TEMA 2. TEORÍA DE CONJUNTOS

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1 TEMA 2. TEORÍA DE CONJUNTOS 1. Introducciónalalógica de proposiciones 1.1 Definición. Una proposición es una oración declarativa de la cual se puede decir sin ambigüedad si es verdadera o falsa. 1.2 Definición. Sea p y q proposiciones. Vamos a definir nuevas proposiciones a partir de éstas: i) Definimos la proposición p como no p. Esta es verdadera si p es falsa y falsa si p es verdadera. ii) Definimos la proposición p q como p o q. Esta será verdadera cuando p, q o ambas son verdaderas y falsa cuando p y q lo son. iii) Definimos p q como p y q. Esta es verdadera cuando p y q lo son y falsa en otro caso. iv) Definimos p q como si p entonces q. Esta es verdadera excepto cuando p es verdadera y q es falsa. v) Definimos p q como p si y sólo si q. Esta es verdadera cuando ambas son verdaderas o ambas falsas y falsa en otro caso. Si p q es verdadera diremos que p y q son equivalentes. Laproposición p q coincide con (p q) (q p). Si 1 representa verdadero y 0 falso, lo anterior se puede resumir en la siguiente tabla: 1

2 p q p q p q p q p q Notas. Sean p y q proposiciones: i) p q es verdadera q p es verdadera. La proposición q p recibe el nombre de contrarecíproco de p q. ii) p q es verdadera p q p es verdadera. También p q es verdadera p q q es verdadera. Cuando para demostrar que p q es verdadera se prueba la veracidad de una de las proposiciones anteriores, se dice que que se demuestra p q por reducción al absurdo y cuando se logra, se dice que hemos llegado a contradicción. 2. Elementos de la teoría de conjuntos Damos la definición de conjunto dada por G. Cantor: 2.1 Definición. Un conjunto es la reunión en un todo de determinados objetos bien definidos y diferenciables los unos de los otros. 2.2 Ejemplos. A = {a, b, c}, R, N, C, etc... Adoptaremos esta definición de conjunto aunque no sea del todo rigurosa. 2.3 Definición. Si A es un conjunto, a los objetos que lo forman se les llaman elementos. Si un conjunto A es finito,alnúmero de elementos se le llama cardinal de A y se denota A. Sia es un elemento de A escribiremos a A. Sedefine el conjunto vacío como el conjunto que no tiene ningún elemento. El conjunto vacío se denota. 2.4 Definición. Dos conjuntos A y B son iguales si tienen los mismos elementos y se denota A = B. Hay dos formas de describir un conjunto: 2

3 1) Enumerando sus elementos: A = {1, 2, 3, 4, 5}. 2) Definiéndolo por las propiedades que verifican sus elementos: A = {x N x 5}. 2.5 Definición. Un conjunto B se dice que es subconjunto de un conjunto A si cada elemento de B es elemento de A. Lo denotaremos B A. Así: B A (x B x A). Claramente A para todo conjunto A. Además, si A B y B C entonces A C. También claramente A = B (A B B A). 2.6 Definición. Si A X definimos el complementario de A en X ysedenota A X = {x X x/ A}. 2.7 Definición. Dado X es un conjunto se define el conjunto de las partes de X como el conjunto formado por todos los subconjuntos de X y se denota P(X). Así: P(X) ={A A X}. Volviendoalalógica, damos las siguientes definiciones: 2.8 Definición. Sea X un conjunto no vacío y{p(x)} x X un conjunto donde para cada x X, p(x) es una proposición. i) Definimos la proposición x X, p(x) como la proposición para todo x X se satisface p(x) la cual es verdadera si siempre p(x) es verdadera para cualquier x X y falsa en otro caso. ii) Definimos la proposición x X, p(x) como existe al menos un x X para elquesesatisfacep(x). Esta proposición es verdadera si para algún x X p(x) es verdaderayfalsaenotrocaso. 3

4 iii) Se define la proposición!x X, p(x) como existe un único x X para el quesesatisfacep(x). La negación de x X, p(x) es x X, p(x). La negación de x X, p(x) es x X, p(x). 3. Operaciones con conjuntos 3.1 Definición. Sean A, B conjuntos. i) Se define A unión B y se denota A B a: A B = {x x A x B}. ii) Se define A intersección B y se denota A B a: A B = {x x A x B}. iii) Se define A \ B = {x x A x/ B}. 3.2 Ejemplo. Sea A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 4, 6}. Entonces A B = {2, 4}, A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A \ B = {1, 3, 5} y B \ A = {6}. 3.3 Propiedades. 1. Propiedad asociativa. A (B C) =(A B) C. A (B C) =(A B) C. 2. Propiedad conmutativa. A B = B A. A B = B A. 3. A = A. A =. 4

5 4. Propiedad distributiva. A (B C) =(A B) (A C). A (B C) =(A B) (A C). 5. Leyes de De Morgan. Supongamos que A, B X. Entonces: (A B) X = A X B X. (A B) X = A X B X. 3.4 Definición. Dados A, B conjuntos se define el producto cartesiano de A y B ysedenotaa B a: A B = {(a, b) a A b B}. Si A 1,A 2,...,A n son conjuntos, se define el producto cartesiano de A 1,A 2,...,A n y se denota A 1 A 2... A n a: A 1 A 2... A n = {(a 1,a 2,...,a n ) a i A i, 1 i n}. Dado A un conjunto y n N de define: A n = n veces z } { A A... A = {(a 1,a 2,...,a n ) a i A, 1 i n}. 3.5 Ejemplo. R 3 = {(x, y, z) x, y, z R}. (1, 2, 3), (0, 0, 0), etc... R Propiedades de las relaciones binarias 4.1 Definición. Si A es un conjunto, una relación binaria en A es un subconjunto R de A A. Si(a, b) R escribiremos arb. 4.2 Definición. Si R es una relación binaria definida en un conjunto A: i) Diremos que R es reflexiva si cumple que si a A entonces ara. ii) Diremos que R es simétrica si cumple que si a, b A y arb entonces bra. iii) Diremos que R es antisimétrica si cumple que si a, b A cumplen que arb y bra entonces a = b. 5

6 iv) Diremos que R es transitiva si cumple que si a, b, c A cumpliendo que arb y brc entonces arc. 4.3 Definición. Se define una relación binaria de equivalencia como una relación binaria que satisface las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva. 4.4 Ejemplos. 1. Si consideramos en el conjunto A formado por los alumnos de este aula la relación binaria: Si a, b A, arb si a y b hannacidoenlamismaciudad es una relación binaria de equivalencia. 2. Si A = { a b a, b Z,b 6= 0}, que es el conjunto de las fracciones de números enteros, la relación binaria en A: Si a b, c d A entonces a b R c d si a d = b c es una relación binaria de equivalencia. 3. La relación binaria en N : Si a, b N, arb si a divide a b no es una relación binaria de equivalencia ya que no satisface la propiedad simétrica. 4.5 Definición. Sea R una relación un relación binaria de equivalencia definida en un conjunto A. Sia A, sedefine la clase de equivalencia de a como: [a] R = {b a arb}. 5. Relaciones binarias de orden 5.1 Definición. Si A es un conjunto, una relación binaria en A es un subconjunto R de A A. Si(a, b) R escribiremos arb. 5.2 Definición. Dado A un conjunto, una relación binaria en A se dice que es una relación binaria de orden (RBO) si verifica: i) a a a A. (Propiedad Reflexiva). ii) Si a, b A a b b a a = b. (Propiedad Antisimétrica). 6

7 iii) Si a, b, c A a b b c a c. (Propiedad Transitiva). Unconjuntoordenadoesunpar(A, ) donde A es un conjunto y es una RBO definida en A. Si (A, ) es un conjunto ordenado y a, b A escribiremos a 6 b si no se verifica a b y a<bsi a b y a 6= b. 5.3 Ejemplos. Damos algunos ejemplos de conjuntos ordenados. 1. (N, ), (R, ) son conjuntos ordenados donde es el orden habitual. 2. Si X es un conjunto, (P(X), ) es un conjunto ordenado. 3. (N, ) es un conjunto ordenado donde si n, m N, n m n es divisor de m. Observemos que existen conjuntos ordenados (A, ) talesqueexistena, b A con a 6 b y b 6 a. Por ejemplo, en (N, ), y Definición. Sea A un conjunto ordenado, B A y b B. i) Diremos que b es un elemento maximal de B si no existe b B con b b y b 6= b. ii) Diremos que b es un elemento minimal de B si no existe b B con b b y b 6= b. 5.5 Definición. Sea (A, ) un conjunto ordenado, B A y a A. i) Diremos que a esunacotasuperiordeb si b a b B. ii) Diremos que a esunacotainferiordeb si a b b B. iii) Diremos que a es el supremo de B si: a) a es una cota superior de B. b) Si ã es otra cota superior de B entonces a ã. Si a es el supremo de B escribiremos a =supb. iv) Diremos que a es el ínfimo de B si: a) a es una cota inferior de B. b) Si ã es otra cota inferior de B entonces ã a. Si a es el ínfimo de B escribiremos a =infb. 7

8 5.6 Ejemplo. Sea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}. Consideremos en A la RBO = ser divisor. Entonces (A, ) es un conjunto ordenado. Claramente 1 es el único elemento minimal y 5, 6, 8 son los elementos maximales de A. Si B = {2, 4}, 4 y 8 son las cotas superiores y 1 y 2 son las cotas inferiores de B. Si C = {2, 5}, este subconjunto no tiene cotas superiores y por tanto no tiene supremo. Sin embargo, 1 es una cota inferior de B(es la única) y infb =1. 6. Aplicaciones 6.1 Definición. Una aplicación es una terna f =(A, B, F ) donde A, B son conjuntos y F A B tal que a A! b B tal que (a, b) F. Escribiremos f : A B y diremos que A es el conjunto inicial y B es el conjunto final. Si (a, b) F diremos que b es la imagen de a por f y escribiremos f(a) =b. También diremos que a es una antiimagen de b. 6.2 Ejemplos. Sea A = {1, 2, 3}, B = {a, b, c}. 1. Si F = {(1,a),(2,b)} entonces f =(A, B, F ) no es una aplicación dado que 3 no tiene imagen. 2. Si G = {(1,a),(1,b),(2,c),(3,c)} entonces g =(A, B, G) no es aplicación dado que (1,a),(1,b) G. 3. Si H = {(1,a),(2,a),(3,c)} entonces h =(A, B, H) es aplicación. Observemos que 1, 2 son antiimagenes de a y b no tiene antiimagenes. 4. Sea f 1 =(R, R,F 1 )conf 1 = {(x, x 2 ) x R}. Entonces f 1 es una aplicación ya que todo número real tiene cuadrado y sólo uno. 5. f 2 =(R, R,F 2 ) tal que f 2 (x) = x no es aplicación ya que por ejemplo 1 no tiene raíz cuadrada. Sin embargo, f 2 =((R +, R, F 2 )conf 2 (x) = x es aplicación. 6. Si A es un conjunto, definimos 1 A : A A tal que 1 A (a) =a a A. 1 A es aplicación y recibe el nombre de aplicación identidad de A. 8

9 Observemos que dos aplicaciones f 1 =(A 1,B 1,F 1 )yf 2 =(A 2,B 2,F 2 ) son iguales si A 1 = A 2, B 1 = B 2 y F 1 = F 2 (o sea, si x A 1 = A 2, f 1 (x) =f 2 (x)). 6.3 Definición. Sea f : A B una aplicación. i) Si à A se define el conjunto imagen de à y se denota f(ã) a: f(ã) ={f(a) a Ã}. Como caso particular se define Imf = f(a) ={f(a) a A}. 6.4 Definición. Sea f : A B una aplicación. i) Diremos que f es inyectiva si se verifica: Si a 1,a 2 A f(a 1 )=f(a 2 ) a 1 = a 2 o equivalentemente: Si a 1,a 2 A a 1 6= a 2 f(a 1 ) 6= f(a 2 ). ii) Diremos que f es suprayectiva si Imf = B. Dado que siempre Imf B lo anterior es equivalente a que B Imf osea,si b B a A f(a) =b. iii) Diremos que f es biyectiva si es inyectiva y suprayectiva. 6.5 Ejemplos. 1. f 1 : R R tal que f 1 (x) =2x + 1 es una aplicación biyectiva. 2. f 2 : R R tal que f 2 (x) =x 2 es una aplicación que no es inyectiva ni suprayectiva. 3. f 3 : R R + {0} tal que f 3 (x) =x 2 es una aplicación suprayectiva pero no inyectiva. 4. f 4 : R + R tal que f 4 (x) =x 2 es una aplicación inyectiva pero no suprayectiva. 6.6 Definición. Sea f : A B una aplicación biyectiva. Entonces es trivial que f 1 : B A f 1 (b) =a donde a A con f(a) =b es un aplicación biyectiva. A f 1 se le llama aplicación inversa de f. 9

10 6.7 Definición. Sea f : A B, g : B C aplicaciones (observemos que el codominio de f coincide con el dominio de g). Entonces si g f : A C (g f)(a) =g(f(a)) a A, g f es una aplicación que recibe el nombre de aplicación composición de g con f. 6.8 Ejemplo. Sea f : R R f(x) =x 2 y g : R R g(x) =x + 2. Entonces: f g : R R (f g)(x) =f(g(x)) = f(x +2)=(x +2) 2 = x 2 +4x +4. g f : R R (g f)(x) =g(f(x)) = g(x 2 )=x Problemas. 1. Consideramos las proposiciones: p = Marte es un estrella. q = 2+2=4. r = Una hora son 60 minutos. s = La única solución de la ecuación x 2 4 = 0 es 2. Disilassiguientesproposicionessonverdaderasofalsas: p q, p q, p s, p s, p q, p s, q r, p q, p s, (p q) s, r s, q r, p s. 2. Consideramos los subconjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 3, 6}, C = {2, 5}, D = del conjunto X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Calcula: A X, D X, X X, A B, A \ C, B C, C D, X D, A X (B C), A (B C), C X (A X B X, B C. 3. Analiza las propiedades de las siguientes relaciones binarias en el conjunto A = {1, 3, 6} ydicuáles son relación binaria de orden y cuáles de equivalencia: i) Si a, b A, arb si a = b. ii) R = {(1, 1), (1, 3), (1, 6), (3, 3), (3, 6), (6, 6)} 10

11 iii) R = A A. iv) Si a, b A, arb si b a =2. 4. En el conjuntode las fracciones F = { a b a, b Z,b 6= 0} consideramos la relación binaria: Si a b, c d F, a b R c d si a + d = b + c. de 1 2. Demuestra que es una relación binaria de equivalencia y calcula la clase de equivalencia 5. Indica cuáles de las siguientes correspondencias son aplicaciones y en caso afirmativo estudia si son inyectivas, suprayectivas y biyectivas. i) f =(A, B, F )dondea = {1, 2, 3, 4}, B = {1} y F = {(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1)}. ii) f =(A, B, F ) donde A = {1, 2}, B = {1, 2, 3} y F = {(1, 2)}. iii) f =(A, B, F ) donde A = {1, 2, 3}, B = {1, 2} y F = {(1, 2), (2, 1), (3, 1), (3, 2)}. iv) f =(A, B, F )dondea = {1, 2, 3}, B = {1, 2} y F = {(1, 2), (2, 1), (3, 1)}. v) f =(A, B, F ) donde A = {1}, B = {1, 2, 3} y F = {(1, 3)}. vi) f =(A, B, F )dondea = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3} y F = {(1, 3), (2, 1), (3, 2)}. 6. Estudia si son inyectivas, suprayectivas y biyectivas las siguientes aplicaciones: i) f : R R f(x) =2x 1. ii) f : R R f(x) =x 2 4. iii)f : R 2 R + {0} f(x, y) = x y. iv) f : N R f(x) =x. v) f : N N f(x) =x. vi) f : R \{ 1} R f(x) = x+2 x+1. vii) f : R 2 R 2 f(x) =(x +1,x 2 ). 11