Operaciones extendidas de conjuntos

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1 234 A. GENERALIDADES DE TEORÍA DE CONJUNTOS Tema 3. Operaciones extendidas de conjuntos En este tema extenderemos las operaciones de conjuntos anteriormente definidas a familias arbitrarias de conjuntos. Describiremos brevemente la notación utilizada en el caso general de familias arbitrarias de conjuntos. Definición A.3.1. Sea Λ un conjunto no vacío y supongamos que para cada λ Λ existe asociado un conjunto A λ. Entonces la colección F := {A λ λ Λ} = {A λ } λ Λ se llama familia de conjuntos parametrizada por Λ. Si Λ Λ decimos que F := {A λ λ Λ } = {A λ } λ Λ es una subfamilia de F. Definiciones A.3.2. Sea F := {A λ λ Λ} una familia de conjuntos parametrizada por Λ. 1. La unión de F es el conjunto F = {A λ λ Λ} = λ Λ A λ := {x λ Λ t.q. x A λ }. 2. La intersección de F es el conjunto F = {A λ λ Λ} = λ Λ A λ := {x λ Λ t.q. x A λ }. 3. La unión disjunta de F es el conjunto F = {Aλ λ Λ} = A λ := {(λ, x) x A λ λ Λ}. λ Λ 4. El producto cartesiano de F es el conjunto F = {Aλ λ Λ} = A λ λ Λ, f(λ) A λ }. λ Λ A λ = {Λ f λ Λ Si f F, denotaremos por x λ al elemento f(λ), y por (x λ ) λ Λ a la propia aplicación f (donde x λ es la coordenada en λ de f). Si X λ = X, λ Λ, entonces denotaremos el producto cartesiano como X Λ. Si además Λ = {1,..., n}, lo denotaremos X n. Ejercicio A.15. Sea F = {A λ λ Λ} familia de conjuntos, las siguientes son sencillas consecuencias de las definiciones anteriores. 1. A λ F para cualquier λ Λ, y por tanto si G F, entonces G F. 2. F A λ para cualquier λ Λ, y por tanto si G F, entonces F G. 3. Si A A λ λ Λ, entonces A F, 4. Si A λ A λ Λ, entonces F A.

2 TEMA 3. OPERACIONES EXTENDIDAS DE CONJUNTOS 235 Propiedades A.3.3 (Operaciones extendidas de conjuntos). Sean F = {A λ λ Λ 1 } y G = {B λ λ Λ 2 } familias de conjuntos parametrizadas por Λ 1 y Λ 2 respectivamente y sea F (resp. G ) subfamilia de F (resp. G). Sea f : F G aplicación y X un conjunto, entonces: 1. X ( F) = λ {X A λ}. 2. X ( F) = λ {X A λ}. 3. X ( F) = λ {X A λ}. 4. X ( F) = λ {X A λ}. 5. ( F) c = λ Ac λ, ( F)c = λ Ac λ. 6. f( F ) = λ Λ {f(a λ )}. 7. f( F ) λ Λ {f(a λ )}. 8. f 1 ( G ) = λ Λ {f 1 (B λ )}. 9. f 1 ( G ) = λ Λ {f 1 (B λ )}. 10. ( F) ( G) = (λ 1,λ 2 ) Λ 1 Λ 2 (A λ1 B λ2 ). 11. Si Λ 1 = Λ 2 = Λ, entonces λ Λ (A λ B λ ) = ( F) ( G). La demostración de estas propiedades se omite ya que es similar a las de otras ya realizadas o propuestas. Para terminar este capítulo, veamos una nueva operación de conjuntos denominada cociente. Para poder definirla necesitamos un par de definiciones. Definición A.3.4. Sea X un conjunto. Una relación de equivalencia en X es un subconjunto R X X del producto cartesiano de X por sí mismo que cumple las siguientes propiedades: Reflexiva: (x, x) R x X. Simétrica: Si (x, y) R entonces (y, x) R. Transitiva: Si (x, y) R e (y, z) R entonces (x, z) R. En tal caso si (x, y) R decimos que x está relacionado con y y lo denotamos por xry, x R y o simplemente x y. Si x X denominamos clase de equivalencia de x al conjunto [x] := {y X xry}. Observación A.3.5. Si xry vamos a ver que [x] = [y]. Si z [x], entonces xrz (por definición). Por otra parte, como xry sabemos que yrx (propiedad simétrica). Así pues yrx y xrz lo que implica que yrz (propiedad transitiva) es decir, z [y]. Análogamente (cambiando la x por la y en el razonamiento anterior) se tiene que [y] [x] y por tanto [x] = [y].

3 236 A. GENERALIDADES DE TEORÍA DE CONJUNTOS Ejercicio A.16. Sea X un conjunto y R una relación de equivalencia en X. Demuestra que el conjunto de clases de equivalencia X/R := {[x] x X} es una partición de X, es decir, [x] = X. [x] X/R Definición A.3.6. Si X es un conjunto y R una clase de equivalencia, existe una aplicación natural π : X X/R x π(x) := [x] que asocia a cada elemento su clase de equivalencia. A esta aplicación se la denomina proyección cociente. Ejemplo A.3.7. Vamos a interpretar el conjunto Q de números racionales a partir de una relación de equivalencia en Z (Z\{0}) a cuyos elementos llamaremos fracciones; cada número racional a admite varias fracciones por lo que lo podemos b ver como una clase de equivalencia por la relación de equivalencia: Sean (a, b), (c, d) Z (Z \ {0}), entonces (a, b) (c, d) si ad = cb. De este modo (a, b) (c, d) equivale a lo que entendemos en la igualdad a b = c d. No solo funciona bien esta interpretación para igualdad de fracciones, podemos definir incluso la suma y el producto de pares: (a, b) + (c, d) = (ad + cb, bd), (a, b) (c, d) = (ac, bd). Estas fórmulas cumplen que si (a, b) (a, b ) y (c, d) (c, d ) entonces (a, b) + (c, d) (a, b ) + (c, d ), (a, b) (c, d) (a, b ) (c, d ). Las clases de equivalencia contienen un elemento especial que se llama fracción irreducible. Una fracción irreducible es un par (a, b) Z (Z \ {0}) tal que b > 0 y a y b son primos entre sí, es decir, si a = ka y b = kb con k > 0 entonces k = 1. Se puede comprobar que todo par (a, b) Z (Z \ {0}) tiene una única fracción irreducible en su clase de equivalencia. Trabajar con el conjunto de fracciones irreducibles es más sencillo que con Z (Z \ {0}). Este concepto de fracción irreducible nos permite introducir el concepto de sistema transversal. Definición A.3.8. Decimos que D X es un sistema transversal para la relación de equivalencia R si para cualquier elemento x X existe un único d x D tal que xrd x.

4 TEMA 3. OPERACIONES EXTENDIDAS DE CONJUNTOS 237 Por lo tanto el conjunto de fracciones irreducibles es un sistema transversal del conjunto de las fracciones. Observación A.3.9. El motivo por el que un sistema transversal es algo muy útil es que si D X es sistema transversal para la relación de equivalencia R entonces la restricción de la proyección π : X X/R x [x] a D es una biyección. Es claro que π D es inyectiva ya que si d 1, d 2 D fueran distintos y cumplieran que π(d 1 ) = [d 1 ] = [d 2 ] = π(d 2 ) entonces la clase [d 1 ] = [d 2 ] tendría dos representantes en D lo cual no es posible ya que D es sistema transversal. Para ver que π D es sobreyectiva basta ver que, por ser D sistema transversal, toda clase [x] X/R tiene un representante en D, es decir, existe d D tal que [d] = π(d) = [x]. Ejemplo A Consideremos R el conjunto de los números reales y la relación de equivalencia x y x y Z. Es sencillo ver que esta es una relación de equivalencia ya que: 1. Se tiene x x (puesto que x x = 0 Z). 2. Si x y entonces x y Z, es decir, si n = x y se tiene que y x = n Z y así y x. 3. Si x y e y z entonces n = x y Z y m = y z Z, por lo tanto x z = (x y) + (y z) = n + m Z, luego x z. La clase de equivalencia de x es el conjunto [x] = {x + n n Z}. Un sistema transversal está formado por el intervalo [0, 1), así podemos pensar en el conjunto R/ como el intervalo [0, 1). Observación A.3.11 (El producto cartesiano y el Axioma de elección). En la Definición A.3.2(4) hemos descrito el conjunto producto cartesiano de una familia arbitraria de conjuntos F parametrizada por un conjunto Λ. Es claro que si algún miembro A λ de la familia F es vacío (A λ = ) entonces F = ya que para elegir un elemento de F es necesario elegir un elemento para cada A λ F. La pregunta que nos planteamos es si el recíproco es cierto, es decir, supongamos que todo miembro A λ de F es no vacío: Nos asegura esto que F? El problema no es trivial, dado que demostrar que F es equivalente a ser capaces de describir un elemento de este conjunto (recordemos que describir quiere decir de manera finita). En ciertos casos es obvio que esto se puede hacer, por ejemplo, si la familia F es finita, o bien, si los conjuntos A λ tienen alguna estructura especial que permita describir algún elemento (por ejemplo si todos los A λ son espacios vectoriales, un elemento de F puede ser elegir el elemento neutro de la suma para cada

5 238 A. GENERALIDADES DE TEORÍA DE CONJUNTOS A λ, es decir, la aplicación e : Λ F definida por e(λ) := 0 Aλ, o por ejemplo si todos los A λ son subconjuntos de N podemos describir un elemento de F tomando el mínimo de cada A λ, es decir, la aplicación e : Λ F definida por e(λ) := mín A λ ). En cambio, si los A λ son conjuntos arbitrarios, sin estructura aparente (es decir, de manera que los puntos de A λ sean de alguna forma indistinguibles), no queda muy claro cómo describir un elemento de F. Sería algo así como describir un método para elegir un grano de arroz de una cantidad infinita de bolsas de arroz (para una cantidad finita podemos simplemente coger el grano, pero para una cantidad infinita no tenemos manera de describir qué grano concreto queremos elegir). A la convicción de que esto se puede hacer, es decir, de que se puede describir un elemento en F para F arbitrario, se le denomina Axioma de elección (este axioma tiene muchos enunciados equivalentes y el siguiente es el que más se aproxima al contexto en el que lo vamos a utilizar en este curso). Axioma A.3.12 (Axioma de elección). Sea {A λ λ Λ} una familia de conjuntos parametrizada por Λ. Entonces: λ Λ A λ si y solo si A λ, λ Λ. A partir este momento, supondremos cierto el Axioma de elección. Observación A.3.13 (Conjuntos cocientes y Axioma de elección). Otra forma de entender las cuestiones que subyacen al Axioma de elección es considerar los conjuntos cocientes y los sistemas transversales. Sea X un conjunto y R una relación de equivalencia. El Axioma de elección indica que existe un sistema transversal para R, es decir, que podemos elegir exactamente un elemento de cada clase de equivalencia. En el Ejemplo A.3.10, hemos elegido el único elemento x de cada clase de equivalencia que cumple x = 0, donde x es el mayor entero menor o igual a x. Observemos que no es tan fácil obtener este sistema transversal si reemplazamos Z por Q. Un axioma equivalente al de Elección es el Lema de Zorn. Equivalente en este sentido quiere decir que si suponemos cierto uno podemos demostrar el otro y viceversa. A veces se dice simplemente que el Lema de Zorn es otra versión del Axioma de Elección. Como lo utilizaremos más adelante vamos a enunciarlo al menos una vez en el curso. Necesitamos para ello algunas definiciones. Definición A Sea X un conjunto. Una relación de orden en X es un subconjunto R X X del producto cartesiano de X por sí mismo que cumple las siguientes propiedades.

6 TEMA 3. OPERACIONES EXTENDIDAS DE CONJUNTOS 239 Reflexiva: (x, x) R x X. Antisimétrica: Si (x, y) R e (y, x) R, entonces y = x. Transitiva: Si (x, y) R e (y, z) R entonces (x, z) R. En tal caso se dice también que X es un conjunto ordenado. Si además R verifica que: [ x, y X(x y) se tiene que, o bien (x, y) R, o bien (y, x) R], entonces se dice que R es una relación de orden total, o que X es un conjunto totalmente ordenado. R A menudo se denota una relación de orden en X por (X, ) donde x R y (o simplemente x y) significa que (x, y) R. Obsérvese que si (X. ) es un conjunto ordenado y A X es un subconjunto de X, entonces (A, ) es un conjunto ordenado. Un subconjunto A X es una cadena, si (A, ) es un conjunto totalmente ordenado. Ejercicio A.17. Comprueba que (R, ) es una relación de orden total y que (P(X), ) (donde X es un conjunto cualquiera) es una relación de orden, pero no necesariamente total. Definición A Sea (X, ) un conjunto ordenado y A X, diremos que x X es una cota superior de A si a x a A. Análogamente, se dice que x X es una cota inferior de A si x a a A. Un elemento x A se dice elemento maximal de A si no existe a A (a x) tal que x a. Análogamente, un elemento x A se dice elemento minimal de A si no existe a A (a x) tal que a x. Axioma A.3.16 (Lema de Zorn). Sea X un conjunto ordenado. Si toda cadena de X tiene cota superior, entonces X tiene un elemento maximal.