Funciones y Cardinalidad

Transcripción

1 Funciones y Cardinalidad Definición 1 Llamaremos función f entre dos conjuntos A y B a una relación que verifica las siguientes propiedades: i) Dom(f) = A ii) Si (a, b), (a, c) f entonces b = c Dicho de otra manera: todo elemento de A está relacionado con algún elemento de B y que este elemento es el único. Ejemplo: La relación definida entre A = {1, 2, 3, 4} y B = {a, b, c} f = {(1, a), (2, c), (3, c), (4, a)} es una función. A a b c B 1

2 Si f es una función de A en B lo expresaremos f: A B a los elementos del conjunto A le llamaremos argumentos o variables. Por otro lado, si (a, b) f lo denotaremos f(a) = b y diremos que b es la imagen de a. Por tanto: f = {(a, f(a)) a A} Si consideramos A = B = R, podemos definir la función f: R R mediante la regla f(x) = x 2 1, quedando perfectamente definida la función. Sin embargo, en ocasiones se habla de la función f: R R, definida f(x) = x. Aunque en el sentido algebraico no es una función, sí lo es si nos restringimos a su dominio. Ejemplo: La relación identidad I en A es una función, la llamaremos función identidad. 2

3 Imagen directa e imagen inversa Toda función f: A B define dos nuevas funciones, una de P(A) en P(B) a la que llamaremos Imagen directa que transforma un subconjunto X A en el subconjunto f(x) = {f(x) x X} Otra de P(B) en P(A) a la que llamaremos Preimagen o Imagen inversa que transforma un subconjunto Y B en el subconjunto f 1 (Y ) = {a f(a) Y }. A B A B X -1 f (Y) Y f(x) Imagen Directa Imagen Inversa Ejemplo: Si f: R {0} R y f(x) = 1 x, entonces f ((0, 1]) = [1, ) f 1 ([ 1, 1]) = (, 1] [1, ) 3

4 Tipos especiales de funciones Definición 2 f: A B se dice que es inyectiva si elementos distintos de A tienen imágenes distintas, es decir a, a A y a a f(a) f(a ) A a b c d B Una definición de inyectividad equivalente a la anterior es: f(a) = f(a ) a = a Ejemplo: La función f: Z {1} Q definida f(n) = n es inyectiva. n 1 Demostración: n = m. Si f(n) = f(m) llegamos a 4

5 Definición 3 f: A B es sobreyectiva si todo elemento de B es imagen de algún elemento de A: Dado b B, existe a A tal que f(a) = b A B C x f f(x) g g(f(x)) g f Ejemplos: Veamos que f: R R definida f(x) = 1 + 2x es sobreyectiva: si y R, existe x tal que f(x) = y, en concreto x = y 1 2. f: R R definida f(x) = x no es sobreyectiva. su gráfica, sería algo 1 + x2 así:

6 Definición 4 Diremos que una función f es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva. A a b c d B No todas las funciones han de ser necesariamente de alguno de estos tipos. Existen funciones que no son ni inyectivas ni sobreyectivas y por lo tanto tampoco biyectivas. Composición de funciones y funciones inversas Si f: A B y g: B C son funciones, sabemos que existe la relación compuesta, será ésta también una función? La composición de funciones se representa como g f indicando que primero se aplica f y luego g (al contrario que la composición de relaciones) 6

7 Teorema 1 Si f: A B y g: B C son funciones, entonces la relación compuesta g f: A C es también una función. A B C x f f(x) g g(f(x)) g f Observemos que la función compuesta toma la expresión: (g f)(a) = g (f(a)) que nos sirve como definición de composición de funciones. Teorema 2 Si f: A B y g: B C son inyectivas (resp. sobreyectivas), entonces g f es inyectiva (resp. sobreyectiva) 7

8 Funciones inversibles Sabemos que, dada una función f: A B, existe la relación inversa f 1 : B A que, no necesariamente, ha de ser función, por tanto: Definición 5 Diremos que una función f: A B es inversible si la relación inversa f 1 : B A es función. Teorema 3 Una función f: A B es inversible si y sólo si es biyectiva. Ejemplo: La función f : R R + definida f(x) = x 2 no es inversible, ya que no es inyectiva. La relación inversa es f 1 (x) = ± x

9 Si f es inversible, entonces f 1 también lo es, puesto que (f 1 ) 1 = f. Teorema 4 Sea f: A B una función inversible, entonces se verifica: a) f f 1 = I B b) f 1 f = I A Teorema 5 Si f: A B es una función inversible y existe g: B A tal que f g = I B o g f = I A, entonces g = f 1 Ejemplo: Usar este hecho para encontrar la inversa de la función f: R R definida f(x) = 2x 1. f(f 1 (x)) = x 2f 1 (x) 1 = x f 1 (x) = 1 + x 2 9

10 Operaciones binarias Definición 6 Llamaremos operación binaria (interna) definida sobre un conjunto A a una función definida A A A. A A A (a, b) a b También se pueden definir operaciones binarias llamadas externas A B B (a, b) a b por ejemplo, el producto de un escalar (número real) por un vector, que da como resultado otro vector. Incluso se pueden definir operaciones sobre los elementos de un conjunto, dando como resultado un e- lemento de otro conjunto distinto (el producto escalar de dos vectores es un ejemplo de ello). Propiedades y elementos notables Propiedad asociativa: para cada a, b, c A se verifica (a b) c = a (b c). Propiedad conmutativa: para cada a, b A se verifica a b = b a. Leyes de cancelación: a la izquierda si a b = a c b = c. Si tenemos una segunda operación : Propiedad distributiva: para cada a, b, c A se verifica a (b c) = (a b) (a c). 10

11 Algunos elementos del conjuntos A se pueden comportar de forma notable con respecto a la operación Elemento neutro e: a e = e a = a para cada a A. Elemento absorbente z: a z = z a = z para cada a A. Elemento idempotente: a a = a. Elemento inversible: a es inversible si existe a que a a = a a = e. tal Estructuras algebraicas Cuando tenemos uno o más conjuntos con una o varias operaciones binarias, con unas determinadas propiedades y unos determinados elementos notables, estamos ante una estructura algebraica A veces, si el conjunto sobre el que actúa una operación es finito A = {a 1, a 2,..., a n } es posible representar dicha operación mediante una tabla de la forma a 1 a j a n a 1... a i. a i a j. a n. Las estructuras se representan agrupando bajo un paréntesis el conjunto y las operaciones que actúan sobre él, e- jemplo (A, ) o bien (A,, ). 11

12 Morfismos Dadas dos estructuras algebraicas similares (con las mismas propiedades) se llamará homomorfismo a una función entre los conjuntos que respeta la estructura, por ejemplo, si (A, ) y (B, ) son dos estructuras algebraicas un homomorfismo será u- na función f: A B que verifica f(a b) = f(a) f(b) para cada par de elementos a, b A. Cuando los homomorfismos son inyectivos o sobreyectivos reciben nombres especiales, estos son los siguientes: Monomorfismo: si es inyectivo. Epimorfismo: si es sobreyectivo. Isomorfismo: si es biyectivo. Ejemplo: Dados conjuntos {a, b, c} y {1, 2, 3} con operaciones definidas mediante las respectivas tablas a b c a a b c b b b b c c b b se observa que son isomorfas a 2 b 1. c mediante la función 12

13 Cardinalidad Definición 7 Un conjunto A se dice que es equipotente a otro B, si, existe una aplicación biyectiva de A en B. Escribiremos A B. Ejemplo: Dado A = {s, t, m} y B = {,, } se tiene A B. La equipotencia es una relación de equivalencia. Definición 8 Dado A, se llama cardinal de A a la clase de equivalencia [A] respecto de la relación de equipotencia. Lo representamos como A. El único equipotente a vacío es él mismo, y en lugar de escribir cuando hablemos de cardinal pondremos el número natural 0. De la misma forma cuando nos refiramos al cardinal del conjunto { } o de {a} o de { }... o de cualquiera equipotente a ellos, en lugar de poner { } pondremos el natural 1. Si consideramos los subconjuntos de N N n = {1, 2,..., n} Podemos dar nombre propio a cada cardinal o clase distinta: := 0 N 1 := 1 N 2 := 2 N 3 := 3 Por este motivo por el cual se identifica el cardinal de un conjunto como el número de elementos que posee... 13

14 Podemos entonces dar una definición rigurosa de conjunto finito como sigue: Definición 9 Un conjunto A se dice finito si su cardinal es un número natural, es decir, si es equipotente a alguno de los N n. Conjuntos infinitos Obsérvese que el cardinal del N, coincide con el cardinal de números pares 2N. Puede chocar que se produzca la posibilidad de que el cardinal de una parte pueda coincidir con el de la totalidad, pero esto no es contradicción alguna, precisamente esta posibilidad es lo que va a dar un carácter distinto a este conjunto, que como sabemos no es finito: Definición 10 Un conjunto A se dice que es infinito si es equipotente a un subconjunto propio suyo. Es decir existe B A, B A y tal que B = A. Por tanto el conjunto de los naturales es un conjunto infinito. El cardinal N se expresa por ℵ 0 y tiene el nombre de cardinal numerable. Cualquier conjunto con cardinal numerable se dice que es infinito numerable. Definición 11 Un conjunto se dice que es numerable si es finito o infinito numerable. Ejercicio Probar que la unión de dos conjuntos numerables es también numerable. Probar además que la unión numerable de conjuntos numerables es numerable, es decir, si cada A i es numerable, entonces A i es también numerable. i 14

15 Definición 12 Dados A, B se dice que el cardinal de A es estrictamente menor que el cardinal de B ( A < B ) si se cumplen las dos siguientes condiciones: 1) A es equipotente a un subconjunto propio de B. 2) Ningún subconjunto de A es equipotente a B. Decimos que A B como usualmente, si A < B o A = B. Con esta definición, claramente el cardinal 7 es estrictamente menor que el cardinal 11, es más, entre cardinales finitos sobra la condición 2). Sin embargo entre conjuntos infinitos esto no se produce (piénsese en los conjuntos N y 2N) Ejercicio Prueba que es suficiente para ver que A B que existe una función inyectiva f: A B. Como aplicación de esto último tenemos que N Q. Nota: Si A es un subconjunto propio de B siempre se verifica A B puesto que la función identidad sería una función inyectiva. Teorema 6 El conjunto de los números racionales Q es infinito numerable. Este teorema puede chocar un poco con la intuición por el hecho de que pueda tener el mismo cardinal un conjunto como Q que es denso que otro como N que es discreto. Nota: Un conjunto denso significa que entre dos e- lementos cualesquiera del conjunto, siempre existe un elemento distinto entre ellos. Discreto es lo contrario. 15

16 Podía pensarse que todos los conjuntos numéricos son numerables, aunque fuesen conjuntos densos. Esto no es así, veamos el siguiente Teorema 7 El subconjunto de los números reales es infinito no numerable. (0, 1) = {x R : 0 < x < 1} Existen pues más números reales entre 0 y 1 que todos los racionales juntos. Pero lo realmente sorprendente, aunque muy fácil de probar, es el siguiente resultado: El cardinal de (0, 1) es el mismo que el de R, como muestra la función biyectiva siguiente: f: (0, 1) R ; f(x) = 6(x 0.5)3 x(x 1) Según los anteriores resultados, tenemos que N = Z = Q < R. Pero existirán conjuntos con cardinal mayor que el cardinal de R? La respuesta nos la da el siguiente teorema. 16

17 Teorema 8 Dado un conjunto cualquiera A, el conjunto de sus partes P(A) es de cardinal superior a A, es decir A < P(A) Deducimos que no tenemos más que ir formando el conjunto de las partes de un conjunto cualquiera para obtener uno de cardinal superior, es entonces posible obtener una infinidad de cardinales infinitos y ordenarlos: Llamando ℵ 1 al cardinal de R, ℵ 2 al cardinal del conjunto de sus partes, ℵ 3 al de las partes de las partes..., tenemos ℵ 0 < ℵ 1 < ℵ 2 < ℵ 3 < < ℵ k < Estos cardinales se llaman Cardinales transfinitos. Podemos suponer que entre dos cardinales transfinitos consecutivos no existen otros. Éste ha sido el teorema conocido como la generalización de la hipótesis del continuo que trató de probar Cantor. El célebre lógico K. Gödel demuestra en 1938 que esta afirmación no llevaba a contradicción alguna la axiomática de la teoría de conjuntos usual, y se consideró que esa afirmación conocida como teorema de Cantor era cierta. No obstante Cohën (discípulo de Cantor) demostró que la suposición de que el teorema de Cantor es falso, tampoco contradice la teoría. Ésto se expresa diciendo que el teorema de Cantor es independiente de la teoría, es decir no es resultado deducible o demostrable a partir de los axiomas previos. Es un resultado que considerado axiomáticamente es tan cierto como falso, y añadido a los restantes axiomas nos proporcionan a su vez teorías válidas. 17