B y C las bases ordenadas de : B { (1, -1, ), (, 1, 1), (-1,, 1) } y C { (1,, 1), (1,, -), (, -1, 1) }. Si las coordenadas del vector v con respecto a la base B son [ v ] B (1, -, ), determine las coordenadas de v con respecto a la base C. P : A { 1 + x + x, x x, + x + x } B { 5 x x, 1 + x x, x + x } 5. Sean A y B las bases de [ x] y +. Si las coordenadas del vector p(x) con respecto a la base A son [ p (x)] A (1,, -) encuentre las coordenadas de p(x) con respecto a, a) la base canónica E de P [ x] b) la base B de P [ x] 55. Considere las bases E { 1, x, x }, B { 1, x 1, x 1} de P [ x] coordenadas de + bx + cx P [ x] la base B.. Determine las υ a con respecto a la base E y con respecto a 56. Suponga que las coordenadas (o vectores coordenados) de los vectores de u 1 (1,, -5), u (, -1, 1), B v1, v, son: (-,, -1), (-1, 1, ), (, -1, -) respectivamente. Determine la base B., u (-1,, -) según la base { v } de n 57. Demuestre que el conjunto S { 1, x 1, (x 1),...,(x 1) } exprese en esta base el polinomio es una base de [ x] n p (x) a + a1x + ax anx. P n y 9

10 58. Sean W < {( 1,, ) } > y < {( 1,1, ), (,1, 1) } > que W U. U subespacios de 59. Sean W < {( 1,, ), ( 1, 1, 1) } > y U ( x, y, z) subespacio. Es W U?. Justifique su respuesta.. Demuestre { / x + y z } 6. Considere el espacio M ( ) de las matrices reales cuadradas de orden y los subespacios W 1, W de las matrices simétricas y antisimétricas respectivamente. Demuestre que M( ) W1 W. 1

11 espuestas a algunos ejercicios. 1 (x, y) (x, y) 5. a) 1, 1, a) (8, ) y ( 1, ) c) α log, 1 8 β 7. La suma no tiene elemento neutro (cero). 8. No cumple con ( α + β)v αv + βv, α, β y v 9. a) No; (x, y) V pero (-x, -y) V b) No; 1(x, y, z) (x, y, z) c) No; existen A, B V pero A + B V d) Sí; V es un subespacio de P [ x] e) Sí; V es un subespacio del espacio de las funciones reales definidas en ], b [ a. 11. a) Sí b) No c) Sí d) No e) No f) Sí 1. a) Sí b) No c) Sí d) No e) Sí 1. a) Sí b) No c) Sí d) No 15. a) Sí b) Sí c) Sí d) No 16. a) W es el subespacio generado por { (1,,, ), (, 1,, ) } b) La forma es (x, y,, x + y), con x, y c) Por ejemplo, U { }; también U < {(, 1,, )} > 17. U {(x, y, z) / x, y }, V {(x, y, z) / y, z }, W {(x, y, z) / x, z }. 19. a) U W < {(1, -,, 1), (,, 1, )`> 1 b) U W, 1 1 c) U W { }. < S > {(x, y) / y 1 x } recta por el origen con pendiente 1. < T > {(x, y) / y b x } recta por el origen con pendiente b. a a < S > {(x, y) / y x } recta por el origen con pendiente. 1. Sí, existen y son α 1, α, α 1, α. El vector a pertenece a <{u, v, w}>; a -u + v -5w. El vector b no pertenece.. a) v v1 + v b) v v1 + v + v c) v no se puede escribir como combinación lineal de los vectores dados. 5. a) (1,,, 1) < S >; (a, b, c, d) tal que b + c y a + d. b) (1, 1, 1, 1) < S >; (a, b, c, d) tal que -a - b + c + d c) < S > V 11

12 a b d) < S > ; tal que b + c. 1 c d v (1, -, ) y v < {v, u} > a) { (,, ) } c) { 1 + x + x, 1 x + } x. a) l.d. c) l.i. e) l.i. g) l.d.. Por ejemplo, (1, -1, 1), (, 1, -1), (-1, -, ) 5. a) k { } b) k { 1± }. a) vectores l.d. b) los vectores no generan a 1. a) Sí b) No c) No d) Sí e) No f) Sí g) Sí. a) B {(1, 1, ), (,, 1)} b) B {(, 1, -1), (1,, )} c) B {(-1, 1, ), (,, 1)} d) B {(1, -, )} 5. B {(1,,, 1), (, 1,, ), (,, 1, )} base de W 1, dim W 1 B {(1, -1, 1, ), (, 1,, 1)} base de W, dim W B {(1,,, 1)} base de W1 W, dim ( W1 W ) 1 B {(1,,, 1), (, 1,, ), (,, 1, ), (1, -1, 1, )} base de W 1 + W, dim W 1 + W. 7. a) k {, 1 } b) k {, 1, } 6 9. c) B {(1, 1, -1)} base de W1 W d) B {(1, 1, -1), (, 5, -)} base de W 1, B {(1, 1, -1), (,, 1)} base de W. e) B {(1, 1, -1), (, 5, -), (,, 1)} base de W 1 + W. Sí, es suma directa. f) Las dimensiones son,, 1, respectivamente. g) B {(1, 1, -1), (,, 1), (1,, )} base de. 51. W1 W W U W + U. dim W dim U. 5. [e ] ( 1, 1, 1 1 B ), [e ] ( 1, 1, 1) B, [e ] ( 1, 1, 1) B 5. [ v] B (,, ) 55. [ v] E (a, b, c) [ v] B (a + b + c, b, c) 57. a + a1x + ax (a + a1 + a) + (a1 + a)(x 1) + a(x 1) 59. No, puesto que W U < { (-,, 1) }> { (,, ) } 1