Convergencia de sucesiones

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1 TEMA 4. CONVERGENCIA DE SUCESIONES 65 Tema 4. Convergencia de sucesiones Definición Sea X un conjunto: una sucesión en X es una aplicación s : N X; denotaremos x n := s(n) y por S := {x n } n N la sucesión. En algunas ocasiones nos referiremos a S como un conjunto, en tal caso estamos identificando S con la imagen de s en X, es decir, s(n) = {x n n N}. Si X es además un espacio topológico podemos definir la idea de que una sucesión {x n } n N se acerca a un punto x X. Definición Sea (X, T ) e.t. y S := {x n } n N una sucesión en X. Diremos que x es límite de S (o que S converge a x, en notación x n x) si V entorno de x en X existe n 0 N tal que n n 0 se tiene x n V. Al conjunto de puntos límite de S denotaremos por Lím (X,T ) S. Diremos que x es un punto de aglomeración de S si V entorno de x en X y n 0 N existe n n 0 tal que x n V. Al conjunto de puntos de aglomeración de S denotaremos por Agl (X,T ) S. Observación Observa que en las definiciones de límite y punto de aglomeración podemos cambiar la palabra entorno por abierto que contenga a x. En particular: x Lím (X,T ) S U abierto en X tal que x U, n 0 N tal que n n 0 se tiene x n U. x Agl (X,T ) S U T t.q. x U y n 0 N n n 0 t.q. x n U. Observación Con los mismos criterios que en la Observación 5.4.3, podemos sustituir entorno o entorno abierto por entorno básico una vez fijada una base de entornos del punto candidato a ser límite o punto de aglomeración. Ejercicio 5.5. Demuestra que si x es un punto de aglomeración de la sucesión {x n } n N, entonces x es un punto adherente del conjunto {x n n N}. Observa que el recíproco no es cierto. Por ejemplo, todo punto de {x n n N} es adherente, y no necesariamente de aglomeración. Ejercicio 5.6. Sea x n := 1 n una sucesión en el espacio topológico (R, T ). Demuestra que x n x si y sólo si x 0. Es decir, el límite de una sucesión convergente en un espacio topológico no tiene porqué ser único. Demuestra en cambio que el límite de sucesiones convergentes en espacios métricos sí es único. (Por lo tanto (R, T ) no es un espacio metrizable).

2 66 5. AXIOMAS DE NUMERABILIDAD Y CONVERGENCIA DE SUCESIONES Notación Si S es una sucesión en el espacio topológico (X, T ) denotaremos por Lím (X,T ) S al conjunto de puntos límite de S en (X, T ) y por Agl (X,T ) S a su conjunto de puntos de aglomeración (como es costumbre, omitiremos la referencia a T si no hay lugar a confusión). Definiciones Sea S := {x n } n N un sucesión en X. 1. Sea {k n } n N una sucesión estrictamente creciente de números naturales; entonces diremos que la sucesión {x kn } n N es una subsucesión de {x n } n N. 2. Una subsucesión S t de S es truncada si es de la forma S t = {x n+n0 } n N para cierto n Dos sucesiones son asintóticas si poseen subsucesiones truncadas comunes. 4. Diremos que una sucesión es constante si la aplicación es constante. Diremos que es casiconstante si es asintótica a una constante. Observaciones Es claro que en cualquier espacio topológico, una sucesión casiconstante converge a la constante. 2. Otra manera de decir que x X es límite de la sucesión S X es que todo entorno de x contiene una subsucesión truncada de S. 3. Si S t y S t son dos subsucesiones truncadas de una sucesión S dada entonces, o bien S t S t, o bien S t S t : en cualquier caso S t S t. 4. Como hemos visto en el Ejercicio 5.6, los límites de sucesiones no tienen porqué ser únicos. Si repasamos la demostración de la segunda parte del Ejercicio 5.6 (que el límite de sucesiones convergentes en espaciosmétricos sí es único) observaremos que la única propiedad que hemos utilizado de un espacio métrico es que dados dos puntos distintos x, y existen B x y B y entornos disjuntos de x e y respectivamente. Los espacios que cumplen esta propiedad se denominan espacios Hausdorff. Propiedades (Sucesiones). Sea S := {x n } n N una sucesión de X y sea x X. (1) Sea S subsucesión de S, entonces Lím X S Lím X S Agl X S. (2) Sea S t subsucesión truncada de S, entonces Lím X S t = Lím X S. (3) Sea S a una sucesión asintótica a S, entonces Lím X S a = Lím X S. (4) Si S A X entonces Lím X S Agl X S A

3 TEMA 4. CONVERGENCIA DE SUCESIONES 67 (5) Sea Y otro espacio topológico y sea f : X Y continua, entonces f(lím X S) Lím Y f(s), es decir, si x n x entonces f(x n ) f(x). Lo mismo ocurre para Agl X S. (6) El límite de sucesiones convergentes en espacios topológicos Hausdorff es único. (7) Agl X = m N S m, donde S m := {x n m n}. Notación En el caso de sucesiones convergentes {x n } n N con límite único x, denotaremos este como lím n x n. Ejercicio 5.7. Sea X un conjunto infinito no numerable. Consideremos en él las topologías (X, T cn ) (topología conumerable) y (X, T d ) (topología discreta). Demuestra que sólo las sucesiones casiconstantes en X tienen límite, con lo cual se cumple la tesis de Propiedad 5.4.8(6) aunque la topología conumerable (X, T cn ) no es Hausdorff. Demuestra también que la aplicación identidad i : (X, T cn ) (X, T d ) no es continua pero que se satisface la tesis de Propiedad 5.4.8(5). Por lo tanto el recíproco de ambas propiedades no es cierto. Parece que la experiencia de sucesiones en R nos dice que si una sucesión es convergente, entonces no tiene otros puntos de aglomeración que no sean puntos límite. Veremos que esto no es cierto en general, pero sí lo es en el caso de espacios Hausdorff. Ejercicio 5.8. Sea (X, T ) un e.t. Hausdorff y sea S X una sucesión convergente. Demuestra que Agl (X,T ) S = Lím (X,T ) S y por tanto, toda subsucesión convergente de S tiene el mismo límite que S. En cambio esto no es cierto en general. Sea (R 0, T 0, ) e.t. donde T 0, := {(a, + ) a 0} {, R 0 } es decir, T 0, = T R 0 (Ejemplo 2.1.2(4)). Consideremos la sucesión S := {1 + ( 1) n } n N. Demuestra que S tiene límite único, pero en cambio Agl S Lím S. Obsérvese que puede ocurrir que S sea una sucesión convergente, pero que una subsucesión suya no converja al límite. Por ejemplo, con la notación del Ejercicio 5.8, la sucesión S := {1 + ( 1) n } n N tiene por límite único al 0, pero la subsucesión constante S := {2} n N S converge a 2, que no es punto límite de S. En cambio, si el espacio es Hausdorff se tiene el siguiente resultado. Proposición Sea (X, T ) e.t. Hausdorff, sea S = {x n } n N una sucesión convergente x n x y sea S = {y n } n N S una subsucesión de S, entonces S es convergente y además y n x.

4 68 5. AXIOMAS DE NUMERABILIDAD Y CONVERGENCIA DE SUCESIONES En este contexto merece la pena introducir una definición referente a bases de entornos. Definición Diremos que B = {B n n N} es una base ordenada de entornos de x si es base de entornos de x y si B m B n siempre que n m. Las bases ordenadas de entornos tienen un uso muy común en análisis, donde se hace principalmente uso de estas dos observaciones. Observaciones (1) Si X es ian y x X; entonces x posee una base ordenada de entornos. (2) Si x X, B x := {B n n N} es una base ordenada de entornos y {x n } n N es una sucesión tal que x n B n, entonces x n x. Al comparar el concepto de convergencia de sucesiones en R y en un espacio topológico en general observamos que las diferencias más notables aparecen destacadas en los Ejercicio 5.9 y 5.7 y en otros que veremos más adelante. A continuación veremos que si el espacio topológico en cuestión es ian, entonces las Propiedades 5.4.8(4)-(6) a que estos Ejercicios hacen referencia, son equivalencias y por tanto permiten describir las propiedades topológicas de adherencia, aglomeración, continuidad y propiedad Hausdorff en términos de sucesiones y subsucesiones. Proposición Sea X e.t. ian, S = {x n } n N una sucesión de X y x un punto de X. Entonces se tiene que: (1) x Agl X S si y sólo si x Lím X S para cierta S subsucesión de S. (2) Si A X, entonces x A si y sólo si x Lím X S para cierta sucesión S A. (3) Si Y es un e.t. cualquiera y f : X Y una aplicación. Entonces f es continua si y sólo si para toda sucesión {x n } n N y x X tal que x n x se tiene f(x n ) f(x). (4) X es Hausdorff si y sólo si las sucesiones convergentes tienen límite único. Ejercicio 5.9. Considera el conjunto X = N N dotado de la siguiente topología T definida por entornos: Si (m, r) (1, 1), E (m,r) = {U X (m, r) U}, es decir los conjuntos unipuntuales {(m, r)} son abiertos. Si (m, r) = (1, 1) un conjunto U conteniendo (1, 1) es entorno si salvo para un número finito de enteros m, los conjuntos U m = {(m, r) U r N} son todo {m} N salvo un número finito. Considera la sucesión S = {x n } n N definida al numerar N N por antidiagonales. Es decir, x n := (m, M m) con ( ) ( M+1 2 n < M+2 ) ( 2 y m = n M+1 ) 2. Demuestra:

5 TEMA 4. CONVERGENCIA DE SUCESIONES 69 a) (1, 1) Agl X (S). b) (1, 1) no es límite de ninguna susbsucesión de S. Los ejemplos más importantes que tenemos de espacios ian son los espacios seudometrizables. Veamos cómo se interpreta la convergencia en estos casos. Proposición Sea (X, d) un espacio seudométrico y sea {x n } n N una sucesión. Entonces, x Lím x n lím n d(x, x n ) = 0.