INTRODUCCION AL ALGEBRA.

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1 INTRODUCCION AL ALGEBRA. 2- TEORIA DE CONJUNTOS. Apuntes de la Cátedra. Alberto Serritella. Colaboraron: Cristian Mascetti. Vanesa Bergonzi Edición Previa CECANA CECEJS CET Junín UNNOBA Universidad Nacional de Noroeste de la Pcia. de Bs. As. Para mensajes:

2 TEORIA DE CONJUNTOS: Un resumen. Concepto de Conjunto: Intuitivamente nuestra idea de conjunto es la de una " agrupación de cosas " o " algo que tiene elementos ". Siendo un poco más precisos veremos que no importa si los elementos que integran un conjunto son del mismo tipo pero en cambio no debe existir duda sobre si un elemento integra o no un conjunto. Formalizando: Dada una función proposicional p(x) definiremos el conjunto A asociado a la A = x; p ( x) misma de la siguiente forma: { } { ; p ( x) } de f x se lee: " el conjunto de los elementos x que cumplen la condición p " o, más sencillo: " el conjunto de los x que cumplen la condición p ", aunque, por una vez, deberíamos aclarar que lo totalmente correcto sería decir: " el conjunto de los elementos x que verifican la función proposicional p " Nota: Preferimos utilizar punto y coma ( ; ) en lugar de barra ( / ) dado que resulta una forma de escritura más clara y coherente, Pertenencia: Dada la definición anterior de conjunto introduciremos el concepto de pertenencia de la siguiente forma: x { x ; p ( x) } p ( x) Con lo cual resulta válido que: A = d e f { x ; p ( x) } [ x A p ( x) ] x A se lee: " el elemento x pertenece al conjunto A " o, más sencillamente: " x pertenece a A " Conjunto Universal: Un problema que de entrada se presenta en Teoría de Conjuntos es el siguiente: Si tenemos un conjunto al estilo de: { x; x es amarillo } cuales son exactamente las cosas amarillas que estamos considerando? las que están en el aula?. las de toda la tierra?. las de todo el universo?. Para evitar esta imprecisión supondremos que para nosotros el universo posible de todos los elementos que pueden existir es: U con lo cual la definición anterior de conjunto resultaría coincidir con: A = d e f { x ; x U p ( x) }

3 Puede definirse el conjunto U por medio de alguna función proposicional?. Estaríamos tentados de decir que: U = { x ; x x } d e f = Pero estamos usando el signo = entre elementos de un conjunto sin decir que significa. Se podría ello subsanar tomando la igualdad entre elementos como uno de los símbolos no definidos de la teoría. Y a partir de esto definir que significa que dos elementos sean distintos: x y ( x = y) El tratamiento riguroso del concepto de conjunto universal requiere de una teoría elaborada con cuidado. De lo contrario se cae en paradojas que no son admisibles. Quién quiera profundizar este tema deberá recurrir al fascículo 2 de la colección N. Bourbaki. Nosotros nos conformaremos con considerar que el conjunto universal está previamente aclarado cual es en cada problema que analicemos. Ejemplos: U = el conjunto de todos los que estamos presentes en el aula. U = N = el conjunto de los números naturales, etc. Inclusión de conjuntos. Igualdad de Conjuntos: Daremos la siguiente definición de inclusión de conjuntos: A B x : ( x A x B ) Y a partir de ella definiremos la igualdad de conjuntos: A = B A B B A Y la diferencia: ( A B) A B = Notas aclaratorias: 1) Cuando al comienzo escribimos: A = x; p ( x) de f { } lo hicimos así usando el símbolo = de f que en verdad es un símbolo de la metalógica. Procedimos así porque aun no teníamos definida la igualdad de conjuntos. 2) Estrictamente deberíamos usar símbolos distintos para la igualdad de conjuntos y la igualdad de elementos. 3) Considerando a la vez los conceptos de conjunto universal (en la versión limitada que vimos) e inclusión de conjuntos, resultan válidas expresiones del tipo: X U : p(x)

4 4) Hay quienes acostumbran escribir la inclusión de conjuntos con el símbolo: y reservan el símbolo: para la " inclusión estricta ", es decir cuando los conjuntos no son iguales. En realidad la inclusión estricta se la utiliza pocas veces y dichos casos simplemente se aclarará: A B A B o bien: A B Propiedades de la inclusión de conjuntos: 1) Propiedad Reflexiva: Dado un conjunto A cualquiera: A A. 2) Propiedad Antisimétrica: Dados dos conjuntos A, B : A B B A A = B 3) Propiedad Transitiva: Dados tres conjuntos A, B, C : A B B C A C Conjuntos Definidos por Extensión y por Comprensión: La forma en que definimos los conjuntos fue dando una función proposicional (propiedad o x ; p ( x) condición) que verifican sus elementos: { } Cuando un conjunto está definido así se dice que está definido por comprensión. Pero supongamos que tenemos elementos a, b, c, d tales que: Definamos la función proposicional: a U b U c U d U p(x) = ( x = a ) En ese caso diremos que: x; p( x) { a } = { } o sea: { a } = { x ; x = a } De manera análoga si: q(x) = ( x = a x = b ) En ese caso diremos que: ; b x; q( x) { a } = { } o sea: { a ; b} = { x ; x = a x = b } Con el mismo método podríamos escribir: ; ; { a b c} = { x ; x = a x = b x = c } o también: ; b ; c ; d = x ; y así sucesivamente: { a } { x = a x = b x = c x = d } Cuando un conjunto esta especificado de esta forma, " nombrando " sus elementos diremos que está definido por extensión. Los elementos de un conjunto no importa en que orden son nombrados. Lo único que interesa es que el conjunto esté bien definido, o sea se sepa, sin lugar a dudas, que elementos lo componen. Aclarado esto se tiene, por ejemplo: {1; 6 } = {6; 1} o también: {2; 4; 5} = {4; 5; 2} = {5; 2; 4}= etc. ; etc. Como veremos más adelante no pasa lo mismo con los conceptos de par ordenado o n-upla.

5 Conjunto Vacío: Hay dos maneras distintas de definir el conjunto vacío: φ = ; { x x U x x} O también, la que es sólo intuitiva: φ = { } O sea el conjunto vacío es un conjunto sin elementos. El vacío cumple la siguiente notable propiedad: X U : φ X O sea: si X es un conjunto cualquiera: φ X Es decir: El vacío está incluido en cualquier conjunto. Operaciones con conjuntos: Intersección de conjuntos: Definimos: A B = { x ; x A x B } Unión de conjuntos: Definimos: A B = { x ; x A x B } Diferencia de conjuntos: Definimos: A B = { x ; x A x B } Complemento de un conjunto: Definimos: [ U A = U - A Si no se presta a confusión se suele escribir: [ A o la más breve: A en ambas queda implícito el conjunto universal. Otras notaciones: C U (A) ; C(A) ; A veces, por problemas tipográficos se usa: - (A) o: -A Diferencia Simétrica de conjuntos: Definimos: A B = ( A B ) ( A B )

6 Conjuntos Disjuntos: Diremos que: A y B son Conjuntos Disjuntos A B = φ Ejemplos de operaciones con conjuntos: Sean los conjuntos: A = { 1; 3; 5; 8 } B = { 3; 4; 6; 8; 9 } C = { 2; 4; 7 } D = { 3; 5 } consideramos además: U = { 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 } vemos que: A B = { 1; 3; 5; 8 } { 3; 4; 6; 8; 9 } = { 3; 8 } A B = { 1; 3; 5; 8 } { 3; 4; 6; 8; 9 } = { 1; 3; 4; 5; 6; 8; 9 } A - B = { 1; 3; 5; 8 } - { 3; 4; 6; 8; 9 } = { 1; 5 } B - A = { 3; 4; 6; 8; 9 }- { 1; 3; 5; 8 } = { 4; 6; 9 } [ U A = [ U { 1; 3; 5; 8 } = { 2; 4; 6; 7; 9 } [ U B = [ U { 3; 4;6; 8; 9 } = { 1; 2; 5; 7 } A B = { 1; 3; 5; 8 } { 3; 4; 6; 8; 9 } = { 1; 4; 5; 6; 9 } Propiedades: A C = { 1; 3; 5; 8 } { 2; 4; 7 } = φ son disjuntos A C = { 1; 3; 5; 8 } { 2; 4; 7 } = { 1; 2; 3; 4; 5; 8 } A - C = { 1; 3; 5; 8 } - { 2; 4; 7 } = { 1; 3; 5; 8 } = A C - A = { 2; 4; 7 } - { 1; 3; 5; 8 } = { 2; 4; 7 } = C [ U C = [ U {2; 4;7 } = { 1; 3; 5; 6; 8; 9 } A C = { 1; 3; 5; 8 } { 2; 4; 7 } = { 1; 2; 3; 4; 5; 8 } = A C Se verifica: D ={ 3; 5 } { 1; 3; 5; 8 } = A A D = { 1; 3; 5; 8 } { 3; 5 } = { 3; 5 }= D A D = { 1; 3; 5; 8 } { 3; 5 } = { 1; 3; 5; 8 } = A A - D = { 1; 3; 5; 8 } - { 3; 5 } = { 1; 8 } D - A = { 3; 5 }- { 1; 3; 5; 8 } = φ [ U D = [ U {3; 5 } = { 1; 2; 4; 6; 7; 8; 9 } A D = { 1; 3; 5; 8 } { 3; 5 } = { 1; 8 } = A - D En lo que sigue consideraremos que A, B, C, D son conjuntos cualesquiera y que el Conjunto Universal es U. Propiedades de la Inclusión de Conjuntos: Las tres ya mencionadas 1) A A Reflexiva: 2) A B B A A = B Antisimétrica: 3) A B B C A C Transitiva

7 De la Unión: *: A ( B C ) = ( A B ) C Asociativa *: φ U : A U : A φ = φ A = A Existencia de Neutro *: A B = B A Conmutativa De la Intersección: *: A ( B C ) = ( A B ) C Asociativa *: φ U : A U : A φ = φ *: A B = B A Conmutativa De la Diferencia: *: A - A = φ *: A - φ = A *: φ - A = φ Del Complemento: *: A B = A B De Morgan *: A B = A B De Morgan *: A = A *: A A = φ *: A A = U De la Diferencia Simétrica: *: A B = ( A B ) A B Recordemos que: A B = ( A B ) ( A B ) *: A ( B C ) = ( A B ) C Asociativa *: φ U : A U : A φ = φ A = A Existencia de Neutro *: A U : A U : A A = φ Existencia de Opuesto *: A B = B A Conmutativa Estas cuatro últimas propiedades permitirán decir más adelante que la diferencia simétrica define una estructura de Grupo conmutativo.

8 Combinadas Intersección y Unión: *: A ( B C ) = ( A B ) ( A C ) Distributiva de Intersección respecto Unión *: A ( B C ) = ( A B ) ( A C ) Distributiva de Unión respecto Intersección. Otras Combinadas: *: A B A B = A *: A B A B = B *: A B B A *: A B A - B = φ *: A B A B = B - A *: A B = φ A - B = A *: A B = φ A B = A B *: A - B = A B Demostración de algunas de las Propiedades: Las propiedades aquí no demostradas quedan como ejercicios teóricos para el lector. 1) Reflexiva de la Inclusión: A A Demostración: Supongamos tener un conjunto cualquiera: A U De manera trivial se verifica, siendo x un elemento cualquiera: x A x A Por ser x un elemento cualquiera se puede aplicar generalización Universal: x : [ x A x A ] por definición de inclusión de conjuntos A A 2) Antisimétrica de la Inclusión: A B B A A = B Demostración: Por definición de Igualdad de Conjuntos sabemos que: A = B A B B A o lo que es lo mismo: A B B A A = B pero entonces por definición de equivalencia: [A B B A A = B] [A = B A B B A ] por simplificación queda: A B B A A = B que es la propiedad antisimetrica.

9 3) Transitiva de la Inclusión: A B B C A C Demostración: Haremos esta demostración con el rigor de una deducción lógica. Supongamos A, B, C tres conjuntos cualesquiera tal que (1): 1) A B B C Premisa 2) A B De (1) por Simplificación 3) B C A B De (1) por Conmutación 4) B C De (3) por Simplificación 5) x : [ x A x B ] De (2) por definición de Inclusión de Conjuntos 6) x : [ x B x C ] De (4) por definición de Inclusión de Conjuntos 7) x A x B De (5) por Ejemplificación Universal 8) x B x C De (6) por Ejemplificación Universal 9) x A x C De (7) y (8) por Silogismo Hipotético 10) x : [ x A x C ] De (9) por Generalización Universal 11) A C De (10) por Definición de Inclusión Resumiendo: a partir de la premisa y la conclusión (Método Directo de demostración): A B B C A C Lo cual completa la demostración. *: Propiedad Asociativa de la Unión: A ( B C ) = ( A B ) C Demostración: A ( B C ) = por definición de unión de conjuntos = = { x ; x A x ( B C ) } = por definición de unión de conjuntos = = { x ; x A x { x ; x B x C }} = por definición de pertenencia a un conjunto = = { x ; x A ( x B x C ) } = por propiedad asociativa del cálculo proposicional = = { x ; ( x A x B ) x C }= por definición de pertenencia a un conjunto = = { x ; x { x ; x A x B } x C }= por definición de unión de conjuntos = = { x ; ( x A B } x C } = por definición de unión de conjuntos = ( A B ) C Resumiendo: A ( B C ) = ( A B ) C Conjuntos de Conjuntos: No existe ningún tipo de restricción sobre que tipos de elementos pueden formar un conjunto. En particular un conjunto puede estar compuesto por elementos que a su vez son conjuntos. Se habla en este caso de " Conjunto de Conjuntos ". Ejemplos: F = {{ 1 ; 3 ; 6 }; φ ;{ 4 }} H = {{ 1 } { 2 }; { 6 }} O = { φ } ; debe tenerse en cuenta que: H { 1; 2; 6 } se verifica que: φ { φ } φ

10 Conjunto de Partes de un Conjunto: Un caso particular de conjunto de conjuntos es el siguiente: P (A) = { X ; X A } Llamado Conjunto de Partes de un Conjunto. P(A) se lee: " Partes de A ". Ejemplos: P ( φ ) = { φ } P ( { 1 } ) = { φ ; { 1 } } P ( { 1; 2 } ) = { φ ; { 1 }; { 2 } ; { 1; 2 } } P ( { 1; 2; 3 } ) = { φ ; { 1 }; { 2 } ; { 3 } ; { 1; 2 }; { 1; 3 }; { 2; 3 } ; { 1; 2; 3 } } La cantidad de elementos de cada uno de estos conjuntos de partes es: 2 0 = = = = 8 y en general si A tiene n elementos P (A) estará compuesto de 2 n elementos. Uniones e Intersecciones generalizadas. Incluimos aquí este tema a efectos de no efectuar una omisión. Pero lo más conveniente es enfocarlo como Uniones e Intersecciones Generalizadas mediante Familias de Conjuntos como se verá después de estudiar funciones. En dicha sección analizaremos los detalles. Sea F un Conjunto de Conjuntos. Definimos: { x; X F : x X } U X = Unión Generalizada X F { x; X F: x X } I X = Intersección Generalizada X F Advertencia: Debido a deficiencias normativas del sistema operativo los símbolos de unión e intersección generalizada pueden aparecer distorsionados en algunas computadoras.

11 APENDICE: Algunas Propiedades de Teoría de Conjuntos y sus demostraciones: Propiedad: A A B Demostración: Sea un elemento genérico x x A Lo suponemos x A x B Por adición x A B Por definición de Unión O sea que por método directo hemos demostrado: x A x A B x : [ x A x A B ] De línea anterior por Generalización Universal A A B Por definición de inclusión de conjuntos. A efectos de demostrar la propiedad siguiente probaremos con una demostración lógica el siguiente: Lema: p q p q q Demostración: 1) p q Premisa 2) p q Premisa 3) q p De (2) por Conmutación 4) p q De (3) por Doble Negación 5) p q De (4) por Def.Implicación. 6) p p De (5) y (1) por Silogismo Hipotético 7) p p De (6) por Def. Implicación 8) p p De (7) por Doble Negación 9) p De (8) por Tautología. Propiedad: A B A B = B

12 Demostración: Ya vimos que en general: A A B Falta ver con la hipótesis de este caso se cumple la inclusión inversa. A B Hipótesis x A B x : [ x A x B ] x A x B x A x B x B Premisa De la hipótesis por def. inclusión. De línea anterior por Ejemplificación Universal De Premisa por def. de unión. De dos líneas anteriores: tomando en lema: p : x A ; q : x B En resumen: por método directo: x A B x B x : [ x A B x B] De línea anterior por Generalización Universal. A B B Por definición de inclusión. A A B Válido en general según fue demostrado A B B A A B Por conjunción de dos líneas anteriores. A B = B Por definición de igualdad de conjuntos. Resumiendo a partir de la hipótesis y el resultado final; por método directo: A B A B = B Que es lo que queríamos demostrar. Alberto Serritella, aserritella@unnoba.edu.ar 25-julio Para Mensajes: alberto_serritella@yahoo.com.ar