Funciones reales de variable real

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1 84 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR Tema 8 Funciones reales de variable real 8. Los números reales Los números reales son de sobra conocidos, sus operaciones básicas así como su identificación con los puntos de la recta real, por lo que sólo vamos a mencionar aquí algunas de sus propiedades (la mayoría conocidas) que son imprescindibles en el desarrollo de este tema. Propiedades de orden 74.- Denotaremos por IR + = x IR : x > 0 y IR = x IR : x < 0.- Antisimétrica: Si x y e y x = x = y..- Transitiva: Si x y e y z = x z. 3.- Total: Para cualesquiera x, y IR: o bien x y, o bien y x. 4.- Si x y, entonces x + z y + z para todo z IR (si x < y = x + z < y + z ). 5.- Si x y, entonces x z y z para todo z IR + (si x < y = x z < y z ). 6.- Si x y, entonces x z y z para todo z IR (si x < y = x z > y z ). 7.- Si 0 < x < y, entonces 0 < y < x. Las propiedades de acotación siguientes garantizan que los números reales llenan la recta real, lo que nos permite decir que recorremos de manera continua un subconjunto de IR. Definición 75.- Sea A IR, diremos que el conjunto A está acotado superiormente si existe algún K IR tal que x K, para todo x A; es decir, todos los elementos de A son menores que K. Del valor K diremos que es una cota superior de A. Análogamente, A está acotado inferiormente si existe k IR tal que k x, para todo x A y diremos que k es una cota inferior de A. Diremos que A está acotado si lo está superior e inferiormente. Propiedad del extremo superior 76.- Todo subconjunto no vacío A IR y acotado superiormente admite una cota superior mínima, es decir, Γ IR tal que: a) x Γ; x A b) Si K < Γ, entonces x A verificando que K < x Γ. Se dice que Γ es el extremo superior o supremo de A y se denota por sup A ó ext sup A. Si Γ pertenece a A, se dice que Γ es el máximo de A, y escribiremos máx A = Γ. Propiedad del extremo inferior 77.- Todo subconjunto no vacío A IR acotado inferiormente admite una cota inferior máxima, es decir, γ IR tal que: a) γ x; x A b) Si γ < k, entonces x A verificando que γ x < k. Se dice que γ es el extremo inferior o ínfimo de A y se denota por inf A ó ext inf A. Si γ pertenece a A, se dice que γ es el mínimo de A, y escribiremos mín A = γ. Nota: Que Γ = sup A es equivalente a que para cada ε > 0 existe x A con Γ ε < x Γ. Es decir, que para cualquier valor más pequeño que el superior hay algún elemento del conjunto más grande que él. Análogamente, γ = inf A para cada ε > 0 existe x A con γ x < γ + ε. El conjunto A = n : n IN =,, 3, 4,... está acotado superior e inferiormente.

2 85 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR 8. Los números reales En efecto, n < para todo n, luego es una cota superior del conjunto (de hecho, cualquier número mayor o igual a lo es). También está acotado inferiormente, pues n es positivo luego 0 < n para todo n y 0 es una cota inferior de A (cualquier número negativo es también una cota inferior). Luego A es un conjunto acotado y tiene supremo e ínfimo: como el supremo es la mínima cota superior, sup A =, pues es una cota superior y si K <, existe el A tal que K < sup A = luego K no es una cota y es la más pequeña. Como el ínfimo es la máxima cota inferior, inf A = 0, pues es una cota y para cualquier k > 0, puedo encontrar un n suficientemente grande para que 0 < n < k (por ejemplo, para k = , se tiene que 0 < 0000 < = k ). Además, sup A = A luego máx A = ; lo que no ocurre con el ínfimo, pues inf A = 0 / A, luego mín A. 8.. Valor absoluto de un número real Definición 78.- Sea a IR, se llama valor absoluto de a, y se representa por a, al número real dado por a = + a, si a 0 a = a, si a < 0 Propiedades del valor absoluto 79.- a) a 0, a y a = 0 a = 0 b) ab = a b c) a = a d) a k k a k e) a + b a + b f) a b a b El valor absoluto y su uso como distancia es clave en las definiciones de conjuntos y conceptos como el límite y la continudad, la derivación e integración. Nota: Con el valor absoluto, diremos que A es acotado existe K > 0 tal que x K, x A. El conjunto A =,, 3, 4,... del ejemplo anterior está acotado pues para todo n. n 8.. Intervalos y entornos en IR Los subconjuntos de IR, están formados por puntos separados o por intervalos ( trozos ) de la recta real o por uniones de ellos; pero no sólo eso, sino que la validez de algunos resultados depende del tipo de intervalo usado. Pero además, los intervalos centrados en un punto (que llamaremos entornos) son básicos en la construcción de la mayoría de los conceptos del Cálculo. Definición 80.- Dados los números reales a y b con a b, se llama intervalo abierto de extremos a y b, y se representa por (a, b), al conjunto: (a, b) = x IR : a < x < b. Se llama intervalo cerrado de extremos a y b, y se representa por [a, b], al conjunto: [a, b] = x IR : a x b. Análogamente se definen: (a, b] = x IR : a < x b y [a, b) = x IR : a x < b y los intervalos no acotados: (a, + ) = x IR : a < x y [a, + ) = x IR : a x (, b) = x IR : x < b y (, b] = x IR : x b En los intervalos cerrados, inf[a, b] = mín[a, b] = a y sup[a, b] = máx[a, b] = b, mientras que en los abiertos inf(a, b) = a y sup(a, b) = b pero no tiene ni máximo ni mínimo. En los no acotados, como [a, + ), se tiene inf[a, + ) = mín[a, + ) = a pero no existe el superior (a veces se escribe sup A = +, para indicar que el conjunto no está acotado superiomente). Naturalmente, IR es también un intervalo IR = (, + ). Y, [a, a] = a pero (a, a) = (a, a] = [a, a) =. Definición 8.- Llamaremos entorno de centro a y radio ε > 0, y escribiremos E(a, ε), al conjunto: E(a, ε) = x IR : x a < ε = x IR : a ε < x < a + ε = (a ε, a + ε). Llamaremos entorno reducido de centro a y radio ε > 0, E (a, ε), al conjunto E (a, ε) = E(a, ε) a = x IR : 0 < x a < ε.

3 86 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR 8. Funciones reales de variable real 8..3 Algunas operaciones con números reales Potencias racionales y reales de un número real Las potencias racionales, x r, se definen paulatinamente a partir de las potencias naturales: para n IN y x IR, definimos x n = x x n) x. para z Z y x IR 0, definimos x 0 = y si z < 0, x z = (x ) z. para n IN y x IR +, definimos x n = n x como el α IR tal que α n = x para r = z n, con z Z y n IN, y x IR+, definimos x z n = n x z. y se verifican las siguientes propiedades: () x r y r = (xy) r () x r x s = x r+s (3) (x r ) s = x rs (4) Si 0 < x < y, entonces 0 < x r < y r si r > 0 y 0 < y r < x r si r < 0 (5) Si r < s se tiene que x r < x s cuando x > y x s > x r cuando 0 < x <. n Antes de terminar, un pequeño apunte sobre las raices n-ésimas, x para x 0: si n es impar, existe un único número real α > 0 tal que α n = x; y si n es par, existe un único número real α > 0 tal que α n = x y ( α) n = x. Por ello, si n es par siempre se escribe n x > 0 y n x < 0 para distinguir entre el valor positivo y el negativo. Potencias reales.- Las potencias reales de un número real, x α, con x > 0 y α IR se extienden de las racionales (aunque no de manera sencilla) y verifican las mismas propiedades de () a (5) que las potencias racionales Exponencial real de base e La exponencial de base e que a cada x IR le asigna el número real e x. Las propiedades de las potencias, establecen la validez de: () e x+y = e x e y () Si x < y se tiene que e x < e y (3) e x > 0 (Genéricamente, tenemos exponenciales de base a, para cualquier a > 0, con propiedades similares.) Logaritmo neperiano real Para cada x (0, + ), se define el logaritmo neperiano, ln x como el valor real α tal que e α = x; es decir, la operación recíproca a la exponencial. () ln(xy) = ln x + ln y () ln(x y ) = y ln x (3) Si 0 < x < y se tiene ln x < ln y (Genéricamente, para cada exponencial a x, tenemos el logaritmo en base a, log a x.) 8. Funciones reales de variable real Definición 8.- Llamaremos función real de variable real, a cualquier aplicación f: A IR, donde A IR. Al conjunto A lo denominaremos dominio de f y escribiremos A = Dom(f). Si x A escribiremos y = f(x) para indicar que y IR es la imagen de x por medio de f. El recorrido o conjunto imagen de f, que suele denotarse por f(a), será: f(a) = f(x) IR : x A = y IR : x A con y = f(x) = Img f Nota: Si la función viene dada sólo por la expresión y = f(x), sobreentenderemos que el dominio es el máximo subconjunto de IR para el cual f(x) IR, es decir, Dom(f) = x IR : f(x) IR Sea f: [, ] IR dada por f(x) = x. Se tiene que: Dom(f) = [, ]: pues x [, ] = 0 x = x 0 = x = f(x) IR.

4 87 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR 8. Funciones reales de variable real f([, ]) [0, ], ya que x [, ] = 0 x = x 0 = 0 x = 0 x y, si k [0, ], se tiene k = f ( k ) ; luego f([, ]) = [0, ]. Para f dada por f(x) = x, su dominio se obtendrá de: f(x) IR x IR x 0 x x ± luego Dom(f) = IR, = (, ) (, ) (, + ). Además, Img(f) = IR [0, ). Definición 83.- Llamaremos gráfica de la función dada por y = f(x), y lo denotaremos por graf(f), al subconjunto de IR graf(f) = (x, y) IR : x Dom(f) e y =f(x) = (x, f(x)) IR : x Dom(f) f(a) f(c) f(b) y graf(f) (a, f(a)) (c, f(c)) (b, f(b)) a b c x Definición 84 (Operaciones con funciones).- Sea f y g funciones reales de variable real. Entonces son funciones reales de variable real las siguientes:.- (Suma) (f +g)(x) = f(x) + g(x).- (Producto) (fg)(x) = f(x) g(x) ( ) 3.- (Cociente) f g (x) = f(x) g(x) 4.- (Composición) (g f)(x) = g(f(x)) en los conjunto donde tenga sentido. Es decir: ( Dom(f +g) = Dom(f) Dom(g) Dom(f/g) = Dom(fg) = Dom(f) Dom(g) Dom(g f) = ) Dom(f) Dom(g) x : g(x) = 0 x Dom(f) : f(x) Dom(g) Sean f(x) = x y g(x) = x. Se tiene que Dom f = x IR : x 0 = x IR : x = (, ] Dom g = x IR : x 0 = x IR : x = (, ] [, + ) = IR (, ) Luego el dominio de (f + g)(x) = x + x es Dom(f + g) = Dom f Dom g = (, ] ( ) (, ] [, + ) = (, ] [, ] que coincide con el de (fg)(x) = x x. Para el dominio de ( f g )(x) = x, como g(x) = 0 si x x = 0, es decir, si x = ±, ( ) ( ) Dom f g = (Dom f Dom g), = (, ] [, ], = (, ) (, ] y, finalmente el dominio de (g f)(x) = ( x) = x será Dom(g f) = x (, ] : x Dom g () = x (, ] : x = x (, ] : x = x (, ] : x = (, ] () como x 0, se tiene x Dom g si x [, + ), es decir, si x. Dominio de algunas funciones elementales 85.- Raíz: f(x) = n x y Dom f = [0, + ). Con n x = 0 x = 0. Potencia real: f(x) = x α y Dom f = (0, + ). Con x α > 0 para todo x. Exponencial: f(x) = e x y Dom f = IR. Con e x > 0 para todo x. Logaritmo neperiano: f(x) = ln(x) y Dom f = (0, + ). Con ln x = 0 x =.

5 88 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR 8. Funciones reales de variable real Seno: f(x) = sen(x) y Dom f = IR. Con sen x = 0 x = kπ con k Z, Coseno: f(x) = cos(x) y Dom f = IR. Con cos x = 0 x = π + kπ con k Z. Tangente: f(x) = tg(x) = sen x cos x y Dom f = IR π + kπ : k Z = ( π k Z + kπ, π + kπ). Seno hiperbólico: Coseno hiperbólico: Tangente hiperbólica: f(x) = sh(x) = ex e x y Dom f = IR. Con sh x = 0 x = 0. f(x) = ch(x) = ex +e x y Dom f = IR. Con ch x para todo x. f(x) = th(x) = sh x ch x y Dom f = IR. α < α > f(x) = x α 0 < α < < α < 0 α = f(x) = e x f(x) = ln(x) ch(x) sh(x) th(x) π π sen(x) cos(x) tg(x) Fig. 8.. Gráficas de algunas funciones elementales. Definición 86.- Sea f: A IR, con A IR. Diremos que f es una función acotada si el conjunto imagen f(a) está acotado. Es decir, si existe K > 0 tal que f(x) K para todo x A. El seno y el coseno están acotadas en IR, pues sen x y cos x para todo x IR. La función f: IR 0 IR, con f(x) = x x, está acotada en su dominio pues para todo x IR, se tiene x x x, y para todo x 0, x x. (De hecho, f(x) =, x 0.) La función th(x) está acotada en IR. En efecto, si x 0, se cumple que e x e = e x, luego x 0 e x e x < e x + e x y entonces 0 ex e x e x +e <. Como th( x) = th(x) (comprobarlo), cuando x x < 0, se tiene < th(x) < 0, por lo que th(x) <, para todo x IR. 8.. Monotonía. Funciones inversas Definición 87.- Sea f: A IR diremos que f es creciente o monótona creciente en el conjunto A, si para cualesquiera x, y A, con x < y, se verifica que f(x) f(y). Diremos que f es decreciente o monótona decreciente en el conjunto A, si para cualesquiera x, y A, con x < y, se verifica que f(x) f(y). Diremos que f es creciente (resp. decreciente) en el punto a A, si existe un entorno E(a, δ) tal que x, y E(a, δ) con x < a < y se cumple f(x) f(a) f(y) (resp. f(x) f(a) f(y)). Nota: Si las desigualdades son estrictas, diremos estrictamente creciente y estrictamente decreciente. Por las propiedades enunciadas anteriormente, las funciones e x, ln x y x α con α > 0 son estrictamente crecientes en sus dominios; y si α < 0, x α decrece estrictamente en (0, + ) (ver gráficas arriba). La función f(x) = x es estrictamente decreciente en cada punto de su dominio IR 0, pero no es monótona decreciente en el conjunto (ya que < pero f( ) = < f() =.) Definición 88.- Se dice que f: A IR es inyectiva en A si f(x) f(y) para todo x, y A, con x y. Las funciones estrictamente crecientes o estrictamente decrecientes en un conjunto son inyectivas. La función f(x) = x es inyectiva en [0, ] y también en [, 0], pero no lo es en el conjunto [, ] puesto que f( ) = = f() con.

6 89 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR 8.3 Ejercicios Definición 89.- Sean f: A IR y B = f(a). Si f es inyectiva en A, llamaremos función inversa de f en A, y la denotaremos por f, a la función f : B A tal que f (f(x)) = x, para todo x A. 90 La función f: [0, ) IR con f(x) = x, tiene inversa en ese conjunto (es estrictamente creciente en él) y es f : [0, ) [0, ) dada por f (y) = y. [ f (f(x)) = x = x = x ] La función f: (, 0] IR con f(x) = x, tiene inversa en ese conjunto (es estrictamente decreciente en él), que es f : [0, ) (, 0] dada por f (y) = y. [ f (f(x)) = x = x = x ] La función f: (0, + ) IR con f(x) = x α, tiene inversa en el conjunto (es estr. creciente si α > 0 y decreciente si α < 0), que es f : (0, ) IR dada por f (y) = y α. [ f (f(x)) = (x α ) α = x = x ] La función f: IR (0, ) con f(x) = e x, tiene inversa en IR (es estrictamente creciente en él), que es f : (0, ) IR dada por f (y) = ln y. [ f (f(x)) = ln(e x ) = x ln(e) = x ] La función f(x) = sen x, tiene inversa en el conjunto [ π, π ] (es estrictamente creciente en él), la función f : [, ] [ π, π ] que llamaremos arcoseno y denotaremos f (y) = arcsen y. (El seno no tiene inversa en [0, π], pues no es inyectiva en ese conjunto) La función f(x) = cos x, tiene inversa en el conjunto [0, π] (es estrictamente decreciente en él), la función f : [, ] [0, π] que llamaremos arcocoseno y denotaremos f (y) = arccos y. La función f(x) = tg x, tiene inversa en el conjunto [ π, π ] (es estrictamente creciente en él), la función f : IR [ π, π ] que llamaremos arcotangente y denotaremos f (y) = arctg y. La función f(x) = sh x, f: IR IR, tiene inversa en IR (es estrictamente creciente en él), la función f : IR IR que llamaremos argumento del sh y denotaremos f (y) = argsh y = ln(y + y + ). La función f(x) = ch x, tiene inversa en [0, ) (estrictamente creciente), la función f : [, ) [0, ) que llamaremos argumento del ch y denotaremos f (y) = argch y = ln( y + y + ). La función th: IR (, ), tiene inversa en IR (estrictamente creciente), la función f : (, ) IR que llamaremos argumento de la th y denotaremos f (y) = argth y = ln y+ y. Nota: La gráfica de f es simétrica, respecto de la bisectriz del primer cuadrante, a la gráfica de f. En efecto, si (x, y) graf(f) con y = f(x), entonces, el punto (y, f (y)) graf(f ) es de la forma (y, f (y)) = (y, f (f(x))) = (y, x). Puede observarse esto en la figura 8. de la página 88, para e x y su inversa ln(x) y x α y su inversa x α. 8.3 Ejercicios 8.90 Usar las Propiedades del orden 74 y las de las operaciones descritas en el apartado 8..3, para probar que: a) si 0 < x < y, entonces 0 < x < y b) si y < x < 0, entonces 0 < x < y c) si 0 < x < y, entonces 0 < x < y d) si y < x < 0, entonces 0 < x < y e) si 0 < x <, entonces 0 < x < x f) si < x, entonces < x < x g) si y < x < 0, entonces x < y < 0 h) si y < x < 0, entonces 0 < y < x i) si 0 < x < y, entonces 0 < x < y j) si 0 < x < y, entonces y < x < Hallar el dominio de las funciones reales de variable real dadas por: (i) f (x) = x x (ii) f (x) = x x (iii) f 3 (x) = x x+ (iv) f 4 (x) = ln x (v) f 5 (x) = ln x (vi) f 6 (x) = ln( x ) (vii) f (x) + f (x) (viii) f 3 (x) f (x) (ix) f (x) + f 3 (x) (x) f 7 (x) = x x+ (xi) f 8 (x) = ln(f 6 (x)) (xii) f 9 (x) = x x+ (xiii) f 3 (x) f 3 (x) (xiv) f 9 (x) f 7 (x) (xv) (xvi) f 6 (x) f + f (x) (x) f 6(x) f 4 (x)+f 5 (x) f 8 (x) (xvii) (f 5 f 8 )(x) (xviii) (f f 4 f )(x)

7 90 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR 8.3 Ejercicios a) Expresar la funciones f y f 4 como funciones definidas a trozos. b) Por qué los dominios de f 3 y de f 7 son distintos? c) Cuál será el dominio de la función f f? Obtener su expresión. 8.9 Sean f y g dos funciones reales de variable real monótonas. Probar que: a) Si f es (estrictamente) creciente, las funciones f( x) y f(x) son (estric.) decrecientes. b) Si f es (estrictamente) decreciente, las funciones f( x) y f(x) son (estric.) crecientes. c) Si f es (estric.) creciente y positiva, la función f(x) es (estric.) decreciente. d) Si f es (estric.) decreciente y positiva, la función f(x) es (estric.) creciente. Qué ocurrirá en este caso y en el anterior si la función f es negativa? e) Si f y g son crecientes (decrecientes), f + g es creciente (decreciente). f) Buscar una función f creciente y una g decreciente tales que f + g sea creciente; y otras para que f + g sea decreciente. g) Si g es creciente y f es creciente (decreciente), g f es creciente (decreciente). h) Si g es decreciente y f es creciente (decreciente), g f es decreciente (creciente). Que ocurrira si la monotonía de g es estricta? Y si lo es la de f? Y si lo son ambas? 8.93 Usar los resultados del ejercicio anterior, para probar lo siguente: a) Probar que f(x) = x + es creciente en (, 0) y decreciente en (0, + ). b) Sabiendo que e x es esctirtamente creciente en IR y que x = e ln x, probar que sh(x) y ln(x) son crecientes. c) Probar que f(x) = x x + es creciente en (0, + ) y usarlo para probar que th(x) es creciente en IR Sea f: IR IR, se dice que f es par si f( x) = f(x), y que es impar si f( x) = f(x). a) Comprobar si sen x, cos x, tg x, sh x, ch x, th x y x n, para n = 0, ±, ±,..., son pares o impares. b) Si f es par y creciente en (0, + ), será también creciente en (, 0)? c) Si f es impar y creciente en (0, + ), será también creciente en (, 0)? d) Que característica especial cumplen las gráficas de las funciones pares? Y las de las funciones impares? Justificar la respuesta 8.95 Para las funciones que aparecen en el 90 anterior, dibujar su gráfica y la de su inversa en los dominios indicados. Si una función f: A B es creciente (decreciente) en A, dirías que su inversa f : B A también es creciente (decreciente) en B? Probarlo en el caso de creer que es cierto, o en el caso de creer que es falso, justificarlo con un ejemplo Sean las funciones f, g y h, funciones reales definidas por: f(x) = x, si x 0, si x > 0 ; g(x) =, si x (, ] x, si x (, 0) 3 x, si x [0, ) ; h(x) = x 3 x, si x + x + x+4, si x + > a) Describir la casuística de f y h mediante la pertenencia de x a intervalos (como la función g ) b) Describir la casuística de g y h mediante desigualdades de x (como la función f ) c) Obtener su dominio y el de las funciones f, g, f +g y f h. d) Hallar las expresiones de f, g, f +g y f h, como funciones definidas a trozos. e) Encontrar el dominio y la expresión de las funciones compuestas f(x ) y g( x). f) Encontrar el dominio y la expresión de las funciones g f y f g.