Tema 2: El grupo de las permutaciones

Transcripción

1 Tema 2: El grupo de las permutaciones Miguel Ángel Olalla Acosta Departamento de Álgebra Universidad de Sevilla Octubre de 2014 Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: El grupo de las permutaciones Octubre de / 46

2 Contenido 1 Introducción 2 Propiedades. El grupo de las permutaciones 3 Ciclos y trasposiciones. El grupo S n 4 Subgrupos de S n Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: El grupo de las permutaciones Octubre de / 46

3 Introducción Permutaciones de un conjunto Figura: Tras separar por segunda vez. ( ) Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: El grupo de las permutaciones Octubre de / 46

4 Introducción Permutaciones de un conjunto Definición (Permutación de un conjunto) Sea X un conjunto, se llama permutación de X a cualquier aplicación biyectiva σ : X X. Notación El conjunto de todas las permutaciones de un conjunto X se denomina grupo simétrico de X y se denota por Sim(X ). Veremos enseguida la razón de llamar grupo a este conjunto. Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: El grupo de las permutaciones Octubre de / 46

5 Propiedades. El grupo de las permutaciones Propiedades Proposición Sea X un conjunto, se verifican las siguientes propiedades: 1 La composición de dos permutaciones cualesquiera de X es también una permutación de X. 2 La aplicación identidad en X es una permutación de X. 3 La inversa de cualquier permutación de X es también una permutación de X. 4 La composición de permutaciones verifica la propiedad asociativa. Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: El grupo de las permutaciones Octubre de / 46

6 Propiedades. El grupo de las permutaciones Grupos Definición (Grupo) Un grupo es un par (G, ), donde G es un conjunto y es una operación interna y binaria sobre G verificando las siguentes propiedades: 1 La operación es asociativa. 2 La operación tiene elemento neutro. Es decir, e G tal que x G, x e = e x = x. 3 Cada elemento de G posee un simétrico. Es decir, x G x G tal que x x = x x = e. Si además la operación es conmutativa entonces se dice que el grupo es abeliano o conmutativo. Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: El grupo de las permutaciones Octubre de / 46

7 Propiedades. El grupo de las permutaciones Grupos Ejemplo Algunos grupos bien conocidos 1 Z, Q, R y C son grupos abelianos con la suma. 2 Q = Q \ {0}, R = R \ {0} y C = C \ {0} son grupos abelianos con la multiplicación. 3 El conjunto de las matrices n n, con elementos en un cuerpo k y determinante no nulo, GL(n, k), es un grupo (no abeliano si n 2) con la multiplicación de matrices. Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: El grupo de las permutaciones Octubre de / 46

8 Propiedades. El grupo de las permutaciones El grupo simétrico Teorema (El grupo simétrico) El conjunto Sim(X ) de las permutaciones de un conjunto X, junto con la composición de permutaciones, es un grupo. Además, si X tiene al menos tres elementos el grupo no es conmutativo. Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: El grupo de las permutaciones Octubre de / 46

9 Ciclos y trasposiciones Soporte Definición Sean X un conjunto y σ una permutación de Sim(X ). Llamamos soporte de σ al conjunto sop(σ) = {x X σ(x) x}. Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: El grupo de las permutaciones Octubre de / 46

10 Ciclos y trasposiciones Ciclos y trasposiciones Definición (Ciclos y trasposiciones) Se dice que una permutación σ de un conjunto X es un ciclo de longitud r o r-ciclo si es la identidad o si su soporte es un conjunto finito de r > 0 elementos sop(σ) = {i 1, i 2,..., i r } donde σ(i 1 ) = i 2, σ(i 2 ) = i 3,..., σ(i r 1 ) = i r y σ(i r ) = i 1. Decimos que σ Sim(X ) es una trasposición si es un ciclo de longitud 2. Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: El grupo de las permutaciones Octubre de / 46

11 Ciclos y trasposiciones Notación Notación En este caso el ciclo de escribirá σ = (i 1 i 2... i r ), sabiendo que si x X no aparece en la lista entonces σ(x) = x. Siguiendo esta notación podemos escribir el ciclo identidad como 1 X = (). Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: El grupo de las permutaciones Octubre de / 46

12 Ciclos y trasposiciones Notación Observación Obsérvese que con esta notación tenemos diferentes representaciones de un mismo ciclo: σ = (i 1 i 2... i r ) = (i 2 i 3... i r i 1 ) = = (i r i 1... i r 1 ). Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: El grupo de las permutaciones Octubre de / 46

13 Ciclos y trasposiciones Ejemplos Ejemplo Veamos algunos ejemplos: 1 La permutación del conjunto {1, 2, 3, 4, 5} definida por σ : ( ) es el 3-ciclo (1 2 5). 2 La permutación del conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} definida por σ : ( ) no es un ciclo. Sin embargo τ = (1 6 2) (3 5 7) (4 8) es composición de ciclos. Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: El grupo de las permutaciones Octubre de / 46

14 Ciclos y trasposiciones Permutaciones disjuntas Definición (Permutaciones disjuntas) Dos permutaciones σ, τ Sim(X ) se dicen disjuntas si sus soportes son disjuntos. Teorema (Permutaciones disjuntas y conmutatividad) Si σ, τ Sim(X ) son permutaciones disjuntas entonces τσ = στ. Notación En adelante omitiremos el símbolo para la composición de permutaciones, escribiremos τσ en lugar de τ σ. Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: El grupo de las permutaciones Octubre de / 46

15 Ciclos y trasposiciones Ejemplo Hay permutaciones no disjuntas que sí conmutan. Ejemplo Sea X = {1, 2, 3, 4, 5} y sean las permutaciones de Sim(X ) ( ) ( σ : y τ : Ambas permutaciones no son disjuntas, pues sop(σ) sop(τ) = {1, 3, 5}. Sin embargo, no es difícil comprobar que ( ) τσ = στ : ). Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: El grupo de las permutaciones Octubre de / 46

16 Ciclos y trasposiciones Orden de un elemento Definición (Orden de un elemento de un grupo) Sea (G, ) un grupo. Diremos que un elemento x G tiene orden finito si existen dos enteros distintos r y s tales que x r = x s. En caso contrario, es decir, si todas las potencias de x son distintas, se dirá que x tiene orden infinito. Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: El grupo de las permutaciones Octubre de / 46

17 Ciclos y trasposiciones Orden de un elemento Observación Si x G tiene orden finito existen dos enteros r y s tales que x r = x s, luego x r s = e. Definición (Orden finito de un elemento) Sea (G, ) un grupo. Diremos que un elemento x G de orden finito tiene orden m, y lo escribiremos o(x) = m si m es el menor entero positivo tal que x m = e. Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: El grupo de las permutaciones Octubre de / 46

18 Ciclos y trasposiciones Orden de un elemento Proposición Sean G un grupo y x G. Se tienen las siguientes propiedades: 1 o(x) = 1 x = e. 2 Si x G tiene orden finito, entonces x también y o(x) = o(x ). 3 Si x G tiene orden infinito, x tiene orden infinito. 4 Si G es finito, todo elemento de G tiene orden finito. 5 Si o(x) = m y x n = e, entonces m es un divisor de n. Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: El grupo de las permutaciones Octubre de / 46

19 Ciclos y trasposiciones Orden de un ciclo Proposición (Orden de un ciclo) El orden de un ciclo de longitud m 1 es m. Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: El grupo de las permutaciones Octubre de / 46

20 Ciclos y trasposiciones Descomposición en ciclos disjuntos Teorema (Expresión en ciclos disjuntos) Toda permutación con soporte finito puede expresarse como producto de ciclos disjuntos, además esta descomposición es única salvo el orden de los ciclos. Corolario Sea X un conjunto con al menos dos elementos. Toda permutación de Sim(X ) con soporte finito puede expresarse como producto de trasposiciones. Corolario Toda permutación con soporte finito tiene orden finito. Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: El grupo de las permutaciones Octubre de / 46

21 El grupo S n Orden de un grupo Definición (Orden de un grupo) Sea (G, ) un grupo. Definimos su orden, que notaremos por G, como el cardinal del conjunto G. Notación Sea el conjunto X = {1, 2,..., n}, en este caso notaremos al conjunto de las permutaciones de n elementos por S n. Teorema (Orden de S n ) El orden del grupo S n es S n = n!. Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: El grupo de las permutaciones Octubre de / 46

22 El grupo S n Descomposición en ciclos disjuntos Teorema (Descomposición en ciclos disjuntos y trasposiciones) Toda permutación de S n se descompone de manera única, salvo orden, como producto conmutativo de ciclos disjuntos. Además toda permutación de S n se puede expresar como producto de trasposiciones, esta vez no de manera única. Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: El grupo de las permutaciones Octubre de / 46

23 Explicación del juego inicial Separar La separación de cartas es la permutación ( σ : Que es σ = ( ) un ciclo de longitud 9. Separar dos veces seguidas es σ 2 = ( ). ). Y separar tres veces σ 3 = (147)(258)(369). Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: El grupo de las permutaciones Octubre de / 46

24 Explicación del juego inicial Cortar Cortar una carta es la permutación ( κ: Que en forma de ciclo es κ = ( ). Cortar dos cartas es igual a cortar una carta y luego otra, es decir, Y cortar varias cartas es: κ 2 = ( ). ). κ 3 = (174)(285)(396), κ 4 = ( ), κ 5 = ( ), κ 6 = (147)(258)(369), κ 7 = ( ), κ 8 = ( ) y κ 9 = (). Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: El grupo de las permutaciones Octubre de / 46

25 Explicación del juego inicial Primer hechizo mágico Separar tres veces seguidas es igual a cortar seis cartas. σ 3 = κ 6. Es aquí donde sí tiene influencia relativa el hecho de poder decidir qué montón ponemos encima del otro. En cualquier caso, hagamos la elección que hagamos, separar tres veces es igual a cortar varias cartas. Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: El grupo de las permutaciones Octubre de / 46

26 Explicación del juego inicial Segundo hechizo mágico Cortar y separar no es lo mismo que separar y cortar: σκ = (285)(369), κσ = (174)(258). Si embargo, cortar cuatro cartas y separar es lo mismo que separar y después cortar una carta: σκ 4 = ( )( ) = (174)(258) = κσ. Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: El grupo de las permutaciones Octubre de / 46

27 Explicación del juego inicial Separar y cortar... cortar y separar Por lo tanto tenemos ciertas reglas que nos permiten cambiar de posición separar y cortar. En efecto: κ 2 σ = κ(κσ) = κσκ 4 = (κσ)κ 4 = σκ 4 κ 4 = σκ 8. κ 3 σ = κ(κ 2 σ) = κσκ 8 = (κσ)κ 8 = σκ 4 κ 8 = σκ 3. κ 4 σ = κ(κ 3 σ) = κσκ 3 = (κσ)κ 3 = σκ 4 κ 3 = σκ 7. κ 5 σ = = σκ 2. κ 6 σ = = σκ 6. κ 7 σ = = σκ. κ 8 σ = = σκ 5. Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: El grupo de las permutaciones Octubre de / 46

28 Explicación del juego inicial Explicación del juego (κ r σ)(κ q σ)(κ p σ) = (σκ r )(σκ q )(σκ p ) = σ(κ r σ)(κ q σ)κ p = = σ(σκ r )(σκ q )κ p = σ 2 (κ r σ)κ q +p = σ 2 (σκ r )κ q +p = = σ 3 κ r +q +p = κ 6 κ r +q +p = κ 6+r +q +p. Por tanto, después de realizar el juego lo que nos queda es un simple corte. Al mirar la primera carta sabemos cuántas cartas tenemos que cortar para dejar nuestras nueve cartas ordenadas como al principio. Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: El grupo de las permutaciones Octubre de / 46

29 Permutaciones pares e impares Inversiones en una permutación Definición (Inversiones en una permutación) Se dice que σ S n tiene una inversión si para algún par de elementos i < j se tiene que σ(i) > σ(j). Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: El grupo de las permutaciones Octubre de / 46

30 Permutaciones pares e impares Signo de una permutación Consideremos el polinomio f (x 1,..., x n ) = n (x i x j ). Si σ S n, entonces σ(f ) = σ(f (x 1, x 2,..., x n )) = f (x σ(1), x σ(2),..., x σ(n) ). i,j=1 i<j Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: El grupo de las permutaciones Octubre de / 46

31 Permutaciones pares e impares Signo de una permutación Definición (Signo de una permutación) Llamamos signo de la permutación σ al valor signo(σ) = σ(f ). f La función signo(σ) toma valores 1 o 1 según si el número de inversiones de σ es par o impar. Diremos que σ es una permutación par si signo(σ) = 1 y una permutación impar si signo(σ) = 1. Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: El grupo de las permutaciones Octubre de / 46

32 Permutaciones pares e impares Contando inversiones Ejemplo Es la permutación par o impar? σ : ( ) Hay 11 cruzamientos, luego signo(σ) = 1 y σ es una permutación impar. Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: El grupo de las permutaciones Octubre de / 46

33 Permutaciones pares e impares Signo de una trasposición Proposición Las trasposiciones son siempre impares. Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: El grupo de las permutaciones Octubre de / 46

34 Permutaciones pares e impares Propiedades de signo Proposición Sean σ, τ S n. Se satisfacen las siguientes propiedades: 1 signo(στ) = signo(σ) signo(τ). 2 signo(σ 1 ) = signo(σ). Corolario Una permutación σ S n es par (impar) si y sólo si es producto de un número par (impar) de trasposiciones. Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: El grupo de las permutaciones Octubre de / 46

35 Permutaciones pares e impares Fórmula de Cauchy Teorema (Fórmula de Cauchy) Sea σ S n el producto de c ciclos disjuntos entonces signo(σ) = ( 1) m c, siendo m = #(sop(σ)) el número de elementos del soporte de σ. Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: El grupo de las permutaciones Octubre de / 46

36 Subgrupos de S n Subgrupo Definición (Subgrupo) Sea (G, ) un grupo. Un subconjunto H de G se dice que es un subgrupo de (G, ) si (H, ) es un grupo. Es decir, que efectivamente un subgrupo es un grupo dentro de otro grupo con la misma operación. Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: El grupo de las permutaciones Octubre de / 46

37 Subgrupos de S n Ejemplos Ejemplo Vimos que los conjuntos de números Z, Q, R y C son grupos abelianos con la suma. De hecho es una cadena de subgrupos Z Q R C. Lo mismo ocurre con los grupos Q = Q \ {0}, R = R \ {0} y C = C \ {0} con la multiplicación. Es también una cadena de subgrupos Q R C. Sabemos que GL(n, k), el conjunto de las matrices invertibles n n con elementos en un cuerpo k, es un grupo con la multiplicación de matrices. Sea U el subconjunto de GL(n, k) formado por las matrices con determinante igual a 1. Comprobemos que U es un subgrupo de GL(n, k). Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: El grupo de las permutaciones Octubre de / 46

38 Subgrupos de S n Ejemplos Ejemplo El subconjunto de S 4, C = {(), (1234), (13)(24), (1432)}, es un subgrupo con la composición de permutaciones. Veamos la tabla de multiplicar de los elementos de C: () (1234) (13)(24) (1432) () () (1234) (13)(24) (1432) (1234) (1234) (13)(24) (1432) () (13)(24) (13)(24) (1432) () (1234) (1432) (1432) () (1234) (13)(24) Se da así la circunstancia de que un subgrupo de un grupo no conmutativo, como S 4, puede ser conmutativo. Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: El grupo de las permutaciones Octubre de / 46

39 Subgrupos de S n Subgrupos Observación Si G es un grupo y H G es finito, para comprobar que es subgrupo es suficiente hacer la tabla de multiplicar y razonar como en el ejemplo anterior. Si H es infinito hay que demostrar que la operación es interna entre elementos de H, que el elemento neutro pertenece a H y que el simétrico de cada elemento de H está también en H. En cualquier caso, la propiedad asociativa se hereda de G. Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: El grupo de las permutaciones Octubre de / 46

40 Subgrupos de S n Subgrupos El siguiente resultado nos permite ahorrarnos verificar alguna propiedad a la hora de demostrar que un subconjunto es subgrupo. Proposición Sean (G, ) un grupo y H G un subconjunto. Las condiciones siguientes son equivalentes: 1 H es un subgrupo de (G, ). 2 H es no vacío y se satisface la siguiente propiedad x, y H, x y H. Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: El grupo de las permutaciones Octubre de / 46

41 Subgrupos de S n El grupo alternado Teorema (El grupo alternado A n ) El conjunto A n de las permutaciones pares de S n es un subgrupo llamado grupo alternado. Proposición Sea H S n un subgrupo que tiene alguna permutación impar, entonces H posee tantas permutaciones pares como impares. Corolario Si n 2, el número de elementos de A n es A n = n!/2, es decir, hay tantas permutaciones pares como impares. Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: El grupo de las permutaciones Octubre de / 46

42 Subgrupos de S n Subgrupo generado Teorema (Subgrupo generado) Sean (G, ) un grupo y A G un subconjunto no vacío. Sea A = {x G x A} el conjunto de los elementos simétricos a los de A. Entonces el conjunto que se obtiene al operar sucesiones arbitrarias de elementos de A y A, A = {x 1 x n x i A A, n 1}, es un subgrupo de G llamado subgrupo generado por A. Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: El grupo de las permutaciones Octubre de / 46

43 Subgrupos de S n Subgrupo generado Ejemplo En el grupo S 4 calcular todos los elementos del subgrupo H = (124), (12). Hay que ir operando los elementos (123), (12) y sus inversos, adjuntando a la lista los nuevos elementos que se obtengan. () (124) (142) (12) (14) (24) () () (124) (142) (12) (14) (24) (124) (124) (142) () (14) (24) (12) (142) (142) () (124) (24) (12) (14) (12) (12) (24) (14) () (142) (124) (14) (14) (12) (24) (124) () (142) (24) (24) (14) (12) (142) (124) () En este caso H = {(), (124), (142), (12), (14), (24)}. Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: El grupo de las permutaciones Octubre de / 46

44 Subgrupos de S n Grupo cíclico Definición (Grupo cíclico) Se dice que un grupo G es cíclico si existe a G tal que G = a = {a} = {a m m Z}. Ejemplo El grupo S 3 no es cíclico, pues no existe ninguna permutación que genere todo el grupo. El grupo alternado A 3 = {(), (123), (132)} es cíclico, pues A 3 = (123) = (132). De hecho, para comprobar si un grupo finito de orden m es o no cíclico, hay que verificar si existe o no en el grupo algún elemento de orden m. En S 3 no hay elementos de orden 6 mientras que en A 3 hay un par de elementos de orden 3, Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: El grupo de las permutaciones Octubre de / 46

45 Subgrupos de S n El teorema de Lagrange Una relación de equivalencia Definición Sean G un grupo y H G un subgrupo. Sobre G definimos la relación H de la manera siguiente: Dados x, y G, x H y x y H. Proposición En las condiciones de la definición anterior, las relación H es de equivalencia. Proposición Sean G un grupo y x G. El conjunto x H = {x h h H} es la clase de equivalencia de x para la relación H. Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: El grupo de las permutaciones Octubre de / 46

46 Subgrupos de S n El teorema de Lagrange Teorema de Lagrange Teorema (Teorema de Lagrange) Sea G un grupo finito, H G un subgrupo. Entonces H divide a G. Corolario Sea G un grupo finito y sea x G, entonces el orden de x divide al orden de G. Corolario Si G es un grupo de orden un número primo, entonces G es cíclico. Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: El grupo de las permutaciones Octubre de / 46