Introducción a los espacios vectoriales

Transcripción

1 1 / 64 Introducción a los espacios vectoriales Pablo Olaso Redondo Informática Universidad Francisco de Vitoria November 19, 2015

2 2 / 64 Espacios vectoriales 1 Las 10 propiedades de un espacio vectorial 2 Subespacios Vectoriales 3 Conjuntos Generadores y Bases 4 Coordenadas y Cambio de Base

6 6 / 64 Espacios Vectoriales 1 Las 10 propiedades de un espacio vectorial 2 Subespacios Vectoriales 3 Conjuntos Generadores y Bases 4 Coordenadas y Cambio de Base

7 Definición Un espacio vectorial está compuesto por un conjunto de vectores, V, un conjunto de escalares (generalmente, un cuerpo, pero nosotros vamos a considerar únicamente el cuerpo de los números reales, R, que todos conocéis) y dos operaciones, (a las que llamaremos suma vectorial y multiplicación escalar), que cumplen las siguientes propiedades: 7 / 64

8 Suma. Para todos los vectores u, v y w en V: 1. u + v está en V(propiedad de cierre bajo la suma) 2. u + v = v + u (propiedad conmutativa de la suma) 3. u + (v + w) = (u + v) + w (propiedad asociativa de la suma) 4. Existe en V un vector, 0, tal que para todo u en V, u + 0 = u (elemento neutro de la suma) 5. Para todo u en V, existe un vector u en V tal que u + ( u) = 0 (elemento inverso de la suma) Multiplicación escalar. Para todos los vectores u, v y w en V y para todos los escalares c y d: 6. cu está en V (propiedad de cierre bajo la multiplicación escalar) 7. c(u + v) = cu + cv (propiedad distributiva) 8. (c + d)u = cu + du (propiedad distributiva) 9. c(du) = (cd)u (propiedad asociativa) 10. 1u = u (elemento neutro) 8 / 64

9 Suma. Para todos los vectores u, v y w en V: 1. u + v está en V(propiedad de cierre bajo la suma) 2. u + v = v + u (propiedad conmutativa de la suma) 3. u + (v + w) = (u + v) + w (propiedad asociativa de la suma) 4. Existe en V un vector, 0, tal que para todo u en V, u + 0 = u (elemento neutro de la suma) 5. Para todo u en V, existe un vector u en V tal que u + ( u) = 0 (elemento inverso de la suma) Multiplicación escalar. Para todos los vectores u, v y w en V y para todos los escalares c y d: 6. cu está en V (propiedad de cierre bajo la multiplicación escalar) 7. c(u + v) = cu + cv (propiedad distributiva) 8. (c + d)u = cu + du (propiedad distributiva) 9. c(du) = (cd)u (propiedad asociativa) 10. 1u = u (elemento neutro) 9 / 64

10 10 / 64 Aplicando estas 10 propiedades de los espacios vectoriales, se pueden realizar manipulaciones algebraicas con vectores, como en R n, casi del mismo modo en que se haría con los números reales. Ejemplo Sean u = (2, 1, 5, 0), v = (4, 3, 2, 2) y w = ( 5, 3, 8, 1) vectores de R 4. Calcula: x = 2u (v + 3w); x = 5(x + 2u w). Despeja: el vector x: 4x 2(u + v + x) 3w = 2.

11 11 / 64 Aplicando estas 10 propiedades de los espacios vectoriales, se pueden realizar manipulaciones algebraicas con vectores, como en R n, casi del mismo modo en que se haría con los números reales. Ejemplo Sean u = (2, 1, 5, 0), v = (4, 3, 2, 2) y w = ( 5, 3, 8, 1) vectores de R 4. Calcula: x = 2u (v + 3w); x = 5(x + 2u w). Despeja: el vector x: 4x 2(u + v + x) 3w = 2.

12 12 / 64 Estas 10 propiedades de la suma vectorial y de la multiplicación escalar son compartidas por muchas estructuras matemáticas, como el espacio euclideo R 3 y en general en los espacios R n, las matrices, los polinomios y las funciones. Por otra parte, de dichas propiedades se pueden concluir otras muchas propiedades, y además permiten, como hemos visto, una serie de operaciones algebraicas. Por todo esto, es útil abstraer dichas propiedades (que de este modo pasan a denominarse axiomas) y extraer conclusiones generales aplicables a todos los espacios vectoriales.

13 13 / 64 Estas 10 propiedades de la suma vectorial y de la multiplicación escalar son compartidas por muchas estructuras matemáticas, como el espacio euclideo R 3 y en general en los espacios R n, las matrices, los polinomios y las funciones. Por otra parte, de dichas propiedades se pueden concluir otras muchas propiedades, y además permiten, como hemos visto, una serie de operaciones algebraicas. Por todo esto, es útil abstraer dichas propiedades (que de este modo pasan a denominarse axiomas) y extraer conclusiones generales aplicables a todos los espacios vectoriales.

14 Ejemplos de espacios vectoriales: R 2 R R n Las matrices de 3x5 (M 3,5 ) con la suma de matrices y la multiplicación por un escalar. En general, las matrices M m,n P 2, el conjunto de polinomios de grado (menor o igual que) 2 (p(x) = a 2 x 2 + a 1 x + a 0 con la suma y producto escalar) El espacio vectorial de las funciones continuas C(, ) 14 / 64

15 15 / 64 Hemos visto que un vector puede ser un número real, una n-upla, una matriz, un polinomio, una función continua, etc. Para qué sirve esta abstracción? Eficiencia: A partir de ahora, todo lo que demostremos para un espacio vectorial abstracto, se aplica a todos los espacios vectoriales que hemos visto y a cualquier otro con el que nos encontremos.

16 Si v es un vector en R n y c un escalar, entonces se cumplen las siguientes propiedades: 1 El idéntico (nulo) aditivo es único: si u + v = v, entonces u = 0 2 El inverso aditivo de v es único: si v + u = 0 entonces u = v. 3 0v = 0 4 c0 = 0 5 si cv = 0, entonces c = 0 o v = 0 6 ( 1)v = v 7 ( v) = v (Estas propiedades se deducen de las 10 anteriores que definen un espacio vectorial. Demuéstralas tú mismo) 16 / 64

19 19 / 64 Escribir un vector v como combinacion lineal de otros vectores v 1,..., v n es encontrar unos escalares a 1,..., a n tales que v = a 1 v a n v n Observa: se puede expresar el vector (4, 5) como combinación lineal de ( 2, 1) y (4, 2)?

20 20 / 64 Escribir un vector v como combinacion lineal de otros vectores v 1,..., v n es encontrar unos escalares a 1,..., a n tales que v = a 1 v a n v n Observa: se puede expresar el vector (4, 5) como combinación lineal de ( 2, 1) y (4, 2)?

21 21 / 64 Son los enteros, Z, un espacio vectorial?

23 En muchas ocasiones los Espacios Vectoriales (EV) resultan ser subespacios de otros más grandes. Definición Decimos que W es un Subespacio Vectorial (SEV) de V si es un subconjunto de V y es un EV bajo las operaciones de suma y multiplicación escalar definidas sobre V. En particular, observa que para que la suma y multiplicación escalar estén bien definidas sobre W, ambas operaciones deben ser cerradas en W. Es más, para demostrar que un subconjunto W de V es un subespacio vectorial, no será necesario demostrar que se cumplen las 10 propiedades que caracterizan a los EV, basta con comprobar que las dos operaciones son cerradas. 23 / 64

26 26 / 64 Es fácil comprobar que entonces el elemento neutro de la suma, 0, está en W (recordar que 0u = 0) y que para todo u en W su inverso, u, tambien está en W (( 1)u = u). Las demás propiedades ya sabemos que se verifican al tratarse V de un EV. Ojo, además de la cerradura de las operaciones, hay que comprobar que W es no vacío, ya que el conjunto vacío no se puede considerar un EV. Un modo de comprobarlo es ver que, por ejemplo, el neutro de la suma, 0, está efectivamente en W.

27 27 / 64 Es fácil comprobar que entonces el elemento neutro de la suma, 0, está en W (recordar que 0u = 0) y que para todo u en W su inverso, u, tambien está en W (( 1)u = u). Las demás propiedades ya sabemos que se verifican al tratarse V de un EV. Ojo, además de la cerradura de las operaciones, hay que comprobar que W es no vacío, ya que el conjunto vacío no se puede considerar un EV. Un modo de comprobarlo es ver que, por ejemplo, el neutro de la suma, 0, está efectivamente en W.

28 28 / 64 Ejemplo Sea W el conjunto de puntos de la recta x + 3y = 1. W no es un SEV de R 2. Para verificarlo basta comprobar que el neutro, 0 = (0, 0) no está en W. Sin embargo, el conjunto de puntos de la recta dada por 2x + 3y = 0 sí es un SEV de R 2. Compruébalo tú mismo. En general, el conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales homogéneo (y el anterior lo es, con una única ecuación) con n incógnitas, es un SEV de R n. Esto también es fácil de demostrar.

31 31 / 64 Ejemplo W = {(x 1, 0) x 1 R} es un subespacio vectorial (SEV) de R 2 con las operaciones estándar. Es W = {(x 1, x 2, 3x 1 x 2 ) : x 1, x 2, x 3 R} un SEV? Observa que W = {0} y el propio V son subespacios de V. Estos son los subespacios más sencillos de todo EV, y se llaman subespacios triviales. Los demás subespacios se llamarán subespacios propios.

34 Ejemplo El conjunto W M n,n de las matrices simétricas es un SEV. Las matrices singulares (no invertibles) no son un SEV. Las matrices invertibles tampoco son un SEV (basta ver que la matriz nula no está en dicho conjunto) Podrías demostrar estas 3 afirmaciones previas? Demuestra que la interseccion de 2 subespacios de V, tambien es un subespacio de V. Ojo, no olvides comprobar que la intersección no es vacía. En general, los subespacios propios de R 3 son las rectas y planos que pasan por el origen de coordenadas, (0, 0, 0). 34 / 64

39 Definición Sea v un vector en V, un EV dado. Decimos que v es combinación lineal del conjunto de vectores {v i : i = 1,..., n}, contenido en V, si v se puede expresar de la forma v = a 1 v a n v n, donde a i son escalares para i = 1,..., n. Definición Sea S = {v 1, v 2,..., v k } un subconjunto de V. Definimos el generador de S como el conjunto de todas las posibles combinaciones lineales de los vectores en S: < S >= {a 1 v a k v k : a i R, i} 39 / 64

40 Definición Sea v un vector en V, un EV dado. Decimos que v es combinación lineal del conjunto de vectores {v i : i = 1,..., n}, contenido en V, si v se puede expresar de la forma v = a 1 v a n v n, donde a i son escalares para i = 1,..., n. Definición Sea S = {v 1, v 2,..., v k } un subconjunto de V. Definimos el generador de S como el conjunto de todas las posibles combinaciones lineales de los vectores en S: < S >= {a 1 v a k v k : a i R, i} 40 / 64

41 Definición S es un conjunto generador de V si todo vector de V se puede expresar como combinación lineal de los vectores de S, o lo que es lo mismo si < S >= V. Decimos que V es generado por S o que S genera a V. Si S no genera a V, genera un SEV de V: < S > es siempre un subespacio de V. Además, es el menor subespacio que contiene a S, es decir, si W es un subespacio que contiene a S, entonces < S > está contenido en W. Demuéstralo. 41 / 64

44 Dado un conjunto de vectores S = {v 1, v 2,..., v k } en V, un EV, la ecuación: a 1 v a k v k = 0 tiene al menos la solución trivial a 1 = a 2 =... = a k = 0 Definición Es posible que haya otras soluciones donde al menos algún a i 0 En este caso se dice que S es linealmente dependiente (l.d.), mientras que cuando la única solución posible es la trivial (a 1 =... = a k = 0), S es linealmente independiente (l.i.) 44 / 64

45 Dado un conjunto de vectores S = {v 1, v 2,..., v k } en V, un EV, la ecuación: a 1 v a k v k = 0 tiene al menos la solución trivial a 1 = a 2 =... = a k = 0 Definición Es posible que haya otras soluciones donde al menos algún a i 0 En este caso se dice que S es linealmente dependiente (l.d.), mientras que cuando la única solución posible es la trivial (a 1 =... = a k = 0), S es linealmente independiente (l.i.) 45 / 64

46 46 / 64 Veamos que esta definición de dependencia lineal tiene sentido: Si hay algún a i 0, entonces podemos despejar el vector correspondiente y expresarlo como combinación lineal de los demás, es decir, v i será linealmente dependiente de los demás vectores: v i = (a 1v 1 + +a i 1 v i 1 +a i+1 v i+1 + +a k v k ) a i De hecho, si uno de los vectores se puede expresar como combinación lineal de los demás, podemos demostrar que S será l.d. Demuéstralo tú mismo.

50 Definición Un conjunto de vectores S = {v 1, v 2,..., v n } en un espacio vectorial V, es una base de V, si: < S >= V S es l.i. Es decir, S genera a V y además es maximal, es decir, no sobra ningún vector. Definición Si S es una base de V, diremos que V tiene dimensión n. Observa que para que el concepto esté bien definido, todas las posibles bases de V deben tener el mismo número, n, de vectores, es esto cierto? 50 / 64

51 Definición Un conjunto de vectores S = {v 1, v 2,..., v n } en un espacio vectorial V, es una base de V, si: < S >= V S es l.i. Es decir, S genera a V y además es maximal, es decir, no sobra ningún vector. Definición Si S es una base de V, diremos que V tiene dimensión n. Observa que para que el concepto esté bien definido, todas las posibles bases de V deben tener el mismo número, n, de vectores, es esto cierto? 51 / 64

52 52 / 64 Existen EV de dimensión infinita, cuyas bases tienen infinitos vectores, pero no vamos a estudiarlas en este curso (por ejemplo, el EV formado por todos los polinomios) Cual es la dimensión de un EV que consta de un único punto, es decir V = {0}?

53 53 / 64 Existen EV de dimensión infinita, cuyas bases tienen infinitos vectores, pero no vamos a estudiarlas en este curso (por ejemplo, el EV formado por todos los polinomios) Cual es la dimensión de un EV que consta de un único punto, es decir V = {0}?

54 Ejemplo Algunos ejemplos de bases: {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} se llama base estándar o canónica de R 3 {1, x, x 2,..., x n } se llama base canónica del EV P n, formado por los polinomios de grado (menor o igual que) n. Dada una base, todo vector v en V puede expresarse de una única forma como combinación lineal de los vectores de S. Demuéstralo. Así a simple vista y sin realizar ningún cálculo, responde a esta pregunta: En R 3, S = {(1, 1, 0), (0, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)}, puede ser l.i.? 54 / 64

59 Dada una base B = {v 1,..., v n } del EV V, todo vector v en V se puede expresar como combinación lineal de los vectores de B: v = a 1 v a n v n Pues bien, esta combinación lineal es única, es decir, para cualesquiera c i tales que v = c i v c n v n, necesariamente c i = a i para todo i. Definición Estos a i se llaman coordenadas de v con respecto a la base B, y representamos el vector de coordenadas así: (v) B = (a 1,..., a n ) Ejemplo Si (v) B = (4, 5) son las coordenadas de v respecto a la base {(1, 1), (1, 1)}, sus coordenadas en la base canónica serán: v = 4(1, 1) + 5(1, 1) = (9, 1) 0 59 / 64

62 Cómo obtener las coordenadas de un vector en una base dada si tenemos sus coordenadas en la base canónica? Sea v = (1, 2, 3) en R 3, cuáles son sus cordenadas en la base B = {(1, 0, 5), (0, 1, 2), (3, 2, 2)}? En general este problema lo vamos a resolver mediante la llamada matriz de transición P de la base B a la base B, que cumple: [v] B = P[v] B. Esta matriz es invertible y su inversa, P 1, es la matriz de transición de la base B a B. Un modo sencillo de encontrar esta matriz es el siguiente: Primero construimos dos matrices, B y B, cuyas columnas se corresponden con los vectores de las bases B y B, respectivamente, y luego aplicamos la eliminación de Gauss-Jordan a la matriz [B B] hasta obtener la matriz [I P 1 ]. 62 / 64