Tema 1: El cuerpo de los números reales

Transcripción

1 Una definición axiomática debe ser: tal que: Tema 1: El cuerpo de los números reales - Ningún axioma se debe deducir o demostrar de otro anterior - Han de ser los mínimos para demostrar una teoría Axiomas de Peano para definir los números naturales: A1: Existe un conjunto de números naturales (denotado por ). El 1 es un número natural. 1 A2: n n = sig(n) : n. Para cada número natural n existe otro número natural llamado siguiente de n A3: : sig(n) = 1. No existe ningún número natural n tal que el siguiente de n sea el 1. i 1 A4: (Axioma de inducción): Sea S, con S tal que: entonces S= ii n sign S Nota1: Coloquialmente, los números naturales son los que se usan para contar los elementos de un cierto conjunto. Nota2: Es decir, = {1, 2, 3, }. Todavía hoy hay discrepancia sobre si el 0 es un número natural o no. Hay autores que lo incluyen y otros que no. Por tanto al consultar un texto hay que ver la convención del autor sobre el cero. Nota3: El axioma de inducción es la base para las demostraciones por inducción: Imagina que tenemos una proposición que decimos que se cumple n y queremos demostrarla. Para ello: i) comprobamos que esa proposición se cumple para el 1; ii) luego suponiendo que se cumple para un n cualquiera, si a partir de esa suposición deducimos que esa proposición se cumple para sig(n), es decir, para (n+1), entonces esa propiedad queda probada por inducción Introducción de, el conjunto de los enteros. 1. Sea. Hagamos el producto cartesiano, es decir, pares ordenados de la forma (n, m), donde n es del primer conjunto y m del segundo conjunto. 2. Definimos (n, m) relacionado con (n, m ): (n, m) (n, m ) n + m = m + n Nota: Sería más claro definirlo con (n, m) (n, m ) n m = n m, pero la resta no está definida con todos los números naturales, ya que la resta no es una ley de composición interna en, p. ej: Se puede comprobar que es una Relación de equivalencia, pues cumple las propiedades: Reflexiva: a a Simétrica: a b b a Transitiva: Si a b b c a c 4. Al ser una relación de equivalencia, divide al conjunto en clases de equivalencia, estando en cada clase de equivalencia todos los pares ordenados que relacionados entre sí. A cada clase de equivalencia se le llama número entero. [-1] = {(2,3),(6,7), (0,1), } Recordar que [a] = {x S / a x} [2] = {(3,1),(5,3), (6,4),(7,5), } En conclusión: / = En puedo definir: La suma: (n, m) + (n, m`) = (n+n, m+m ) [5] + [-3] = (7, 2) + (1, 4) = (7+1, 2+4) = (8, 6 ) = [2] (, es un grupo abeliano. Comprobar. El producto: (n, m) (n, m`) = (n n + m m, n m +n m) [5] [-3] = (6, 1) (2, 5) = ( , ) = (17, 32 ) = [-15] (, es ley de composición interna, asociativa, y distributiva especto a La operación es conmutativa y tiene elemento unidad (pero no hay inverso) (, +, ) es un anillo conmutativo unitario. Comprobar. Orden: (n, m) (n, m ) n + m n + m (equivalente a: n m n m ) es una relación de orden, cumple con las propiedades: reflexiva: a a, antisimétrica: si a b y b a a=b, transitiva: Si a b b c a c Relación de orden total: todos los enteros están relacionados entre sí. a,b, (a b) (b a)

2 Introducción de, el conjunto de los racionales. 1. Denominamos = {0}. Consideramos = { (p,q) / p, q } 2. Definimos (p, q) relacionado con (r, s): (p, q) (r, s) p s = q r 3. Se puede comprobar que es una Relación de equivalencia, pues cumple las propiedades: Reflexiva: a a Simétrica: a b b a Transitiva: Si a b b c a c 4. Al ser una relación de equivalencia, divide al conjunto en clases de equivalencia, estando en cada clase de equivalencia todos los pares ordenados que relacionados entre sí. A cada clase de equivalencia se le llama número racional. = {(2,3),(4,6),(6,9), } Recordar que [a] = {x S / a x} = {(-5,4),(-10,8), (-15,12), } En conclusión: / = En puedo definir: La suma: (p, q) + (r, s) = (p s+q r, q s) + = (2, 3) + (1, 5) = ( , 3 5) = (13, 15 ) = (, es un grupo abeliano. Comprobar. El producto: (p, q) (r, s) = (p r, q s) = (2, 3) (1, 5) = (2 1, 3 5) = (2, 15 ) = (, es un grupo abeliano. Comprobar. (, +, ) es un cuerpo conmutativo (para ser cuerpo solo se pide que con el producto sea grupo, aquí el Orden: (p, q) (r, s) p s q r (equivalente a: p/q r/s) producto es conmutativo). Comprobar. es una relación de orden, cumple con las propiedades: reflexiva: a a, antisimétrica: si a b y b a a=b, transitiva: Si a b b c a c Relación de orden total: todos los racionales están relacionados entre sí. a,b, (a b) (b a) Introducción de, el conjunto de los irracionales. Cociente de enteros exacto Otro entero Decimal exacto Racionales Periódico Puro Mixto ={ Números con infinitas cifras decimales no periódicas } No se pueden expresar como cocientes de enteros. Por tanto, no son racionales. Ya desde los griegos antiguos, por el Teorema de Pitágoras, se supo de la existencia de los números irracionales. La demostración más fácil es por reducción al absurdo (Una proposición sólo puede ser verdadera o falsa. Imagina que quiero probar que una proposición es verdadera. Entonces supongo lo contrario, que es falsa; entonces si mediante razonamientos lógicos llegamos al absurdo, es decir, a una contradicción, es que es falsa la suposición de que era falsa, y por tanto, la proposición es verdadera). Demostración de que 2 es irracional. Por reducción al absurdo imagino que 2 es racional, por tanto, podría escribirlo como: Suponemos: p, q positivos, sin pérdida de generalidad, si no, basta con multiplicar por -1 cada uno. Suponemos que es una fracción irreducible, si no lo es, la simplificamos. Si es irreducible entonces uno de los dos, al menos, p ó q debe ser impar, si los dos fueran pares se podría simplificar. Elevando al cuadrado tendría: p2 = 2q 2 lo que quiere decir que p 2 es par, por tanto p es par Como p es par lo puedo escribir como p = 2 k, entonces la ecuación queda: (2k) 2 = 2q 2 4k 2 = 2q 2 2k 2 = q 2 Con lo cual q 2 es par, y por tanto, q también es par. Por tanto se llega a que ambos son pares (contradicción), y por tanto la fracción original no es irreducible (contradicción). Lo cual contradice nuestra hipótesis de que 2 es racional, por tanto 2 es irracional

3 Números reales = FALTA - Hablar de la división de naturales, de números primos - Q es denso, I es denso, números algebraicos, y trascedentes

4 Demostrar que: n = Ejercicios de demostración por inducción Aprovechar para recordar que en las progresiones aritméticas: a n a n-1 = d a n =a 1 + (n 1) d S Arit = (d es una constante) Demostrar que: n 2 = Demostrar que: n 3 =

5 Demostrar que: n 3 = ( n) 2 Demostrar que: 2 2n + 15n 1 es divisible entre 9 (o equivalentemente, que es múltiplo de 9) Demostrar que: (n-1) 2 < < n 2

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