Conjuntos. () April 4, / 32
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- Irene Tebar Medina
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1 Conjuntos En general, un conjunto A se de ne seleccionando los elementos de un cierto conjunto U de referencia (o universal) que cumplen una determinada propiedad. () April 4, / 32
2 Conjuntos En general, un conjunto A se de ne seleccionando los elementos de un cierto conjunto U de referencia (o universal) que cumplen una determinada propiedad. Ejemplo: El conjunto A de los números enteros menores que 2, está formado por los elementos del conjunto referencial Z (números enteros) que satisfacen la propiedad de ser menores que 2. () April 4, / 32
3 Conjuntos Un conjunto se de ne por extensión cuando se enumeran todos los elementos que lo constituyen. () April 4, / 32
4 Conjuntos Un conjunto se de ne por extensión cuando se enumeran todos los elementos que lo constituyen. Un conjunto se de ne por comprensión cuando se indica el conjunto referencial o universal y la propiedad que caracteriza a sus elementos. () April 4, / 32
5 Conjuntos Ejemplo: Si A es el conjunto de las vocales () April 4, / 32
6 Conjuntos Ejemplo: Si A es el conjunto de las vocales La de nición por extensión es A = fa, e, i, o, ug () April 4, / 32
7 Conjuntos Ejemplo: Si A es el conjunto de las vocales La de nición por extensión es A = fa, e, i, o, ug La de nición por comprensión es A = fx 2 U / x es una vocalg, donde U es el alfabeto. Si P(x) es la función proposicional : x es una vocal () April 4, / 32
8 Conjuntos Ejemplo: Si A es el conjunto de las vocales La de nición por extensión es A = fa, e, i, o, ug La de nición por comprensión es A = fx 2 U / x es una vocalg, donde U es el alfabeto. Si P(x) es la función proposicional : x es una vocal A = fx 2 U / P(x)g = fx 2 U : P(x)g () April 4, / 32
9 Conjuntos Ejemplo: Si A es el conjunto de las vocales La de nición por extensión es A = fa, e, i, o, ug La de nición por comprensión es A = fx 2 U / x es una vocalg, donde U es el alfabeto. Si P(x) es la función proposicional : x es una vocal A = fx 2 U / P(x)g = fx 2 U : P(x)g a 2 A porque P(a) es V. () April 4, / 32
10 Conjuntos Ejemplo: Si A es el conjunto de las vocales La de nición por extensión es A = fa, e, i, o, ug La de nición por comprensión es A = fx 2 U / x es una vocalg, donde U es el alfabeto. Si P(x) es la función proposicional : x es una vocal A = fx 2 U / P(x)g = fx 2 U : P(x)g a 2 A porque P(a) es V. b /2 A porque P(b) es F. () April 4, / 32
11 Cardinalidad y conjuntos especiales La cardinalidad de un conjunto A, que lo indicamos con jaj o #A, es el número o cantidad de elementos (distintos) de A. () April 4, / 32
12 Cardinalidad y conjuntos especiales La cardinalidad de un conjunto A, que lo indicamos con jaj o #A, es el número o cantidad de elementos (distintos) de A. Un conjunto unitario está formado por un único elemento. () April 4, / 32
13 Cardinalidad y conjuntos especiales La cardinalidad de un conjunto A, que lo indicamos con jaj o #A, es el número o cantidad de elementos (distintos) de A. Un conjunto unitario está formado por un único elemento. El conjunto vacío es el conjunto sin elementos, es decir que su cardinalidad es igual a cero. Si A es un conjunto vacío escribiremos A =. () April 4, / 32
14 Cardinalidad y conjuntos especiales. Ejemplos Ejemplo: Calcular la cardinalidad del conjunto A de las raíces terceras de 1, () April 4, / 32
15 Cardinalidad y conjuntos especiales. Ejemplos Ejemplo: Calcular la cardinalidad del conjunto A de las raíces terceras de 1, 1. Si el conjunto referencial U es el conjunto de los números complejos, A se de ne por compresión como A = w 2 C / w 3 = 1. () April 4, / 32
16 Cardinalidad y conjuntos especiales. Ejemplos Ejemplo: Calcular la cardinalidad del conjunto A de las raíces terceras de 1, 1. Si el conjunto referencial U es el conjunto de los números complejos, A se de ne por compresión como A = w 2 C / w 3 = 1. Ya que esta ecuación tiene 3 raíces, la cardinalidad de A es jaj = 3 y el conjunto A, dado por extensión es ( p p ) 1 3 A = 2 + i 2, 1, 1 3 i. 2 2 () April 4, / 32
17 Cardinalidad y conjuntos especiales. Ejemplos Ejemplo: Calcular la cardinalidad del conjunto A de las raíces terceras de 1, 1. Si el conjunto referencial U es el conjunto de los números complejos, A se de ne por compresión como A = w 2 C / w 3 = 1. Ya que esta ecuación tiene 3 raíces, la cardinalidad de A es jaj = 3 y el conjunto A, dado por extensión es ( p p ) 1 3 A = 2 + i 2, 1, 1 3 i Si el conjunto referencial U es el conjunto de los números reales. A = w 2 R / w 3 = 1 () April 4, / 32
18 Cardinalidad y conjuntos especiales. Ejemplos Ejemplo: Calcular la cardinalidad del conjunto A de las raíces terceras de 1, 1. Si el conjunto referencial U es el conjunto de los números complejos, A se de ne por compresión como A = w 2 C / w 3 = 1. Ya que esta ecuación tiene 3 raíces, la cardinalidad de A es jaj = 3 y el conjunto A, dado por extensión es ( p p ) 1 3 A = 2 + i 2, 1, 1 3 i Si el conjunto referencial U es el conjunto de los números reales. A = w 2 R / w 3 = 1 A = f 1g, y la cardinalidad de A es jaj = 1. () April 4, / 32
19 Cardinalidad y conjuntos especiales. Ejemplos Ejemplo: a. A es el conjunto de los números reales cuyo cuadrado es igual a 1. () April 4, / 32
20 Cardinalidad y conjuntos especiales. Ejemplos Ejemplo: a. A es el conjunto de los números reales cuyo cuadrado es igual a 1. A = fx 2 R/ x 2 = 1g () April 4, / 32
21 Cardinalidad y conjuntos especiales. Ejemplos Ejemplo: a. A es el conjunto de los números reales cuyo cuadrado es igual a 1. A = fx 2 R/ x 2 = 1g A = φ y jaj = 0. b. B es el conjunto de los números naturales mayores que 2, y que no superan a 6 () April 4, / 32
22 Cardinalidad y conjuntos especiales. Ejemplos Ejemplo: a. A es el conjunto de los números reales cuyo cuadrado es igual a 1. A = fx 2 R/ x 2 = 1g A = φ y jaj = 0. b. B es el conjunto de los números naturales mayores que 2, y que no superan a 6. B = fn 2 N / 2 < n 6g () April 4, / 32
23 Cardinalidad y conjuntos especiales. Ejemplos Ejemplo: a. A es el conjunto de los números reales cuyo cuadrado es igual a 1. A = fx 2 R/ x 2 = 1g A = φ y jaj = 0. b. B es el conjunto de los números naturales mayores que 2, y que no superan a 6. B = fn 2 N / 2 < n 6g B = f3, 4, 5, 6g y jbj = 4 c. C es el conjunto de los números reales mayores que 2, y que no superan a 6. () April 4, / 32
24 Cardinalidad y conjuntos especiales. Ejemplos Ejemplo: a. A es el conjunto de los números reales cuyo cuadrado es igual a 1. A = fx 2 R/ x 2 = 1g A = φ y jaj = 0. b. B es el conjunto de los números naturales mayores que 2, y que no superan a 6. B = fn 2 N / 2 < n 6g B = f3, 4, 5, 6g y jbj = 4 c. C es el conjunto de los números reales mayores que 2, y que no superan a 6. C = fx 2 R / 2 < x 6g = (2, 6]. () April 4, / 32
25 Cardinalidad y conjuntos especiales. Ejemplos Ejemplo: a. A es el conjunto de los números reales cuyo cuadrado es igual a 1. A = fx 2 R/ x 2 = 1g A = φ y jaj = 0. b. B es el conjunto de los números naturales mayores que 2, y que no superan a 6. B = fn 2 N / 2 < n 6g B = f3, 4, 5, 6g y jbj = 4 c. C es el conjunto de los números reales mayores que 2, y que no superan a 6. C = fx 2 R / 2 < x 6g = (2, 6]. Este conjunto es un intervalo de la recta real y por ser un conjunto no nito de elementos, no se puede expresar por extensión. () April 4, / 32
26 Cardinalidad y conjuntos especiales. Ejemplos d. P es el conjunto de los números enteros pares. () April 4, / 32
27 Cardinalidad y conjuntos especiales. Ejemplos d. P es el conjunto de los números enteros pares. Por de nición, un entero es par si y sólo si es el duplo de algún entero. () April 4, / 32
28 Cardinalidad y conjuntos especiales. Ejemplos d. P es el conjunto de los números enteros pares. Por de nición, un entero es par si y sólo si es el duplo de algún entero. a es par, 9 k 2 Z : a = 2k, () April 4, / 32
29 Cardinalidad y conjuntos especiales. Ejemplos d. P es el conjunto de los números enteros pares. Por de nición, un entero es par si y sólo si es el duplo de algún entero. a es par, 9 k 2 Z : a = 2k, P = fx 2 Z / x = 2k ^ k 2 Zg () April 4, / 32
30 Cardinalidad y conjuntos especiales. Ejemplos d. P es el conjunto de los números enteros pares. Por de nición, un entero es par si y sólo si es el duplo de algún entero. a es par, 9 k 2 Z : a = 2k, P = fx 2 Z / x = 2k ^ k 2 Zg = fx 2 Z / 9 k 2 Z : x = 2kg () April 4, / 32
31 Cardinalidad y conjuntos especiales. Ejemplos d. P es el conjunto de los números enteros pares. Por de nición, un entero es par si y sólo si es el duplo de algún entero. a es par, 9 k 2 Z : a = 2k, P = fx 2 Z / x = 2k ^ k 2 Zg = fx 2 Z / 9 k 2 Z : x = 2kg con abuso de notación P = f, 4, 2, 0, 2, 4, 6, g () April 4, / 32
32 Diagrama de Venn () April 4, / 32
33 Diagrama de Venn Ejemplo: De nimos la relación de divisibilidad en N mediante a j b si y sólo si 9 n 2 N : b = a.n () April 4, / 32
34 Diagrama de Venn Ejemplo: De nimos la relación de divisibilidad en N mediante a j b si y sólo si 9 n 2 N : b = a.n Se lee: a divide a b, ó a es divisor de b ó b es múltiplo de a. () April 4, / 32
35 Diagrama de Venn Ejemplo: De nimos la relación de divisibilidad en N mediante a j b si y sólo si 9 n 2 N : b = a.n Se lee: a divide a b, ó a es divisor de b ó b es múltiplo de a. Consideremos los conjuntos A = fx / x j6g B = fx / x j8g C = fx / x 2g () April 4, / 32
36 Diagrama de Venn Ejemplo: De nimos la relación de divisibilidad en N mediante a j b si y sólo si 9 n 2 N : b = a.n Se lee: a divide a b, ó a es divisor de b ó b es múltiplo de a. Consideremos los conjuntos A = fx / x j6g B = fx / x j8g C = fx / x 2g La representación por extensión de tales conjuntos es A = f1, 2, 3, 6g () April 4, / 32
37 Diagrama de Venn Ejemplo: De nimos la relación de divisibilidad en N mediante a j b si y sólo si 9 n 2 N : b = a.n Se lee: a divide a b, ó a es divisor de b ó b es múltiplo de a. Consideremos los conjuntos A = fx / x j6g B = fx / x j8g C = fx / x 2g La representación por extensión de tales conjuntos es A = f1, 2, 3, 6g B = f1, 2, 4, 8g () April 4, / 32
38 Diagrama de Venn Ejemplo: De nimos la relación de divisibilidad en N mediante a j b si y sólo si 9 n 2 N : b = a.n Se lee: a divide a b, ó a es divisor de b ó b es múltiplo de a. Consideremos los conjuntos A = fx / x j6g B = fx / x j8g C = fx / x 2g La representación por extensión de tales conjuntos es A = f1, 2, 3, 6g B = f1, 2, 4, 8g C = f1, 2g () April 4, / 32
39 Diagrama de Venn A = f1, 2, 3, 6g B = f1, 2, 4, 8g C = f1, 2g () April 4, / 32
40 Diagrama de Venn A = f1, 2, 3, 6g B = f1, 2, 4, 8g C = f1, 2g () April 4, / 32
41 Diagrama de Venn Ejemplo: Consideremos el conjunto referencial U de todos los triángulos; si I denota el conjunto de los triángulos isósceles, E de los equiláteros y R de los triángulos rectángulos, veri que las relaciones planteadas por el siguiente diagrama: () April 4, / 32
42 Diagrama de Venn Ejemplo: Consideremos el conjunto referencial U de todos los triángulos; si I denota el conjunto de los triángulos isósceles, E de los equiláteros y R de los triángulos rectángulos, veri que las relaciones planteadas por el siguiente diagrama: () April 4, / 32
43 Conjuntos y Subconjuntos Sean A y B dos conjuntos, si todos los elementos de A pertenecen a B, diremos que A esta incluido en B, o que A es un subconjunto de B, y escribimos A B. () April 4, / 32
44 Conjuntos y Subconjuntos Sean A y B dos conjuntos, si todos los elementos de A pertenecen a B, diremos que A esta incluido en B, o que A es un subconjunto de B, y escribimos A B. A B si 8x : x 2 A ) x 2 B. () April 4, / 32
45 Conjuntos y Subconjuntos Sean A y B dos conjuntos, si todos los elementos de A pertenecen a B, diremos que A esta incluido en B, o que A es un subconjunto de B, y escribimos A B. A B si 8x : x 2 A ) x 2 B. () April 4, / 32
46 Conjuntos y Subconjuntos Sean A y B dos conjuntos, si todos los elementos de A pertenecen a B, diremos que A esta incluido en B, o que A es un subconjunto de B, y escribimos A B. A B si 8x : x 2 A ) x 2 B. Dos conjuntos A y B son iguales si A esta incluido en B y B esta incluido en A () April 4, / 32
47 Conjuntos y Subconjuntos Sean A y B dos conjuntos, si todos los elementos de A pertenecen a B, diremos que A esta incluido en B, o que A es un subconjunto de B, y escribimos A B. A B si 8x : x 2 A ) x 2 B. Dos conjuntos A y B son iguales si A esta incluido en B y B esta incluido en A A = B si A B y B A, () April 4, / 32
48 Conjuntos y Subconjuntos Ejemplo: Los siguientes conjuntos son iguales. 1. M = fx 2 N / x < 5g N = f1, 2, 3, 4g, () April 4, / 32
49 Conjuntos y Subconjuntos Ejemplo: Los siguientes conjuntos son iguales. 1. M = fx 2 N / x < 5g N = f1, 2, 3, 4g, 2. A = x 2 Z / x 2 = 1 B = fx 2 Z / jxj = 1g. () April 4, / 32
50 Conjuntos y Subconjuntos A no es subconjunto de B, A * B, si es falso que A B. () April 4, / 32
51 Conjuntos y Subconjuntos A no es subconjunto de B, A * B, si es falso que A B. Lema: A no es subconjunto de B, si y sólo si 9 x : [ x 2 A ^ x /2 B] () April 4, / 32
52 Conjuntos y Subconjuntos A no es subconjunto de B, A * B, si es falso que A B. Lema: A no es subconjunto de B, si y sólo si 9 x : [ x 2 A ^ x /2 B] Demostración. A no es subconjunto de B, () April 4, / 32
53 Conjuntos y Subconjuntos A no es subconjunto de B, A * B, si es falso que A B. Lema: A no es subconjunto de B, si y sólo si 9 x : [ x 2 A ^ x /2 B] Demostración. A no es subconjunto de B, (8x : x 2 A ) x 2 B) De nición de inclusión () April 4, / 32
54 Conjuntos y Subconjuntos A no es subconjunto de B, A * B, si es falso que A B. Lema: A no es subconjunto de B, si y sólo si 9 x : [ x 2 A ^ x /2 B] Demostración. A no es subconjunto de B, (8x : x 2 A ) x 2 B) De nición de inclusión, () April 4, / 32
55 Conjuntos y Subconjuntos A no es subconjunto de B, A * B, si es falso que A B. Lema: A no es subconjunto de B, si y sólo si 9 x : [ x 2 A ^ x /2 B] Demostración. A no es subconjunto de B, (8x : x 2 A ) x 2 B), 9 x : (x 2 A ) x 2 B) De nición de inclusión Negación del cuanti cador existencial () April 4, / 32
56 Conjuntos y Subconjuntos A no es subconjunto de B, A * B, si es falso que A B. Lema: A no es subconjunto de B, si y sólo si 9 x : [ x 2 A ^ x /2 B] Demostración. A no es subconjunto de B, (8x : x 2 A ) x 2 B), 9 x : (x 2 A ) x 2 B) De nición de inclusión Negación del cuanti cador existencial, () April 4, / 32
57 Conjuntos y Subconjuntos A no es subconjunto de B, A * B, si es falso que A B. Lema: A no es subconjunto de B, si y sólo si 9 x : [ x 2 A ^ x /2 B] Demostración. A no es subconjunto de B, (8x : x 2 A ) x 2 B), 9 x : (x 2 A ) x 2 B), 9 x : ( (x 2 A) _ x 2 B) De nición de inclusión Negación del cuanti cador existencial p ) q p _ q () April 4, / 32
58 Conjuntos y Subconjuntos A no es subconjunto de B, A * B, si es falso que A B. Lema: A no es subconjunto de B, si y sólo si 9 x : [ x 2 A ^ x /2 B] Demostración. A no es subconjunto de B, (8x : x 2 A ) x 2 B), 9 x : (x 2 A ) x 2 B), 9 x : ( (x 2 A) _ x 2 B), De nición de inclusión Negación del cuanti cador existencial p ) q p _ q () April 4, / 32
59 Conjuntos y Subconjuntos A no es subconjunto de B, A * B, si es falso que A B. Lema: A no es subconjunto de B, si y sólo si 9 x : [ x 2 A ^ x /2 B] Demostración. A no es subconjunto de B, (8x : x 2 A ) x 2 B), 9 x : (x 2 A ) x 2 B), 9 x : ( (x 2 A) _ x 2 B), 9 x : [ x 2 A ^ x /2 B] De nición de inclusión Negación del cuanti cador existencial p ) q p _ q Ley de Morgan () April 4, / 32
60 Conjuntos y Subconjuntos A es subconjunto propio de B cuando A B y A 6= B, lo denotaremos por A B, o A B. () April 4, / 32
61 Conjuntos y Subconjuntos A es subconjunto propio de B cuando A B y A 6= B, lo denotaremos por A B, o A B. Proposición: Para cualquier conjunto A 1. A A, 2. φ A, 3. φ es único. () April 4, / 32
62 Conjuntos y Subconjuntos A es subconjunto propio de B cuando A B y A 6= B, lo denotaremos por A B, o A B. Proposición: Para cualquier conjunto A 1. A A, 2. φ A, 3. φ es único. Demostración.... () April 4, / 32
63 Conjunto de Partes Sea A un conjunto, llamamos conjunto de partes de A al conjunto formado por todos los subconjuntos de A P(A) = fx / X Ag () April 4, / 32
64 Conjunto de Partes Sea A un conjunto, llamamos conjunto de partes de A al conjunto formado por todos los subconjuntos de A P(A) = fx / X Ag Lema: Sea A un conjunto, entonces A 2 P(A) y φ 2 P(A). () April 4, / 32
65 Conjunto de Partes Sea A un conjunto, llamamos conjunto de partes de A al conjunto formado por todos los subconjuntos de A P(A) = fx / X Ag Lema: Sea A un conjunto, entonces A 2 P(A) y φ 2 P(A). Ejemplo: Determinar el conjunto de partes de A = f2, 3, 4g. φ () April 4, / 32
66 Conjunto de Partes Sea A un conjunto, llamamos conjunto de partes de A al conjunto formado por todos los subconjuntos de A P(A) = fx / X Ag Lema: Sea A un conjunto, entonces A 2 P(A) y φ 2 P(A). Ejemplo: Determinar el conjunto de partes de A = f2, 3, 4g. φ f2g f3g f4g () April 4, / 32
67 Conjunto de Partes Sea A un conjunto, llamamos conjunto de partes de A al conjunto formado por todos los subconjuntos de A P(A) = fx / X Ag Lema: Sea A un conjunto, entonces A 2 P(A) y φ 2 P(A). Ejemplo: Determinar el conjunto de partes de A = f2, 3, 4g. φ f2g f3g f4g f2, 3g f2, 4g f3, 4g () April 4, / 32
68 Conjunto de Partes Sea A un conjunto, llamamos conjunto de partes de A al conjunto formado por todos los subconjuntos de A P(A) = fx / X Ag Lema: Sea A un conjunto, entonces A 2 P(A) y φ 2 P(A). Ejemplo: Determinar el conjunto de partes de A = f2, 3, 4g. φ f2g f3g f4g f2, 3g f2, 4g f3, 4g A () April 4, / 32
69 Conjunto de Partes Sea A un conjunto, llamamos conjunto de partes de A al conjunto formado por todos los subconjuntos de A P(A) = fx / X Ag Lema: Sea A un conjunto, entonces A 2 P(A) y φ 2 P(A). Ejemplo: Determinar el conjunto de partes de A = f2, 3, 4g. φ f2g f3g f4g f2, 3g f2, 4g f3, 4g A P(A) = fφ, f2g, f3g, f4g, f2, 3g, f2, 4g, f3, 4g, Ag. () April 4, / 32
70 Conjunto de Partes Sea A un conjunto, llamamos conjunto de partes de A al conjunto formado por todos los subconjuntos de A P(A) = fx / X Ag Lema: Sea A un conjunto, entonces A 2 P(A) y φ 2 P(A). Ejemplo: Determinar el conjunto de partes de A = f2, 3, 4g. φ f2g f3g f4g f2, 3g f2, 4g f3, 4g A P(A) = fφ, f2g, f3g, f4g, f2, 3g, f2, 4g, f3, 4g, Ag. Ejemplo: El conjunto de partes del conjunto vacio, φ, es P(φ) = fφg. () April 4, / 32
71 Sea A un conjunto el complemento de A es el conjunto formado por los elementos que no pertenecen a A. Lo denotamos por A c o A, A c = fx 2 U : x /2 Ag. () April 4, / 32
72 Sea A un conjunto el complemento de A es el conjunto formado por los elementos que no pertenecen a A. Lo denotamos por A c o A, A c = fx 2 U : x /2 Ag. Es usual también obtener el complemento de un conjunto A, respecto de otro B, C B A = fx 2 B : x /2 Ag () April 4, / 32
73 Sea A un conjunto el complemento de A es el conjunto formado por los elementos que no pertenecen a A. Lo denotamos por A c o A, A c = fx 2 U : x /2 Ag. Es usual también obtener el complemento de un conjunto A, respecto de otro B, C B A = fx 2 B : x /2 Ag () April 4, / 32
74 La unión de A y B: A [ B = fx / x 2 A _ x 2 Bg. () April 4, / 32
75 La unión de A y B: A [ B = fx / x 2 A _ x 2 Bg. () April 4, / 32
76 La intersección de A y B : A \ B = fx / x 2 A ^ x 2 Bg. () April 4, / 32
77 La intersección de A y B : A \ B = fx / x 2 A ^ x 2 Bg. () April 4, / 32
78 La diferencia de A y B: A B = fx / x 2 A ^ x /2 Bg. () April 4, / 32
79 La diferencia de A y B: A B = fx / x 2 A ^ x /2 Bg. () April 4, / 32
80 La diferencia de A y B: A B = fx / x 2 A ^ x /2 Bg. De la de nición se sigue que A B = A \ B c. () April 4, / 32
81 La diferencia simétrica de A y B es A B = (A [ B) (A \ B) = fx : (x 2 A _ x 2 B) ^ (x /2 A \ B)g () April 4, / 32
82 La diferencia simétrica de A y B es A B = (A [ B) (A \ B) = fx : (x 2 A _ x 2 B) ^ (x /2 A \ B)g () April 4, / 32
83 Dos conjuntos A y B son disjuntos si A \ B =. () April 4, / 32
84 Dos conjuntos A y B son disjuntos si A \ B =. Ejemplo: Sea U = f1, 2, 3,..., 9, 10g el conjunto de referencia, A = f1, 2, 3, 4, 5g, B = f3, 4, 5, 6, 7g y C = f7, 8, 9g tenemos que: () April 4, / 32
85 Dos conjuntos A y B son disjuntos si A \ B =. Ejemplo: Sea U = f1, 2, 3,..., 9, 10g el conjunto de referencia, A = f1, 2, 3, 4, 5g, B = f3, 4, 5, 6, 7g y C = f7, 8, 9g tenemos que: A [ B = () April 4, / 32
86 Dos conjuntos A y B son disjuntos si A \ B =. Ejemplo: Sea U = f1, 2, 3,..., 9, 10g el conjunto de referencia, A = f1, 2, 3, 4, 5g, B = f3, 4, 5, 6, 7g y C = f7, 8, 9g tenemos que: A [ B = f1, 2, 3, 4, 5, 6, 7g () April 4, / 32
87 Dos conjuntos A y B son disjuntos si A \ B =. Ejemplo: Sea U = f1, 2, 3,..., 9, 10g el conjunto de referencia, A = f1, 2, 3, 4, 5g, B = f3, 4, 5, 6, 7g y C = f7, 8, 9g tenemos que: A [ B = f1, 2, 3, 4, 5, 6, 7g A \ B = () April 4, / 32
88 Dos conjuntos A y B son disjuntos si A \ B =. Ejemplo: Sea U = f1, 2, 3,..., 9, 10g el conjunto de referencia, A = f1, 2, 3, 4, 5g, B = f3, 4, 5, 6, 7g y C = f7, 8, 9g tenemos que: A [ B = f1, 2, 3, 4, 5, 6, 7g A \ B = f3, 4, 5g () April 4, / 32
89 Dos conjuntos A y B son disjuntos si A \ B =. Ejemplo: Sea U = f1, 2, 3,..., 9, 10g el conjunto de referencia, A = f1, 2, 3, 4, 5g, B = f3, 4, 5, 6, 7g y C = f7, 8, 9g tenemos que: A [ B = f1, 2, 3, 4, 5, 6, 7g A \ B = f3, 4, 5g A B = () April 4, / 32
90 Dos conjuntos A y B son disjuntos si A \ B =. Ejemplo: Sea U = f1, 2, 3,..., 9, 10g el conjunto de referencia, A = f1, 2, 3, 4, 5g, B = f3, 4, 5, 6, 7g y C = f7, 8, 9g tenemos que: A [ B = f1, 2, 3, 4, 5, 6, 7g A \ B = f3, 4, 5g A B = f1, 2, 6, 7g = (A [ B) (A \ B) () April 4, / 32
91 Dos conjuntos A y B son disjuntos si A \ B =. Ejemplo: Sea U = f1, 2, 3,..., 9, 10g el conjunto de referencia, A = f1, 2, 3, 4, 5g, B = f3, 4, 5, 6, 7g y C = f7, 8, 9g tenemos que: A [ B = f1, 2, 3, 4, 5, 6, 7g A \ B = f3, 4, 5g A B = f1, 2, 6, 7g = (A [ B) (A \ B) A \ C = () April 4, / 32
92 Dos conjuntos A y B son disjuntos si A \ B =. Ejemplo: Sea U = f1, 2, 3,..., 9, 10g el conjunto de referencia, A = f1, 2, 3, 4, 5g, B = f3, 4, 5, 6, 7g y C = f7, 8, 9g tenemos que: A [ B = f1, 2, 3, 4, 5, 6, 7g A \ B = f3, 4, 5g A B = f1, 2, 6, 7g = (A [ B) (A \ B) A \ C = (son disjuntos) () April 4, / 32
93 Dos conjuntos A y B son disjuntos si A \ B =. Ejemplo: Sea U = f1, 2, 3,..., 9, 10g el conjunto de referencia, A = f1, 2, 3, 4, 5g, B = f3, 4, 5, 6, 7g y C = f7, 8, 9g tenemos que: A [ B = f1, 2, 3, 4, 5, 6, 7g A \ B = f3, 4, 5g A B = f1, 2, 6, 7g = (A [ B) (A \ B) A \ C = (son disjuntos) A [ C = () April 4, / 32
94 Dos conjuntos A y B son disjuntos si A \ B =. Ejemplo: Sea U = f1, 2, 3,..., 9, 10g el conjunto de referencia, A = f1, 2, 3, 4, 5g, B = f3, 4, 5, 6, 7g y C = f7, 8, 9g tenemos que: A [ B = f1, 2, 3, 4, 5, 6, 7g A \ B = f3, 4, 5g A B = f1, 2, 6, 7g = (A [ B) (A \ B) A \ C = (son disjuntos) A [ C = f1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9g = A C. () April 4, / 32
95 Teorema: Sean A y B dos conjuntos, entonces () April 4, / 32
96 Teorema: Sean A y B dos conjuntos, entonces 1. A \ B A A [ B. () April 4, / 32
97 Teorema: Sean A y B dos conjuntos, entonces 1. A \ B A A [ B. 3. A B = (A B) [ (B A) (Ejercicio) () April 4, / 32
98 Demostración. Tenemos que probar: a. A \ B A y b. A A [ B. () April 4, / 32
99 Demostración. Tenemos que probar: a. A \ B A y b. A A [ B. Demostración de a. Debemos probar que 8x : x 2 A \ B ) x 2 A. () April 4, / 32
100 Demostración. Tenemos que probar: a. A \ B A y b. A A [ B. Demostración de a. Debemos probar que 8x : x 2 A \ B ) x 2 A. x 2 A \ B ) def de \. () April 4, / 32
101 Demostración. Tenemos que probar: a. A \ B A y b. A A [ B. Demostración de a. Debemos probar que 8x : x 2 A \ B ) x 2 A. x 2 A \ B ) def de \. x 2 A ^ x 2 B ) p^q)p () April 4, / 32
102 Demostración. Tenemos que probar: a. A \ B A y b. A A [ B. Demostración de a. Debemos probar que 8x : x 2 A \ B ) x 2 A. x 2 A \ B ) def de \. x 2 A ^ x 2 B ) p^q)p x 2 A. () April 4, / 32
103 Demostración. Tenemos que probar: a. A \ B A y b. A A [ B. Demostración de a. Debemos probar que 8x : x 2 A \ B ) x 2 A. x 2 A \ B ) def de \. x 2 A ^ x 2 B ) p^q)p x 2 A. Demostración de b. Similar... () April 4, / 32
104 Teorema: Los conjuntos A y B son disjuntos si y sólo si A [ B = A B. () April 4, / 32
105 Teorema: Los conjuntos A y B son disjuntos si y sólo si A [ B = A B. Demostración. Usamos la ley lógica: p, q que es lógicamente equivalente a (p ) q) ^ (q ) p). () April 4, / 32
106 Teorema: Los conjuntos A y B son disjuntos si y sólo si A [ B = A B. Demostración. Usamos la ley lógica: p, q que es lógicamente equivalente a (p ) q) ^ (q ) p). En este caso: p : Los conjuntos A y B son disjuntos, es decir, A \ B = φ () April 4, / 32
107 Teorema: Los conjuntos A y B son disjuntos si y sólo si A [ B = A B. Demostración. Usamos la ley lógica: p, q que es lógicamente equivalente a (p ) q) ^ (q ) p). En este caso: p : Los conjuntos A y B son disjuntos, es decir, A \ B = φ q : A [ B = A B () April 4, / 32
108 a. Probemos que el condicional p ) q es verdadero. () April 4, / 32
109 a. Probemos que el condicional p ) q es verdadero. Supongamos que p es verdadera y demostraremos A [ B = A B, lo haremos por la doble inclusión (A [ B A B y A B A [ B) () April 4, / 32
110 a. Probemos que el condicional p ) q es verdadero. Supongamos que p es verdadera y demostraremos A [ B = A B, lo haremos por la doble inclusión (A [ B A B y A B A [ B) A) Veamos que A [ B A B. Sea x 2 A [ B. () April 4, / 32
111 a. Probemos que el condicional p ) q es verdadero. Supongamos que p es verdadera y demostraremos A [ B = A B, lo haremos por la doble inclusión (A [ B A B y A B A [ B) A) Veamos que A [ B A B. Sea x 2 A [ B. Por hipótesis los conjuntos A y B son disjuntos (A \ B = φ), entonces x /2 A \ B. () April 4, / 32
112 a. Probemos que el condicional p ) q es verdadero. Supongamos que p es verdadera y demostraremos A [ B = A B, lo haremos por la doble inclusión (A [ B A B y A B A [ B) A) Veamos que A [ B A B. Sea x 2 A [ B. Por hipótesis los conjuntos A y B son disjuntos (A \ B = φ), entonces x /2 A \ B. Luego, x 2 A [ B y x /2 A \ B. () April 4, / 32
113 a. Probemos que el condicional p ) q es verdadero. Supongamos que p es verdadera y demostraremos A [ B = A B, lo haremos por la doble inclusión (A [ B A B y A B A [ B) A) Veamos que A [ B A B. Sea x 2 A [ B. Por hipótesis los conjuntos A y B son disjuntos (A \ B = φ), entonces x /2 A \ B. Luego, x 2 A [ B y x /2 A \ B. Por lo tanto x 2 A B (por de nición de ) () April 4, / 32
114 a. Probemos que el condicional p ) q es verdadero. Supongamos que p es verdadera y demostraremos A [ B = A B, lo haremos por la doble inclusión (A [ B A B y A B A [ B) A) Veamos que A [ B A B. Sea x 2 A [ B. Por hipótesis los conjuntos A y B son disjuntos (A \ B = φ), entonces x /2 A \ B. Luego, x 2 A [ B y x /2 A \ B. Por lo tanto x 2 A B (por de nición de ) Luego hemos probado que A [ B A B () April 4, / 32
115 B) Veamos que A B A [ B. () April 4, / 32
116 B) Veamos que A B A [ B. x 2 A B () April 4, / 32
117 B) Veamos que A B A [ B. x 2 A B ) x 2 ((A [ B) def. de (A \ B)) () April 4, / 32
118 B) Veamos que A B A [ B. x 2 A B ) x 2 ((A [ B) def. de (A \ B)) ) def. de x 2 (A [ B) ^ x /2 (A \ B) () April 4, / 32
119 B) Veamos que A B A [ B. x 2 A B ) x 2 ((A [ B) def. de (A \ B)) ) def. de x 2 (A [ B) ^ x /2 (A \ B) ) x 2 (A [ B) s^t)s () April 4, / 32
120 B) Veamos que A B A [ B. x 2 A B ) x 2 ((A [ B) def. de (A \ B)) ) def. de x 2 (A [ B) ^ x /2 (A \ B) Luego hemos probado que ) x 2 (A [ B) s^t)s A B A [ B () April 4, / 32
121 B) Veamos que A B A [ B. x 2 A B ) x 2 ((A [ B) def. de (A \ B)) ) def. de x 2 (A [ B) ^ x /2 (A \ B) Luego hemos probado que Por lo tanto resulta: ) x 2 (A [ B) s^t)s A B A [ B q : A [ B = A B es verdad. () April 4, / 32
122 b. Probemos que la implicación q ) p es verdadera. () April 4, / 32
123 b. Probemos que la implicación q ) p es verdadera. Haremos una demostración por el contrarecíproco, es decir probaremos: v p )v q lo cual es: A \ B 6= φ ) A [ B 6= A B. () April 4, / 32
124 b. Probemos que la implicación q ) p es verdadera. Haremos una demostración por el contrarecíproco, es decir probaremos: v p )v q lo cual es: A \ B 6= φ ) A [ B 6= A B. A \ B 6= φ () April 4, / 32
125 b. Probemos que la implicación q ) p es verdadera. Haremos una demostración por el contrarecíproco, es decir probaremos: v p )v q lo cual es: A \ B 6= φ ) A [ B 6= A B. A \ B 6= φ ) 9y : y 2 A \ B () April 4, / 32
126 b. Probemos que la implicación q ) p es verdadera. Haremos una demostración por el contrarecíproco, es decir probaremos: v p )v q lo cual es: A \ B 6= φ ) A [ B 6= A B. A \ B 6= φ ) 9y : y 2 A \ B ) A\B A[B 9y : y 2 A \ B ^ y 2 A [ B () April 4, / 32
127 b. Probemos que la implicación q ) p es verdadera. Haremos una demostración por el contrarecíproco, es decir probaremos: v p )v q lo cual es: A \ B 6= φ ) A [ B 6= A B. A \ B 6= φ ) 9y : y 2 A \ B ) A\B A[B 9y : y 2 A \ B ^ y 2 A [ B ) 9y : y 2 A [ B ^ y /2 A B def. de () April 4, / 32
128 b. Probemos que la implicación q ) p es verdadera. Haremos una demostración por el contrarecíproco, es decir probaremos: v p )v q lo cual es: A \ B 6= φ ) A [ B 6= A B. A \ B 6= φ ) 9y : y 2 A \ B como queríamos demostrar. ) A\B A[B 9y : y 2 A \ B ^ y 2 A [ B ) 9y : y 2 A [ B ^ y /2 A B def. de ) A [ B 6= A B def. de = () April 4, / 32
129 Sean A, B y C conjuntos, entonces se veri can las siguientes igualdades: Involución A = A () April 4, / 32
130 Sean A, B y C conjuntos, entonces se veri can las siguientes igualdades: Involución Idempotencia A = A A [ A = A A \ A = A () April 4, / 32
131 Sean A, B y C conjuntos, entonces se veri can las siguientes igualdades: Involución Idempotencia Conmutatividad A = A A [ A = A A \ A = A A [ B = B [ A A \ B = A \ B () April 4, / 32
132 Sean A, B y C conjuntos, entonces se veri can las siguientes igualdades: Involución Idempotencia Conmutatividad Asociatividad A = A A [ A = A A \ A = A A [ B = B [ A A \ B = A \ B A [ (B [ C ) = (A [ B) [ C A \ (B \ C ) = (A \ B) \ C () April 4, / 32
133 Sean A, B y C conjuntos, entonces se veri can las siguientes igualdades: Involución Idempotencia Conmutatividad Asociatividad Distributividad A = A A [ A = A A \ A = A A [ B = B [ A A \ B = A \ B A [ (B [ C ) = (A [ B) [ C A \ (B \ C ) = (A \ B) \ C A [ (B \ C ) = (A [ B) \ (A [ C ) A \ (B [ C ) = (A \ B) [ (A \ C ) () April 4, / 32
134 Sean A, B y C conjuntos, entonces se veri can las siguientes igualdades: Involución Idempotencia Conmutatividad Asociatividad Distributividad Leyes de De Morgan A = A A [ A = A A \ A = A A [ B = B [ A A \ B = A \ B A [ (B [ C ) = (A [ B) [ C A \ (B \ C ) = (A \ B) \ C A [ (B \ C ) = (A [ B) \ (A [ C ) A \ (B [ C ) = (A \ B) [ (A \ C ) A [ B = A \ B A \ B = A [ B () April 4, / 32
135 Sean A, B y C conjuntos, entonces se veri can las siguientes igualdades: Involución Idempotencia Conmutatividad Asociatividad Distributividad Leyes de De Morgan Ley de Absorción A = A A [ A = A A \ A = A A [ B = B [ A A \ B = A \ B A [ (B [ C ) = (A [ B) [ C A \ (B \ C ) = (A \ B) \ C A [ (B \ C ) = (A [ B) \ (A [ C ) A \ (B [ C ) = (A \ B) [ (A \ C ) A [ B = A \ B A \ B = A [ B A [ (A \ B) = A A \ (A [ B) = A () April 4, / 32
136 Sean A, B y C conjuntos, entonces se veri can las siguientes igualdades: Involución Idempotencia Conmutatividad Asociatividad Distributividad Leyes de De Morgan Ley de Absorción Universo y Vacío A = A A [ A = A A \ A = A A [ B = B [ A A \ B = A \ B A [ (B [ C ) = (A [ B) [ C A \ (B \ C ) = (A \ B) \ C A [ (B \ C ) = (A [ B) \ (A [ C ) A \ (B [ C ) = (A \ B) [ (A \ C ) A [ B = A \ B A \ B = A [ B A [ (A \ B) = A A \ (A [ B) = A A [ A = U A [ U = U A [ φ = A A \ A = φ A \ U = A A \ φ = φ () April 4, / 32
137 Ejemplo: Mostrar que A = (A \ B) [ (A \ B). () April 4, / 32
138 Ejemplo: Mostrar que A = (A \ B) [ (A \ B). Una primera alternativa (que no constituye una prueba rigurosa pero puede ser una buena guía) consistiría en dibujar un diagrama de Venn y convencerse de la igualdad... () April 4, / 32
139 Ejemplo: Mostrar que A = (A \ B) [ (A \ B). Una primera alternativa (que no constituye una prueba rigurosa pero puede ser una buena guía) consistiría en dibujar un diagrama de Venn y convencerse de la igualdad... Para una prueba rigurosa podríamos utilizar, como lo hemos venido haciendo, de doble inclusión. () April 4, / 32
140 Ejemplo (continuación) Sin embargo existe otro procedimiento que consiste en transformar un conjunto en otro, por medio de propiedades ya establecidas. () April 4, / 32
141 Ejemplo (continuación) Sin embargo existe otro procedimiento que consiste en transformar un conjunto en otro, por medio de propiedades ya establecidas. (A \ B) [ (A \ B) Propiedades () April 4, / 32
142 Ejemplo (continuación) Sin embargo existe otro procedimiento que consiste en transformar un conjunto en otro, por medio de propiedades ya establecidas. (A \ B) [ (A \ B) = A [ (A \ B) \ B [ (A \ B) (4) Propiedades () April 4, / 32
143 Ejemplo (continuación) Sin embargo existe otro procedimiento que consiste en transformar un conjunto en otro, por medio de propiedades ya establecidas. (A \ B) [ (A \ B) = A [ (A \ B) \ B [ (A \ B) (4) Propiedades = A [ (A \ B) \ B [ (A \ B) (2) y (4) () April 4, / 32
144 Ejemplo (continuación) Sin embargo existe otro procedimiento que consiste en transformar un conjunto en otro, por medio de propiedades ya establecidas. (A \ B) [ (A \ B) = A [ (A \ B) \ B [ (A \ B) (4) Propiedades = A [ (A \ B) \ B [ (A \ B) (2) y (4) = A \ (B [ A) \ B [ B (8) () April 4, / 32
145 Ejemplo (continuación) Sin embargo existe otro procedimiento que consiste en transformar un conjunto en otro, por medio de propiedades ya establecidas. (A \ B) [ (A \ B) = A [ (A \ B) \ B [ (A \ B) (4) Propiedades = A [ (A \ B) \ B [ (A \ B) (2) y (4) = A \ (B [ A) \ B [ B (8) = A \ [(B [ A) \ U] (8) y (3) () April 4, / 32
146 Ejemplo (continuación) Sin embargo existe otro procedimiento que consiste en transformar un conjunto en otro, por medio de propiedades ya establecidas. (A \ B) [ (A \ B) = A [ (A \ B) \ B [ (A \ B) (4) Propiedades = A [ (A \ B) \ B [ (A \ B) (2) y (4) = A \ (B [ A) \ B [ B (8) = A \ [(B [ A) \ U] (8) y (3) = A \ (A [ B) (7) () April 4, / 32
147 Ejemplo (continuación) Sin embargo existe otro procedimiento que consiste en transformar un conjunto en otro, por medio de propiedades ya establecidas. (A \ B) [ (A \ B) = A [ (A \ B) \ B [ (A \ B) (4) Propiedades = A [ (A \ B) \ B [ (A \ B) (2) y (4) = A \ (B [ A) \ B [ B (8) = A \ [(B [ A) \ U] (8) y (3) = A \ (A [ B) (7) = A () April 4, / 32
148 Ejemplo: Simpli car la siguiente expresión: (A [ B) \ C [ B (A [ B) \ C [ B Razones () April 4, / 32
149 Ejemplo: Simpli car la siguiente expresión: (A [ B) \ C [ B (A [ B) \ C [ B Razones = (A [ B) \ C [ B (6) Leyes de De Morgan () April 4, / 32
150 Ejemplo: Simpli car la siguiente expresión: (A [ B) \ C [ B (A [ B) \ C [ B Razones = (A [ B) \ C [ B (6) Leyes de De Morgan = (A [ B) \ C \ B (1) Involución () April 4, / 32
151 Ejemplo: Simpli car la siguiente expresión: (A [ B) \ C [ B (A [ B) \ C [ B Razones = (A [ B) \ C [ B (6) Leyes de De Morgan = (A [ B) \ C \ B (1) Involución = ((A [ B) \ C ) \ B (4) Asociativa () April 4, / 32
152 Ejemplo: Simpli car la siguiente expresión: (A [ B) \ C [ B (A [ B) \ C [ B Razones = (A [ B) \ C [ B (6) Leyes de De Morgan = (A [ B) \ C \ B (1) Involución = ((A [ B) \ C ) \ B (4) Asociativa = (A [ B) \ (C \ B) (3) Conmutativas () April 4, / 32
153 Ejemplo: Simpli car la siguiente expresión: (A [ B) \ C [ B (A [ B) \ C [ B Razones = (A [ B) \ C [ B (6) Leyes de De Morgan = (A [ B) \ C \ B (1) Involución = ((A [ B) \ C ) \ B (4) Asociativa = (A [ B) \ (C \ B) (3) Conmutativas = (A [ B) \ (B \ C ) (4) Asociativa () April 4, / 32
154 Ejemplo: Simpli car la siguiente expresión: (A [ B) \ C [ B (A [ B) \ C [ B Razones = (A [ B) \ C [ B (6) Leyes de De Morgan = (A [ B) \ C \ B (1) Involución = ((A [ B) \ C ) \ B (4) Asociativa = (A [ B) \ (C \ B) (3) Conmutativas = (A [ B) \ (B \ C ) (4) Asociativa = [(A [ B) \ B] \ C (7) Absorción () April 4, / 32
155 Ejemplo: Simpli car la siguiente expresión: (A [ B) \ C [ B (A [ B) \ C [ B Razones = (A [ B) \ C [ B (6) Leyes de De Morgan = (A [ B) \ C \ B (1) Involución = ((A [ B) \ C ) \ B (4) Asociativa = (A [ B) \ (C \ B) (3) Conmutativas = (A [ B) \ (B \ C ) (4) Asociativa = [(A [ B) \ B] \ C (7) Absorción = B \ C () April 4, / 32
En general, un conjunto A se define seleccionando los elementos de un cierto conjunto U de referencia que cumplen una determinada propiedad.
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