UNIDAD 4. Álgebra Booleana

Transcripción

1 UNIDAD 4 Álgebra Booleana

2 ÁLGEBRA BOOLEANA El Álgebra Booleana se define como una retícula: Complementada: existe un elemento mínimo 0 y un elemento máximo I de tal forma que si a esta en la retícula, a también lo está si a a =I y a a =0. Distributiva: si a,b,c están en la retícula entonces a (b c)=(a b) (a c) y a (b c)=(a b) (a c). Contiene al menos dos elementos. Contiene sólo dos operaciones: suma(or o +) y producto (AND o.) En el Álgebra Booleana las operaciones se realizarán mediante relaciones lógicas, lo que en el álgebra convencional son las sumas y multiplicaciones. Las variables con las que opera son las binarias 1 y 0 (verdadero o falso). Los signos 1 y 0 no expresan cantidades, sino estados de las variables. Podemos decir, que el sistema de numeración binario y el álgebra de Boole constituyen la base matemática para el diseño y construcción de sistemas digitales.

3 ÁLGEBRA BOOLEANA El álgebra booleana es un sistema algebraico que consiste en un conjunto B que contiene dos o más elementos y en el que están definidas dos operaciones suma u operación OR (+) y producto u operación AND (.).

4 PROPIEDADES DEL ÁLGEBRA DE BOOLE Las operaciones del Álgebra de Boole son: Conmutativas. Para cada a, b en B: a + b = b + a a. b = b. a Identidad o existencia de neutros. En B existen el elemento neutro de la suma (0) y el elemento neutro del producto (1), tales que para cualquier elemento a de B: 0 + a = a 1. a = a Asociatividad. Para cada a, b, c en B: a + (b + c) = (a+ b )+ c a. (b. c) = (a.b). z Distributiva. Para cada a, b, c en B: a. (b + c) = a. b + a. c a + b. c = (a + b). (a + c) Complemento. Para cada a en B existe un elemento a, llamado complemento de a, tal que: a+a =1 a.a =0

5 ALGEBRA BOOLEANA Recuerda que: = = = = 0 Ya que el valor máximo es 1. También se puede utilizar la ley de De Morgan: (A.B.C.D) = A + B + C + D (A+B+C+D) = A.B.C.D

6 TEOREMAS 1. Idempotencia. a + a = a a. a = a 2. Identidad de los elementos 0 y 1 a + 1 = 1 x. 0 = 0 3. Absorción a + ( a. b ) = a a. ( a + b ) = a 4. Complemento de 0 y 1 0 = 1 1 = 0 5. Involución (a ) = a 6. Leyes de Morgan ( a + b ) = a. b ( a. b ) = a + b

7 EJEMPLO Demostración de indempotencia a + a = a a + a = (a + a ). 1 = (a + a). (a+a ) = a + (a.a ) = a + 0 = a axioma de identidad axioma inverso axioma distributiva axioma inverso axioma identidad

8 TEOREMAS DEL ÁLGEBRA BOOLEANA Número Teorema DUAL 1. 0.A=0 1+A=1 2. 1A=A 0+A=A 3. A.A=A A+A=A 4. A.A =0 A+A =1 5. A.B=B.A A+B=B+A 6. A.B.C=A.(B.C) A.B.C=A.(B.C) 7. (A.B Z) =A +B + Z (A+B+ +Z) =A.B. Z 8. A.B+A.C=A.(B+C) (A+B).(A+C)=A+(B.C) 9. A.B+A.B =A (A+B).(A+B )=A 10. A+A.B=A A.(A+B)=A 11. A+A.B=A+B A.(A +B)=AB 12. C.A+C.A.B=C.A+CB (C+A).(C+A +B)=(C+A).(C+B) 13. A.B+A.C+B.C=A.B+A.C (A+B).(A +C).(B+C)=(A+B).(A +C)

9 FUNCIÓN BOOLEANA Se define Función Lógica(Booleana) a toda variable binaria cuyo valor depende de una expresión formada por otras variables binarias relacionadas mediante los signos + y. Por ejemplo: S=(a.b)+b.c Siendo S la función, mientras que a, b y c son las variables. Esta función la leeríamos de la siguiente forma: si a y b o b y c son verdaderas (1) la función lógica S es verdadera (1). Funciones básicas Unión (OR), es decir a+b Intersección (AND), es decir a.b Negación (Not), es decir a

10 EJEMPLO DE FUNCIÓN BOOLEANA Supongamos que una industria refresquera desea un sistema automático que saque de la banda de transportación un refresco que no cumple con los requisitos mínimos de calidad, para eso coloca 4 sensores A,B,C,D y F representa al sistema que sacará el refresco. A B C D F La función equivalente a la tabla es: F=A B C D+A B CD+AB C D+AB CD +AB CD Eso implica que para cualquiera de estas combinaciones F=1 indica que el refresco debe salir de la cinta. A=0, B=0,C=0,D=1 A=0, B=0,C=1,D=1 A=1, B=0,C=0,D=1 A=1, B=0,C=1,D=0 A=1, B=0,C=1,D=

11 EJERCICIOS 1. Determine la función F e indica para que valores se cumple cada caso. A B C F

12 SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES BOOLEANAS Cuando se plantea un problema, en general la expresión booleana obtenida no necesariamente es la óptima. Esta expresión puede ser simplificada mediante los teoremas del álgebra booleana. Ejemplo 1: Simplificar F=A B+(ABC) +C(B +A) = A B+A +B +C +C(B +A) (7ª) = A B+A +B +C +CB +CA (8ª) = A B+A +B +CB +C +CA (5ª) = A (B+1)+B (1+C)+C +CA (8ª) = A 1+B 1+C +CA (1ª) = A +B +C +CA (2ª) = A +B +C +A (11ª) = (A +A)+B +C (5ª) = (1+B )+C (4ª) = (1+C ) (1ª) 1 (1ª)

13 SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES BOOLEANAS Ejemplo 2: Simplificar F=Z X+XY Z+X Z W = Z X+XY Z+X Z W = Z (X+X W)+XY Z (8ª) = Z (X+W)+XY Z (11ª) = Z X+Z W+XY Z (8ª) = X(ZY +Z )+Z W (8ª) = X(Y +Z )+Z W (11ª) = XY +XZ +Z W (8ª)

14 EJERCICIO Simplificar F= X(XY ) F=A B D +A BD +A BD+ABD

15 Una función boolena puede definirse por una lista de todas las posibles entradas junto con sus correspondientes salidas. Ejemplo: f: B 2 - > B

16 Una razón importante del por qué usar expresiones booleans es la representación de circuitos digitales. Un circuito digital es un dispositivo electrónico para desempeñar un computo digital. Tiene un determinado numero de entradas, cada una de las cuales es una señal eléctrica que toma uno de dos estados (0 o 1). Para cada combinación dada de entradas, el dispositivo computa una o mas salidas, que es o 0 o 1. Un circuito digital se puede construir usando dispositivos como las compuertas lógicas. Una compuerta lógica es un simple circuito digital que corresponde a uno de los conectivos lógicos.

17 COMPUERTAS LÓGICAS OR AND NOT

18 EJEMPLO

19 EJERCICIO Dibuja el circuito digital correspondiente a la expresión booleana (x + y) (x + y)

20 EJERCICIO Escribe la expresión booleana que corresponde al siguiente circuito digital. Usa las leyes del algebra booleana, para obtener una expresión equivalente más simplificada, y dibuja el correspondiente circuito.

21 SOLUCIÓN

22 BIBLIOGRAFÍA Peter Grossman. Discrete Mathematics for Computing. Second Edition. Palgrave macmillan