b) Sea una relación de equivalencia en A y una operación en A. Decimos que y son compatibles si a b a c b c y c a c b para todo a, b, c A

Transcripción

1 APENDICE Relaciones y Operaciones Compatibles 1 Definición: a) Sea A un conjunto y una relación entre elementos de A. Decimos que es una relación de equivalencia si es: i Reflexiva: a A, a a. ii Simétrica: a, b A, si a b entonces b a. iii Transitiva: a, b, c A, si a b y b c entonces a c. b) Sea una relación de equivalencia en A y una operación en A. Decimos que y son compatibles si a b a c b c y c a c b para todo a, b, c A 3 Ejemplo: Sea la relación definida en Q {0} así: a b si y sólo si a 2 = b 2 Veamos si es una relación de equivalencia en Qy la compatibilidad con las operaciones: i a a es equivalente a a 2 = a 2 lo cual es cierto para todo a Q. ii a b implica b a, a, b Q. En efecto a b es equivalente a a 2 = b 2 y esto es equivalente a b 2 = a 2, es decir b a. i

2 ii Apendice. iii a b y b c a c, a, b, c Q. Porque a b es equivalente a que a 2 = b 2 y b c es equivalente a que b 2 = c 2 ; por transitividad de =, a 2 = c 2, es decir a c. Por otro lado: i es compatible con el producto en Q {0}. En efecto sea a b y sea x Q {0}. Entonces (x.a) 2 = x 2.a 2 = x 2.b 2 = (x.b) 2 de manera que xa xb y por conmutatividad de. en Q {0} se cumple ax xb. ii no es compatible con la suma en Q {0}. En efecto 1 1. Sin embargo es falso que ( 1) ya que (1 + 1) 2 (1 + ( 1)) 2 4 Notación: i Si es una relación de equivalencia en A y a A denotamos [a] = {x A x a}. [a] se llamará la clase de equivalencia de a, relativa a la relación. Cuando ésta última es clara, se dirá simplemente que [a] es la clase de equivalencia de a. ii Sea A i con i I una familia de conjuntos. Llamamos la reunión de la familia A i con i I y lo denotamos i I A i ó A i I al conjunto formado por todos los elementos de los A i con i I. Así que x i I A i si y sólo si existe i I tal que x A i. iii La familia {A i } i I se dice disjunta si y sólo si i j implica que A i A j = para i, j I. Cuando deseamos indicar la reunión de una familia que es disjunta, en lugar del símbolo usamos Con éstas convenciones el hecho de que dada una relación de equivalencia en un conjunto A, este quede partido, se resumen en las partes (2) y (3) de la siguiente proposición.

3 Apendice. iii 5 Proposición: Sea A un conjunto y una relación de equivalencia en A. Entonces: i a b si y sólo si [a] = [b]. ii [a] [b] entonces [a] [b] =. iii A = {[a] a A} = a A [a]. Sea una relación de equivalencia en A. Sean a, b, c elementos de A. i Como es una relación de equivalencia, a b si y sólo si [a] [b]. En efecto: ) Suponga a b. Sea c [a]. Entonces c a, luego, por transitividad de, c b y por tanto c [b]. De donde [a] [b]. ) Como a [a] [b] entonces a [b], luego a b. Haciendo uso de la propiedad simérica de y de la implicación demostrada se completa fácilmente la demostración de (1). ii Basta demostrar que si [a] [b] entonces [a] = [b], que es la proposición contrarrecíproca de (2). Si [a] [b], existe un x A tal que x [a] y x [b]; así que x a y x b, por tanto a b (por transitividad de ) de donde [a] = [b] por (1). iii a [a] para todo a A, así que a pertenece al menos a una clase y por tanto está en la reunión de todas ellas. Así que [a] A. Se tiene pues la igualdad a A Nota: (2) y (3) equivalen a que la familia de todos los subconjuntos [a] deteminados por los elementos de A, según la relación, es una partición de A. El recíproco de esta proposición también es cierto. Este hecho, explicado y complementado, aparece en el ejercicio 9 de este capítulo.

4 iv Apendice. 6 Definición: Si A es un conjunto y es una relación de equivalencia, al conjunto {[a] a A} se llama el conjunto cociente de A por, y se le denota A/ Veamos bajo qué condiciones se pueden operar las clases de equivalencia. 7 Proposición: Sea una operación en A y una relación de equivalencia. Si y son compatibles entonces la fórmula [a] [b] = [a b] para todo a, b A define una operación, todavía denotada, en A/. La propiedad clausurativa es clara. En cuanto a la propiedad uniforme dice, en uno de sus casos que [a] = [b] [a] [c] = [b] [c] ó traduciendo a b a c b c que se cumple por compatibilidad de y. La siguiente proposición muestra las propiedades de en A que pasan a de A/. 8 Proposición: Sea una operación en A y una relación compatible con. Se tiene: i Si es asociativa en A, entonces es asociativa en A/. ii Si es conmutativa en A, entonces es conmutativa en A/. iii Si es modulativa en A, entonces es modulatica en A/. iv Si es invertiva en A, entonces es invertiva en A/. v Si es otra operación en A, compatible con y si distribuye sobre en A, entonces distribuye sobre en A/ 9 Corolario: Sean y operaciones en A, una relación de equivalencia y,

5 Apendice. v compatibles con en A. Entonces si (A, ) es un grupo, también lo es (A/, ). 10 Proposición: Sea (A, +) un grupo abeliano y B un subgrupo de A, entonces la relación a b si y sólo si a b B para todo a, b A es una relación de equivalencia en A compatible con +. Se trata de demostrar que es reflexiva, simétrica y transitiva y que es compatible con +. Que a a es cierto puesto que a a a a B lo cual se tiene ya que 0 B. Además a b b a, porque (a b) b b a = (a b) B. Veamos que es transitiva. Es decir, si a b y b c. Es decir a b B y b c B entonces a c B, lo cual es cierto porque (a b) + (b c) = (a c) B. Ahora veamos que a b a + c b + c y c + a c + b. Pero más aún (a + c) (b c) B a b b (se cancela c). De igual manera se cumple c + a = c + b. 11 Corolario: Sea (A, +) un grupo abeliano y sea [a] la clase de equivalencia de a, por la relación a b si y sólo si a b B, en donde B es un subgrupo de A. Entonces A/ es un grupo abeliano para la operación (que está bien definida), [a] + [b] = [a + b]. 12 Nombres: En la situación del Corolario 3.12 en lugar de A/ se escribe A/B y se le llama: El grupo cociente de A por B, cuando B es un subgrupo de A. Subgrupos 13 Definición: Sea G un grupo y A G. A se dice un subgrupo de G si es una operación en A y (A, ) es un grupo. Se denota A g G

6 vi Apendice. Las caracterizaciones de los subgrupos es la misma del caso abeliano. Resumámoslas. 14 Proposición: Sea A G, A. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: i A es un subgrupo de G. ii A es cerrado para y si a A entonces a 1 A. iii Para todo a, b A, ab 1 A 15 Ejemplos de Subgrupos: i En cualquier grupo G, {1} y G son subgrupos de G, llamados subgrupos triviales. ii Sea G un grupo y a G, entonces a = {a n n Z} es un subgrupo de G porque 1 = a 0 a luego a. Además dados elementos de a veamos que el primero por el inverso del segundo está en a. En efecto si los elementos son a n y a m, a n (a m ) 1 = a n a m = a n m a. iii Dados un grupo G, {x G xa = ax a G} = C n (G) es un subgrupo de G (llamado el centralizador de G). iv Si a, b G y ab = ba, entonces {a n b m n, m Z} g G. v Sea A un subconjunto de G tal que si a A entonces a 1 A. Se define: C n (G, A) = {x G xa = ax; a A} el cual es un subgrupo de G (el centralizador de A en G). vi Si G es un grupo entonces G G con (a, b)(c, d) = (ac, bd) es un grupo y {1} G y G {1} son subgrupos de G G. En general, si A es un subgrupo de G entonces A G, A {1}, G A, {1} A son subgrupos de G G Como en el caso de un campo finito (o mejor, por la misma razón) la finitud de un conjunto cerrado (en una operación cancelativa) implica existencia en él de elementos especiales como el módulo y el inverso de un elemento del subconjunto. Más precisamente

7 Apendice. vii 16 Proposición: Si G es un grupo y C una clase de subgrupos de G entonces C es un subgrupo de G. Sea G un grupo y C una clase de subgrupos de G. Que C es no vacío es claro puesto que 1 A, para todo A C. Sean x, y C. Entonces x.y 1 A para todo A C lo cual es equivalente a que x.y 1 C Para el ejemplo más importante de subgrupos tenemos el generado por un subconjunto de G. Está determinado por las propiedades que siguen según el ejercicio Proposición: Sea G un grupo, A G y C la clase de los B tales que B es un subgrupo de G y B A. Entonces: i C es un subgrupo de G. ii C A. iii Si D es un subgrupo de G y D A entonces D C. Hacemos (3) las demás quedan como ejercicio. Note que si A C, entonces A C. Ahora bien, si D es un subgrupo de G y D A entonces D C. Así que D C 18 Definición: El subgrupo C de la proposición anterior se denomina el subgrupo de G generado por A. 19 Notación: Al subgrupo de G generado por A, se le denotará A. Cuando A = {a} se denotará a. Note además (ejercicio 12) que (1), (2) y (3) de 4.9 caracterizan a A. 20 Proposición: Sea G un grupo. Si a G entonces T = {a n n Z} es el subgrupo generado por {a}.

8 viii Apendice. Debemos ver que T es subgrupo de G, que T {a} y finalmente, que si H es subgrupo de G y H {a}, entonces H T. Ahora, que T es un subgrupo ya lo sabemos (ejemplo 4.7 (2)). Que {a} T es obvio. Supongamos que H es subgrupo y H {a}. Entonces H contiene cualquier producto de sus elementos, en particular a n y sus inversos, en particular a 1. Así que T H 21 Definición: Un grupo se dice cíclico si existe a G tal que G = a Podemos notar que todo grupo cíclico G es conmutativo porque para a n, a m G tenemos que a n.a m = a n+m = a m+n = a m.a n. Una buena parte del álgebra se dedica a la clasificación de los grupos. Aquí iniciamos el tema con lo más simple: grupos cíclicos. Los grupos abelianos en general se clasificarán más adelante. Para el caso de los grupos cíclicos (ver 4.28 y siguientes) usaremos homomorfismos y cocientes. Homomorfismos de Grupos 22 Definición: Sean G 1 y G 2 grupos (denotados multiplicativamente). Sea f: G 1 G 2 una función. i f se dice un homomorfismo de grupos si: f(x.y) = f(x)f(y) para todo x, y G 1. ii f se dice un isomorfismo de grupos, si es un homomorfismo biyectivo. iii G 1 se dice isomorfo a G 2 (denotado G 1 = G2 ) si existe un isomorfismo de grupos f: G 1 G 2 23 Proposición: i La identidad 1 G : G G es un isomorfismo de grupos.

9 Apendice. ix ii Si f: G 1 G 2 es un isomorfismo de grupos entonces f 1 : G 2 G 1 también lo es. iii Si f: G 1 G 2 y g: G 2 G 3 son isomorfismos de grupos entonces g f: G 1 G 3 también lo es 24 Corolario: La relación = de isomorfía de grupos es una relación de equivalencia Desde el punto de vista práctico, la relación = es la igualdad en cuanto a estructura de grupos hace referencia. 25 Proposición: Sea f: G 1 G 2 un homomorfismo de grupos. Sean A 1 subgrupo de G 1 y A 2 subgrupo de G 2, entonces i f(1) = 1. ii f(a 1 ) = (f(a)) 1. iii f(a 1 ) es un subgrupo de G 2. iv f 1 (A 2 ) es un subgrupo de G 1. (i) y (ii) son obvias. (iv) queda como ejercicio. iii Como A 1. Sean x, y f(a 1 ). Entonces existen a, b A 1, tales que f(a) = x, f(b) = y. Así que xy 1 = f(a).(f(b)) 1 = f(a).f(b 1 ) = f(a.b 1 ) f(a 1 ) porque ab 1 A 1 26 Teorema: Sea f: G 1 G 2 un homomorfismo de grupos. Entonces i f: G 1 /Kerf G 2 dada por f ([x]) = f(x) es un (bien definido) homomorfismo.

10 x Apendice. ii f es 1 1 y iii G 1 /Kerf = Imf. (DNI) i Si [x] = [y] entonces x y Kerf. Luego f(x) = f(y), o sea que f([x]) = f([y]). Además f([x] + [y]) = f(x + y) = f(x) + f(y) = f([x]) + f([y]). ii f([x]) = 1 f(x) = 1 x Kerf 1 1. [x] = 1. Luego f es Las demás partes quedan como ejercicio 27 Corolario: Sea f: G 1 G 2 un epimorfismo. Entonces G 1 /Kerf = G 2 28 Proposición: Sea A i, i = 1, 2,..., n una familia finita de grupos abelianos. Entonces A 1 A 2 A n es un grupo abeliano para la suma dada por (a 1, a 2,..., a n ) + (b 1, b 2,..., b n ) = (a 1 + b 1, a 2 + b 2,..., a n + b n ) es decir suma coordenada a coordenada. Veamos la propiedad asociativa. Suponga x = (a 1, a 2,..., a n ); y = (b 1, b 2,..., b n ) y z = (c 1, c 2,..., c n ). Entonces (x + y) + z = ( (a 1, a 2,..., a n ) + (b 1, b 2,..., b n ) ) + (c 1, c 2,..., c n ) = (a 1 + b 1, a 2 + b 2,..., a n + b n ) + (c 1, c 2,..., c n ) = ( (a 1 + b 1 ) + c 1, (a 2 + b 2 ) + c 2,..., (a n + b n ) + c n ). Ahora bien (a i +b i )+c i es un cálculo en A i cuya operación es asociativa por tanto igual a a i + (b i + c i ) y entonces (x + y) + z = ( a 1 + (b 1 + c 1 ), a 2 + (b 2 + c 2 ),..., a n + (b n + c n ) ).

11 Apendice. xi Similarmente x + (y + z) = (a 1, a 2,..., a n ) + ((b 1, b 2,..., b n ) + (c 1, c 2,..., c n )) = (a 1, a 2,..., a n ) + ( b 1 + c 1, b 2 + c 2,..., b n + c n ) = ( a 1 + (b 1 + c 1 ), a 2 + (b 2 + c 2 ),..., a n + (b n + c n ) ). Se tiene pues que (x + y) + z = x + (y + z). En cuanto a la propiedad modulativa el lector verificará que (0, 0,..., 0) es el módulo de la suma coordenada a coordenada y además que (a 1, a 2,..., a n ) = ( a 1, a 2,..., a n ). La propiedad invertiva se tiene entonces y en cuanto a la propiedad conmutativa es similar en su demostración a la asociativa y se le deja al lector 29 Definición: Sea A un conjunto con una operación +. Decimos que A con + (se denota (A, +)) es un grupo abeliano, si + es asociativa, modulativa, invertiva y conmutativa Las propiedades básicas que se desprenden de esta definición se dan a continuación y su demostración se deja como ejercicio. 30 Proposición: Sea (A, +) un grupo abeliano, entonces: i. El módulo es único. ii. Cumple la ley cancelativa. a + b = b + c a = b. iii. El inverso de un elemento es único. iv. 0 = 0. v. (a + b) = ( a) + ( b). vi. ( a) = a. vii. La ecuación x + a = b tiene una y sólo una solución. (de (iii) las demás quedan como ejercicio)

12 xii Apendice. Si a A, sean b y c en A tales que a + b = 0 = b + a a + c = 0 = c + a Así pues a + c = 0 = a + b y (cancelando a) b = c En este caso de grupo abeliano se tiene: es una relacion de equivalencia compatible con la operacion (que en el caso abeliano se denota +) entonces existe un subgrupo H de A tal que: h n y x y A El H no es otro que [0] en A/ y se tiene que A/ = {a + H a A} con (a + H) + (b + H) = (a + b) + H y (a + H) = b + H b a H