Funciones, ĺımites y continuidad

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1 5 Matemáticas : Preliminares Capítulo 3 Funciones, ĺımites y continuidad 3. Funciones reales de variable real 3.. Los números reales Los números reales son de sobra conocidos, sus operaciones básicas así como su identificación con los puntos de la recta real, por lo que sólo vamos a mencionar aquí algunas de sus propiedades la mayoría conocidas) que son imprescindibles en el desarrollo de este tema. Propiedades de orden 4.- Denotaremos por R + = R : > } y R = R : < }.- Antisimétrica: Si y e y = = y..- Transitiva: Si y e y z = z. 3.- Total: Para cualesquiera, y R: o bien y, o bien y. 4.- Si y, entonces + z y + z para todo z R si < y = + z < y + z ). 5.- Si y, entonces z y z para todo z R + si < y = z < y z ). 6.- Si y, entonces z y z para todo z R si < y = z > y z ). 7.- Si < < y, entonces < y <. Las propiedades de acotación siguientes garantizan que los números reales llenan la recta real, lo que nos permite decir que recorremos de manera continua un subconjunto de R. Definición 4.- Sea A R, diremos que el conjunto A está acotado superiormente si eiste algún K R tal que K, para todo A; es decir, todos los elementos de A son menores que K. Del valor K diremos que es una cota superior de A. Análogamente, A está acotado inferiormente si eiste k R tal que k, para todo A y diremos que k es una cota inferior de A. Diremos que A está acotado si lo está superior e inferiormente. Propiedad del etremo superior 4.- Todo subconjunto no vacío A R y acotado superiormente admite una cota superior mínima, es decir, Γ R tal que: a) Γ; A b) Si K < Γ, entonces A verificando que K < Γ. Se dice que Γ es el etremo superior o supremo de A y se denota por sup A ó et sup A. Si Γ pertenece a A, se dice que Γ es el máimo de A, y escribiremos má A = Γ. Propiedad del etremo inferior 43.- Todo subconjunto no vacío A R acotado inferiormente admite una cota inferior máima, es decir, γ R tal que: a) γ ; A b) Si γ < k, entonces A verificando que γ < k. Se dice que γ es el etremo inferior o ínfimo de A y se denota por inf A ó et inf A. Si γ pertenece a A, se dice que γ es el mínimo de A, y escribiremos mín A = γ. Nota: Que Γ = sup A es equivalente a que para cada ε > eiste A con Γ ε < Γ. Es decir, que para cualquier valor más pequeño que el superior hay algún elemento del conjunto más grande que él. Análogamente, γ = inf A para cada ε > eiste A con γ < γ + ε. Ejemplo El conjunto A = } n : n N} =,, 3, 4,... está acotado superior e inferiormente. Prof: José Antonio Abia Vian Grados de Ing. Industrial : Curso 3

2 6 Matemáticas : Preliminares 3. Funciones reales de variable real En efecto, n < para todo n, luego es una cota superior del conjunto de hecho, cualquier número mayor o igual a lo es). También está acotado inferiormente, pues n es positivo luego < n para todo n y es una cota inferior de A cualquier número negativo es también una cota inferior). Luego A es un conjunto acotado y tiene supremo e ínfimo: como el supremo es la mínima cota superior, sup A =, pues es una cota superior y si K <, eiste el A tal que K < sup A = luego K no es una cota y es la más pequeña. Como el ínfimo es la máima cota inferior, inf A =, pues es una cota y para cualquier k >, puedo encontrar un n suficientemente grande para que < n < k por ejemplo, para k =., se tiene que < < = k ). Además, sup A = A luego má A = ; lo que no ocurre con el ínfimo, pues inf A = / A, luego mín A. 3.. Valor absoluto de un número real Definición 44.- Sea a R, se llama valor absoluto de a, y se representa por a, al número real dado por a = + a, si a a = a, si a < Propiedades del valor absoluto 45.- a) a, a y a = a = b) ab = a b c) a = a d) a k k a k e) a + b a + b f) a b a b El valor absoluto y su uso como distancia es clave en las definiciones de conjuntos y conceptos como el ite y la continudad, la derivación e integración. Nota: Con el valor absoluto, diremos que A es acotado eiste K > tal que K, A. } Ejemplo El conjunto A =,, 3, 4,... del ejemplo anterior está acotado pues para todo n Intervalos y entornos en R Los subconjuntos de R, están formados por puntos separados o por intervalos trozos ) de la recta real o por uniones de ellos; pero no sólo eso, sino que la validez de algunos resultados depende del tipo de intervalo usado. Pero además, los intervalos centrados en un punto que llamaremos entornos) son básicos en la construcción de la mayoría de los conceptos del Cálculo. Definición 46.- Dados los números reales a y b con a b, se llama intervalo abierto de etremos a y b, y se representa por a, b), al conjunto: a, b) = R : a < < b}. Se llama intervalo cerrado de etremos a y b, y se representa por [a, b], al conjunto: [a, b] = R : a b}. Análogamente se definen: a, b] = R : a < b} y [a, b) = R : a < b} y los intervalos no acotados: a, + ) = R : a < } y [a, + ) = R : a }, b) = R : < b} y, b] = R : b} En los intervalos cerrados, inf[a, b] = mín[a, b] = a y sup[a, b] = má[a, b] = b, mientras que en los abiertos infa, b)} = a y supa, b)} = b pero no tiene ni máimo ni mínimo. En los no acotados, como [a, + ), se tiene inf[a, + ) = mín[a, + ) = a pero no eiste el superior a veces se escribe sup A = +, para indicar que el conjunto no está acotado superiomente). Naturalmente, R es también un intervalo R =, + ). Y, [a, a] = a} pero a, a) = a, a] = [a, a) =. n Definición 47.- Llamaremos entorno de centro a y radio ε >, y escribiremos Ea, ε), al conjunto: Ea, ε) = R : a < ε} = R : a ε < < a + ε} = a ε, a + ε). Llamaremos entorno reducido de centro a y radio ε >, E a, ε), al conjunto E a, ε) = Ea, ε) a} = R : < a < ε}. Prof: José Antonio Abia Vian Grados de Ing. Industrial : Curso 3

3 7 Matemáticas : Preliminares 3. Funciones reales de variable real 3..4 Algunas operaciones con números reales Potencias racionales y reales de un número real Las potencias racionales, r, se definen paulatinamente a partir de las potencias naturales: para n N y R, definimos n = n). para z Z y R }, definimos = y si z <, z = ) z. para n N y R +, definimos n = n como el α R tal que α n = para r = z n, con z Z y n N, y R+, definimos z n = n z. y se verifican las siguientes propiedades: ) r y r = y) r ) r s = r+s 3) r ) s = rs 4) Si < < y, entonces < r < y r si r > y < y r < r si r < 5) Si r < s se tiene que r < s cuando > y s > r cuando < <. n Antes de terminar, un pequeño apunte sobre las raices n-ésimas, para : si n es impar, eiste un único número real α > tal que α n = ; y si n es par, eiste un único número real α > tal que α n = y α) n =. Por ello, si n es par siempre se escribe n > y n < para distinguir entre el valor positivo y el negativo. Potencias reales.- Las potencias reales de un número real, α, con > y α R se etienden de las racionales aunque no de manera sencilla) y verifican las mismas propiedades de ) a 5) que las potencias racionales Eponencial real de base e La eponencial de base e que a cada R le asigna el número real e. Las propiedades de las potencias, establecen la validez de: ) e +y = e e y ) Si < y se tiene que e < e y 3) e > Genéricamente, tenemos eponenciales de base a, para cualquier a >, con propiedades similares.) Logaritmo neperiano real Para cada, + ), se define el logaritmo neperiano, ln como el valor real α tal que e α = ; es decir, la operación recíproca a la eponencial. ) lny) = ln + ln y ) ln y ) = y ln 3) Si < < y se tiene ln < ln y Genéricamente, para cada eponencial a, tenemos el logaritmo en base a, log a.) 3. Funciones reales de variable real Definición 48.- Llamaremos función real de variable real, a cualquier aplicación f: A R, donde A R. Al conjunto A lo denominaremos dominio de f y escribiremos A = Domf). Si A escribiremos y = f) para indicar que y R es la imagen de por medio de f. El recorrido o conjunto imagen de f, que suele denotarse por fa), será: fa) = f) R : A } = y R : A con y = f) } = Img f Nota: Si la función viene dada sólo por la epresión y = f), sobreentenderemos que el dominio es el máimo subconjunto de R para el cual f) R, es decir, Domf) = R : f) R} Ejemplo Sea f: [, ] R dada por f) =. Se tiene que: Domf) = [, ]: pues [, ] = = = = f) R. Prof: José Antonio Abia Vian Grados de Ing. Industrial : Curso 3

4 8 Matemáticas : Preliminares 3. Funciones reales de variable real f[, ]) [, ], ya que [, ] = = = = y, si k [, ], se tiene k = f k ) ; luego f[, ]) = [, ]. Para f dada por f) =, su dominio se obtendrá de: f) R R ± luego Domf) = R, } =, ), ), + ). Además, Imgf) = R [, ). Definición 49.- Llamaremos gráfica de la función dada por y = f), y lo denotaremos por graff), al subconjunto de R } graff) =, y) R : Domf) e y =f) } =, f)) R : Domf) fa) fc) fb) y graff) a, fa)) c, fc)) b, fb)) a b c Definición 5 Operaciones con funciones).- Sea f y g funciones reales de variable real. Entonces son funciones reales de variable real las siguientes:.- Suma) f +g)) = f) + g).- Producto) fg)) = f) g) ) 3.- Cociente) f g ) = f) g) 4.- Composición) g f)) = gf)) en los conjunto donde tenga sentido. Es decir: Domf +g) = Domf) Domg) Domf/g) = Domfg) = Domf) Domg) Domg f) = ) Domf) Domg) : g) = } } Domf) : f) Domg) Ejemplo Sean f) = y g) =. Se tiene que Dom f = R : } = R : } =, ] Dom g = R : } = R : } =, ] [, + ) = R, ) Luego el dominio de f + g)) = + es Domf + g) = Dom f Dom g =, ] ), ] [, + ) =, ] [, ] que coincide con el de fg)) =. Para el dominio de f g )) =, como g) = si =, es decir, si = ±, ) ) Dom f g = Dom f Dom g), } =, ] [, ], } =, ), ] y, finalmente el dominio de g f)) = ) = será Domg f) =, ] : Dom g } ) =, ] : } =, ] : } =, ] : } =, ] ) como, se tiene Dom g si [, + ), es decir, si. Dominio de algunas funciones elementales 5.- Raíz: f) = n y Dom f = [, + ). Con n = =. Potencia real: f) = α y Dom f =, + ). Con α > para todo. Eponencial: f) = e y Dom f = R. Con e > para todo. Logaritmo neperiano: f) = ln) y Dom f =, + ). Con ln = =. Prof: José Antonio Abia Vian Grados de Ing. Industrial : Curso 3

5 9 Matemáticas : Preliminares 3. Funciones reales de variable real Seno: f) = sen) y Dom f = R. Con sen = = kπ con k Z, Coseno: f) = cos) y Dom f = R. Con cos = = π + kπ con k Z. Tangente: Seno hiperbólico: Coseno hiperbólico: Tangente hiperbólica: f) = tg) = sen cos y Dom f = R π + kπ : k Z} = k Z π + kπ, π + kπ). f) = sh) = e e y Dom f = R. Con sh = =. f) = ch) = e +e y Dom f = R. Con ch para todo. f) = th) = sh ch y Dom f = R. α < α > f) = α < α < < α < α = f) = e f) = ln) ch) sh) th) π π sen) cos) tg) Fig. 3.. Gráficas de algunas funciones elementales. Definición 5.- Sea f: A R, con A R. Diremos que f es una función acotada si el conjunto imagen fa) está acotado. Es decir, si eiste K > tal que f) K para todo A. Ejemplo El seno y el coseno están acotadas en R, pues sen y cos para todo R. La función f: R } R, con f) =, está acotada en su dominio pues para todo R, se tiene, y para todo,. De hecho, f) =,.) La función th) está acotada en R. En efecto, si, se cumple que e e = e, luego e e < e + e y entonces e e e +e <. Como th ) = th) comprobarlo), cuando <, se tiene < th) <, por lo que th) <, para todo R. 3.. Monotonía. Funciones inversas Definición 53.- Sea f: A R diremos que f es creciente o monótona creciente en el conjunto A, si para cualesquiera, y A, con < y, se verifica que f) fy). Diremos que f es decreciente o monótona decreciente en el conjunto A, si para cualesquiera, y A, con < y, se verifica que f) fy). Diremos que f es creciente resp. decreciente) en el punto a A, si eiste un entorno Ea, δ) tal que, y Ea, δ) con < a < y se cumple f) fa) fy) resp. f) fa) fy)). Nota: Si las desigualdades son estrictas, diremos estrictamente creciente y estrictamente decreciente. Ejemplo Por las propiedades enunciadas anteriormente, las funciones e, ln y α con α > son estrictamente crecientes en sus dominios; y si α <, α decrece estrictamente en, + ) ver gráficas arriba). La función f) = es estrictamente decreciente en cada punto de su dominio R }, pero no es monótona decreciente en el conjunto ya que < pero f ) = < f) =.) Definición 54.- Se dice que f: A R es inyectiva en A si f) fy) para todo, y A, con y. Ejemplo Las funciones estrictamente crecientes o estrictamente decrecientes en un conjunto son inyectivas. La función f) = es inyectiva en [, ] y también en [, ], pero no lo es en el conjunto [, ] puesto que f ) = = f) con. Prof: José Antonio Abia Vian Grados de Ing. Industrial : Curso 3

6 Matemáticas : Preliminares 3.3 Límite y continuidad de una función en un punto Definición 55.- Sean f: A R y B = fa). Si f es inyectiva en A, llamaremos función inversa de f en A, y la denotaremos por f, a la función f : B A tal que f f)) =, para todo A. Ejemplo 56 La función f: [, ) R con f) =, tiene inversa en ese conjunto es estrictamente creciente en él) y es f : [, ) [, ) dada por f y) = y. [ f f)) = = = ] La función f:, ] R con f) =, tiene inversa en ese conjunto es estrictamente decreciente en él), que es f : [, ), ] dada por f y) = y. [ f f)) = = = ] La función f:, + ) R con f) = α, tiene inversa en el conjunto es estr. creciente si α > y decreciente si α < ), que es f :, ) R dada por f y) = y α. [ f f)) = α ) α = = ] La función f: R, ) con f) = e, tiene inversa en R es estrictamente creciente en él), que es f :, ) R dada por f y) = ln y. [ f f)) = lne ) = lne) = ] La función f) = sen, tiene inversa en el conjunto [ π, π ] es estrictamente creciente en él), la función f : [, ] [ π, π ] que llamaremos arcoseno y denotaremos f y) = arcsen y. El seno no tiene inversa en [, π], pues no es inyectiva en ese conjunto) La función f) = cos, tiene inversa en el conjunto [, π] es estrictamente decreciente en él), la función f : [, ] [, π] que llamaremos arcocoseno y denotaremos f y) = arccos y. La función f) = tg, tiene inversa en el conjunto [ π, π ] es estrictamente creciente en él), la función f : R [ π, π ] que llamaremos arcotangente y denotaremos f y) = arccotg y. La función f) = sh, f: R R, tiene inversa en R es estrictamente creciente en él), la función f : R R que llamaremos argumento del sh y denotaremos f y) = argsh y = lny + y + ). La función f) = ch, tiene inversa en [, ) estrictamente creciente), la función f : [, ) [, ) que llamaremos argumento del ch y denotaremos f y) = argch y = ln y + y + ). La función th: R, ), tiene inversa en R estrictamente creciente), la función f :, ) R que llamaremos argumento de la th y denotaremos f y) = argth y = ln y+ y. Nota: La gráfica de f es simétrica, respecto de la bisectriz del primer cuadrante, a la gráfica de f. En efecto, si, y) graff) con y = f), entonces, el punto y, f y)) graff ) es de la forma y, f y)) = y, f f))) = y, ). Puede observarse esto en la figura 3. de la página 9, para e y su inversa ln) y α y su inversa α. 3.3 Límite y continuidad de una función en un punto Definición 57.- Un punto R se dice punto de acumulación de un conjunto A si, y sólo si, para cada ε > se tiene que E, ε) A. Es decir, es un punto de acumulación de un conjunto A si en cada entorno de hay otros puntos de A. De los puntos de A que no son de acumulación, se dice que son puntos aislados de A. Nota: Es decir, es punto de acumulación de A si cerca de siempre hay otros) puntos de A, por pequeño que hagamos el círculo de cercanía; en consecuencia, a un punto de acumulación de un conjunto siempre podremos acercarnos con puntos del conjunto. Sólo así tiene sentido la definición del ite siguiente. Definición 58.- Sea f: A R y sea R un punto de acumulación de A. Se dice que el ite de la función f) cuando tiende a es L, y se representa por f) = L, también con f L, cuando ) si, y sólo si, para cada ε > eiste δ > tal que si A y < < δ, entonces f) L < ε. Prof: José Antonio Abia Vian Grados de Ing. Industrial : Curso 3

7 Matemáticas : Preliminares 3.3 Límite y continuidad de una función en un punto El significado de esta farragosa definición sería lo siguiente: el ite en de f es L si la imagen de cada cercano a está cerca de L. Puede quedar un poco más claro epresando esta crecanía mediante entornos: La definición anterior es, evidentemente, equivalente a: Diremos que el ite de la función f cuando tiende a es L si, y sólo si, para cada entorno de L, EL, ε), eiste un entorno reducido de, E, δ) tal que si A E, δ), entonces f) EL, ε). En la figura de la derecha vemos que, en efecto, para los puntos cercanos a en fondo rojo) sus imágenes en fondo rojo) están dentro de la cercanía de L fijada en fondo verde). L+ε L L ε δ +δ Ejemplo Para f: [, + ) R dada por f) =, se tiene que f) =. Para cada ε >, tomamos δ = ε >, si [, + ) y < < δ, es decir, si < < ε se verifica que < ε = ε, pero esto es lo mismo que = = < ε. Nota: Para el ite no importa la función en el punto, sino su valor en puntos cercanos ponemos < < δ en la definición).,, = Así, f) = tiene f) = aunque f) =, ya que si y, la función toma los valores f) = en esos puntos y entonces f) = =. Y también la función g) = tiene por g) = =. f g El valor de la función en el punto es primordial sin embargo para el concepto de continuidad: Definición 59.- Sea f: A R, se dice que f es continua en el punto A si, y sólo si, para cada ε > eiste δ > tal que si A y < δ entonces f) f ) < ε. Observación: Si el punto no está aislado, la definición es equivalente a que f) = f ). Ejemplo La función de la nota anterior f) =,, = no es continua en, pues f) = f); mientras que la función g) = sí lo es pues g) = = g). También es continua en la función f) = del ejemplo anterior, pues = =. Ejemplo 6 La función f) = e es continua en. En efecto, por ser e estrictamente creciente: si < < δ, es < e < e δ, luego < e = e < e δ si δ < < es e δ < e <, luego < e = e < e δ = eδ < e δ. e δ Entonces, para cada ε > tomamos δ = ln + ε) y si < < δ, se tiene que e < e δ = e ln+ε) = + ε) = ε Luego se cumple que e = = e y e es continua en Algunos resultados interesantes Proposición 6.- Sea f: A R y un punto de acumulación de A. Entonces a) f) = L f) L) = b) f) = c) Si h =, entonces f) = L h f + h) = L f) = Demostración: Basta observar que la definición de ite para el segundo término de la a equivalencia: para cada ε >, eiste δ > tal que si < < δ = f) L) = f) L < ε Prof: José Antonio Abia Vian Grados de Ing. Industrial : Curso 3

8 Matemáticas : Preliminares 3.3 Límite y continuidad de una función en un punto para el segundo término de la a equivalencia: para cada ε >, eiste δ > tal que si < < δ = f) = f) < ε y para el segundo término de la 3 a equivalencia: para cada ε >, eiste δ > tal que si < h = < δ = f + h) L = f) L < ε coinciden con la definición de los ites para los respectivos primeros términos de la equivalencias. Los resultados a) y c) anteriores deben considerarse definiciones equivalentes de la definición de ite y nos permiten transformar un ite en un ite de valor o a un ite en el punto. Con el apartado b) cambiamos la función por otra acotable, lo que cobra interés tras los resultados siguientes: Proposición 6.- Sean f, g, h: A R y un punto de acumulación de A..- Si f) g) h) en A y f) = L = h), entonces.- Si g está acotada en A y f) =, entonces g) f) = g) = L Ejemplo El sen =, pues = y el seno está acotado sen y, para cualquier y R) Límites y continuidad con las operaciones básicas El cálculo de los ites y, por tanto el estudio de la continuidad, se etiende ampliamente y de manera sencilla mediante las operaciones básicas de las funciones: Propiedades 63.- Si f) = L R y g) = L R, entonces: a) [f) + g)] = f) + g) = L + L. b) [f) g)] = f) g) = L L. f) c) g) = f) g) = L L, siempre que L. Corolario 64.- Sean f y g funciones continuas en un punto A, entonces:.- f + g es continua en el punto..- fg es continua en el punto. 3.- f g es continua en el punto siempre que g ). Ejemplos La función f) = n es continua en R: En general, si P X) es un polinomio, n = ) n) n ) = ) = n P ) = P ), luego continuo en todo R. Y una función racional, f) = P ) Q), será continua en los puntos de su dominio salvo en aquellos a con P ) Qa) =, pero esos no pertenecen al dominio) y en todos ellos Q) = P ) Q. ) f) = e es continua en R, pues lo es en Ejemplo 6) y, para los demás puntos, se tiene e = e +h = e e h = e e h = e e = e h h h Teorema 65.- Sean f: A R y g: fa) R. Si a f) = b y g es continua en b, entonces gf)) = gb) = g ). f) a a Corolario 66.- Si f es continua en a y g continua en fa), entonces g f es continua en a. Prof: José Antonio Abia Vian Grados de Ing. Industrial : Curso 3

9 3 Matemáticas : Preliminares 3.3 Límite y continuidad de una función en un punto Ejemplo La función f) = es continua en por ser polinómica; la función g) = es continua en = f), pues = = = = ; y h) = es continua en = g). Entonces, la composición h g f)) = hgf))) = es continua en. Además, = = ) = =. Imponiendo condiciones sobre la función f, podemos dar una variante del teorema 65 anterior que prescinde de la condición de continuidad de g : Proposición 67 Convergencia propia).- Sean f: A R y g: fa) R. Si a f) = b, con f) b para todos los de un entorno reducido E a, δ ) de a, entonces g f)) = gf)) = gy). a f) b y b y, si y Ejemplo Sea gy) =, si y =, no continua en. Para f) = e se cumple la condición pedida, pues f) = e = f) si es est. creciente), luego gf)) = gy) =. En efecto, como y gf)) = ge ) = e si e, se tiene gf)) = e = )., si Sin embargo, si tomamos la función f) =, que no verifica la condición de la proposición, si = f) = = f) si ), se tiene que: gf)) = g) = gy) =. y Límites laterales Definición 68.- Sean a < c < b y f: a, c) c, b) R. Diremos que L es el ite por la izquierda de f en c, si para cada ε > eiste δ > tal que cuando < c y < c < δ, se tiene que f) L < ε. Diremos que L es el ite por la derecha de f en c, si para cada ε > eiste δ > tal que cuando > c y < c < δ, se tiene que f) L < ε. Los representaremos, respectivamente, por f) = f) = L c y <c c c >c f) = c + f) = L Proposición 69 Límites laterales).- Sean a < c < b y f: a, c) c, b) R. Entonces f) = L f) = f) = L c c c + Ejemplo Sea f) = =, si, si <. Entonces = = y = = = = + + Nota: Si sólo hay función en un lado, el ite coincide con el ite lateral. Por ejemplo, = +, pues en los puntos a la izquierda de no está definida la función. Definición 7.- Si f no es continua en un punto, pero se cumple que f) = f ) ó que f) = + f ), se dice que f es continua por la izquierda o continua por la derecha en. Ejemplo Todas son funciones discontinuas en, la tercera es continua por la derecha y las dos últimas son continuas por la izquierda. Prof: José Antonio Abia Vian Grados de Ing. Industrial : Curso 3

10 4 Matemáticas : Preliminares 3.3 Límite y continuidad de una función en un punto La discontinuidad de la primera función suele denominarse evitable porque basta rellenar el hueco para hacerla continua), de la quinta se dice de salto infinito y de las tres restantes de salto finito Límites con infinito De manera similar a como se definen los limites para valores reales, podemos definir ites donde la variable se acerca a + ó a, o que sea la función la que pueda tomar valores cércanos a ellos valores, tan grandes que superan cualquier cota K >, o tan pequeños que rebasan cualquier cota por abajo K < ). Las definiciones son análogas, sin más que cambiar la aproimaciones a puntos reales por aproimaciones a : Definición 7.- Si f es una función real de variable real, se tienen las siguientes definiciones: f) = + f) = L f) = si, para cada K >, eiste δ > tal que si < < δ = f) > K si, para cada ε >, eiste M > tal que si < M = f) L < ε si, para cada K >, eiste M > tal que si > M = f) < K Análogamente: f) =, f) = L, f) = +, Ejemplo Para a >, a = + y =. f) = + y En efecto: para cada K > tomamos M = K a > y si > M, entonces f) = a > am = a K a = K para cada K > tomamos δ = K > y si δ < <, entonces f) = < δ = K f) =. Las operaciones del resultado Propiedades 63 son válidas también cuando tenemos ites en el infinito o con valor infinito, aunque aparecen situaciones cuyo resultado no puede determinarse usando las reglas generales. Si f) = a y g) = b, donde tanto como a y b pueden ser ±, el valor del ite para las funciones f + g, f g, f g y f g, se obtiene de las siguientes tablas: f + g b = b R b = + a = a R a + b + a = f g b = b < b = b = b = + b > b = + a = + + a a b a < + b a = a a a > + b b a = f g b = b < b = b > b = + a = + + a < + ab ab a = a > ab ab + a = En estos casos, no se garantiza la eistencia del ite, pero sí que se tiene f g b = b < b = b > b = + a = + + < a < + a b a b a = a > a b a b + a = f g +. Hay siete indeterminaciones clásicas, indicadas con que en el fondo se reducen a dos i) e ii)): i) ii) iii) iv) v) vi) vii) Nota: Teniendo en cuenta que a b = e b ln a, las indeterminaciones v), vi) y vii) se reducen a. Prof: José Antonio Abia Vian Grados de Ing. Industrial : Curso 3

11 5 Matemáticas : Preliminares 3.3 Límite y continuidad de una función en un punto Ejemplo 7 Ejemplo = + ) = = = ) = = = + + = ) = 3 = ) 3 = 3 + = 3 = 3 Ejemplo = + = ) =. + + = + + = + + = ++ = teniendo en cuenta que cuando +, será > y por tanto = =. Ejemplo 75 + = ) =. + = = + ) + + ) = = + ) = Ejemplo 76 Por definición, e = n+ < n + ) = e n + + n )n de donde + n+ + < + n + ) n + ) < + ) n+ + = n+ )n+ n + n + y para cada >, eiste n N con n < n +, luego con. De esta desigualdad y de n < n +, tenemos que: = n + n + n+ + n + + ) < + ) + ) n n n ) n+ + si +, entonces n y n+ +, por lo que se cumple que e + ) e. ) n + < + ) n n n Nota: La Proposición 67 de convergencia propia cobra nuevo interés con los ites con infinitos para los que también es válida), pues la condición de continuidad no es aplicable en muchos de estos casos. Además, la condición de convergencia propia, que cuando f) sea f) se cumple de manera obvia. Ejemplo Consideremos y = en ), y z = hy) = y en ) entonces + ) ) = y + y ) y = y y + y ) y = y y + y )y = + y + y )y = + y + y ) + ) y )y = + y + y ) + z + z )z = e = e Continuidad de algunas funciones elementales 77.- Ver sus gráficas en la figura 3. de la página 9.) f) = e es continua en R y f) = ln es continua en, + ) y f) = α continua en, ) y f) = sh es continua en R y f) = ch es continua en R y f) = th es continua en R y e = y e = +. ln = y + α = y + sh = y ch = y th = y ln = +. α = si α> resp. y si α<). sh = +. ch = +. th =. Prof: José Antonio Abia Vian Grados de Ing. Industrial : Curso 3

12 6 Matemáticas : Preliminares 3.3 Límite y continuidad de una función en un punto f) = sen y f) = cos son de periódicas de periodo π, continuas en R y f) = tg es de periodo π, continua en su dominio y π + f). ± tg = y tg =. π Infinitésimos e infinitos equivalentes Definición 78.- Se dice que una función f es un infinitésimo en si f) =. Una función f) se dice que es un infinito en si f) = + o ). Definición 79.- Dos infinitésimos en, f y g, se dicen equivalentes en si Dos infinitos en, f y g, se dicen equivalentes en si f) g) =. f) g) =. Proposición 8.- Si g) y h) son infinitésimos o infinitos) equivalentes en, entonces g)f) = h)f) y f) g) = f) h), siempre que los segundos ites eistan. Demostración: Si eiste f)h) y g) h) =, entonces: h)f) = h) h)f) = Análogamente para el otro caso. g) g)h)f) h) = g)f) Algunos infinitos e infinitésimos conocidos 8.- Usaremos la notación f g para indicar que f y g son infinitos o infinitésimos equivalentes: a n n + + a + a a n n cuando ± a n n + + a a cuando sen) cuando tg) cuando sen cuando ± cos) cuando ln + ) cuando e cuando sh) cuando ch) cuando Ejemplos sen ) e ln) sen ) = ln) =. En efecto, = ln) = ln+t) t t = } sen ) } = = e e = + } sen ) = = t = t t = = Nota: La hipótesis de la Proposición, en el sentido de que los infinitésimos o infinitos) sean factores o divisores de la función, deben tenerse muy presentes pues sólo así garantizaremos el resultado. El ejemplo siguiente muestra cómo al sustituir un sumando por otro se falsea el resultado. Sabemos que sen y son infinitésimos equivalentes en =, pero sen no puede ser sustituido por en el ite: sen 3, pues si lo hacemos obtendríamos como ite cuando su valor correcto es 6. Los infinitésimos o infinitos equivalentes son funciones que tienen un comportamiento similar en el ite, pero no igual. Por ello, si los usamos en sumas o restas podemos eliminar esa diferencia como ocurre en el ite anterior) y dejar sin sentido el ite. Al sustituir sen por en la resta de arriba estamos asumiendo que son iguales, pues sutituimos sen por, lo que no es cierto es sen si ); de hecho, el seno es más parecido a sen 3 6 con lo que la deferencia es más parecida a sen 3 6 que a. Prof: José Antonio Abia Vian Grados de Ing. Industrial : Curso 3

13 7 Matemáticas : Preliminares 3.3 Límite y continuidad de una función en un punto Asíntotas de una función Una buena ayuda para la representación de la gráfica de las funciones son las asíntotas. La gráfica de f es una representación en el plano R formada por los puntos, y) con la condición y = f) luego de la forma, f)); por consiguiente, la gráfica puede tener puntos que se alejan hacia el infinito. Basta tener en cuenta que si el dominio es R, cuando + los puntos de la gráfica se alejan hacia +, f)). Estos alejamientos de la gráfica se llaman ramas infinitas de la función, y puede ocurrir que la función se parezca a una recta en estas ramas infinitas. Las rectas cumpliendo que la distancia de los puntos de una rama infinita a esa recta tienda hacia a medida que se alejan, se denominan asíntotas de la función. Dado que en R, los puntos se alejan en la forma, ),, y) o, ) aquí, puede ser tanto + como ), buscaremos tres tipos de asíntotas: verticales, horizontales e inclinadas. Asíntotas verticales Si f) = ± tenemos una rama infinita a la izquierda del punto y la recta = es una asíntota vertical de esa rama el signo del ite + o, nos indicará el comportamiento de la rama infinita). Si + f) = ± hay rama infinita a la derecha de y la recta = es asíntota vertical de esa rama. Asíntotas horizontales e inclinadas Aunque la búsqueda de asíntotas horizontales e inclinadas pueden verse como procesos distintos, en ambos casos la variable se aleja hacia el infinito, f)), f)) y también, la recta es de la forma y = m + n con m = para las horizontales). Si buscamos una recta y = m + n cumpliendo que f) m + n) cuando +, también se cumplirá que f) m n, de donde f) m n f) luego se tendrá que m =. Y conocido m, se tendrá f) m + n) f) m n, de donde n = f) m. En consecuencia, eistirá asíntota cuando + o en + ), si eisten y son reales los valores de los f) ites m = y n = f) m, siendo y = m + n es la asíntota buscada. Análogo en ). Ejemplo La función f) = )+), tiene por dominio, Domf) =, ), 3) 3, + ). ) 3) Como el numerador, es continuo en R, las asíntotas verticales si eisten) estarán en los puntos donde se anule el denominador, es decir,, y 3. ) ) + ) ) f) = ) 3) = = ) + ) f) = + + ) 3) = + ) + 3) + = 3 + = ) ) + ) 3 3 ) f) = 3 3 ) 3) = + = + f) = = + Luego las asíntotas verticales son = cuando, f) ) y = 3 cuando 3, f) + y cuando 3 +, f) + ). Estudiamos las asíntotas en +, m = f) = ) + ) ) 3) + = = n = f) = ) + ) ) 3) ) 3) )8 3 3) = ) 3) )+) + ) = 4 ) 3) y = 4 = y = +4 = 3 luego y = +4 es asíntota de f cuando +. Análogamente, se obtiene que y = 4 es asíntota cuando. Prof: José Antonio Abia Vian Grados de Ing. Industrial : Curso 3

14 8 Matemáticas : Preliminares 3.4 Teoremas del ĺımite y de continuidad 3.4 Teoremas del ite y de continuidad Teorema 8 de acotación y del signo para ites).- Sean f: A R R y un punto de acumulación de A. Si f) = L R, eiste un entorno E, δ) tal que f está acotada en E, δ) A. Además, si L, el valor de f) tiene el mismo signo que L. Demostración: Sea ε > fijo, entonces eiste E, δ) tal que f) L < ε, luego L ε < f) < L + ε, para todo E, δ). En consecuencia, f está acotada en dicho entorno reducido. Para la segunda parte, basta tomar ε tal que <L ε<f) si L>, o tal que f)<l+ε<, si L<. Corolario 83.- Si f: A R es continua en, entonces f está acotada en algún entorno de. Además, si f ), el valor de f) tiene el mismo signo que f ) Teoremas de continuidad en intervalos cerrados Teorema de Bolzano 84.- Sea f una función continua en el intervalo [a, b] y que toma valores de signo opuesto en a y b es decir, fa)fb) < ) entonces c a, b) tal que fc) =. Teorema de los valores intermedios 85.- Si f: [a, b] R es continua en [a, b] y fa) fb), entonces para cada k entre fa) y fb), eiste c a, b) tal que fc) = k. Demostración: Supongamos fa)<fb), y sea fa)<k <fb). La función g: [a, b] R dada por g)=f) k es continua en [a, b] y verifica que ga) = fa) k < y gb) = fb) k >, luego por el Teorema de Bolzano 84) eiste c a, b) tal que gc) = fc) k =, es decir, con fc) = k. Análogamente si fb) < fa). Corolario 86.- Sea I un intervalo de R y f: I R continua en I, entonces fi) es un intervalo de R. Teorema de acotación 87.- Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces f está acotada en dicho intervalo. Es decir, eiste M > tal que f) M, para todo [a, b]. Teorema de Weierstrass 88.- Si f es una función continua en el intervalo [a, b], entonces f alcanza un máimo y un mínimo en [a, b]. Es decir, α, β [a, b] tal que fα) f) fβ), [a, b]. Corolario 89.- Si f es continua en a, b) y f) = l R y f) = l R, la función f está a + b acotada en a, b). También es cierto cuando a es y cuando b es +.) 3.5 Ejercicios 3.6 Usar las Propiedades del orden 4 y las de las operaciones descritas en el apartado 3..4, para probar que: a) si < < y, entonces < < y b) si y < <, entonces < < y c) si < < y, entonces < < y d) si y < <, entonces < < y e) si < <, entonces < < f) si <, entonces < < g) si y < <, entonces < y < h) si y < <, entonces < y < i) si < < y, entonces < < y j) si < < y, entonces y < < Prof: José Antonio Abia Vian Grados de Ing. Industrial : Curso 3

15 9 Matemáticas : Preliminares 3.5 Ejercicios 3.7 Hallar el dominio de las funciones reales de variable real dadas por: i) f ) = ii) f ) = iii) f 3 ) = + iv) f 4 ) = ln v) f 5 ) = ln vi) f 6 ) = ln ) vii) f ) + f ) viii) f 3 ) f ) i) f + ) f 3) ) f 7 ) = + i) f 8 ) = lnf 6 )) ii) f 9 ) = + iii) f 3 ) f 3 ) iv) f 9 ) f 7 ) v) vi) f 6) f + f) ) f 6) f 4)+f 5) f 8) vii) f 5 f 8 )) viii) f f 4 f )) a) Epresar la funciones f y f 4 como funciones definidas a trozos. b) Por qué los dominios de f 3 y de f 7 son distintos? c) Cuál será el dominio de la función f f? Obtener su epresión. 3.8 Sean f y g dos funciones reales de variable real monótonas. Probar que: a) Si f es estrictamente) creciente, las funciones f ) y f) son estric.) decrecientes. b) Si f es estrictamente) decreciente, las funciones f ) y f) son estric.) crecientes. c) Si f es estric.) creciente y positiva, la función f) es estric.) decreciente. d) Si f es estric.) decreciente y positiva, la función f) es estric.) creciente. Qué ocurrirá en este caso y en el anterior si la función f es negativa? e) Si f y g son crecientes decrecientes), f + g es creciente decreciente). f) Buscar una función f creciente y una g decreciente tales que f + g sea creciente; y otras para que f + g sea decreciente. g) Si g es creciente y f es creciente decreciente), g f es creciente decreciente). h) Si g es decreciente y f es creciente decreciente), g f es decreciente creciente). Que ocurrira si la monotonía de g es estricta? Y si lo es la de f? Y si lo son ambas? 3.9 Usar los resultados del ejercicio anterior, para probar lo siguente: a) Probar que f) = + es creciente en, ) y decreciente en, + ). b) Sabiendo que e es esctirtamente creciente en R y que = e ln, probar que sh) y ln) son crecientes. c) Probar que f) = + es creciente en, + ) y usarlo para probar que th) es creciente en R. 3.3 Sea f: R R, se dice que f es par si f ) = f), y que es impar si f ) = f). a) Comprobar si sen, cos, tg, sh, ch, th y n, para n =, ±, ±,..., son pares o impares. b) Si f es par y creciente en, + ), será también creciente en, )? c) Si f es impar y creciente en, + ), será también creciente en, )? d) Que característica especial cumplen las gráficas de las funciones pares? Y las de las funciones impares? Justificar la respuesta 3.3 Para las funciones que aparecen en el Ejemplo 56 anterior, dibujar su gráfica y la de su inversa en los dominios indicados. Si una función f: A B es creciente decreciente) en A, dirías que su inversa f : B A también es creciente decreciente) en B? Probarlo en el caso de creer que es cierto, o en el caso de creer que es falso, justificarlo con un ejemplo. 3.3 Sean las funciones f, g y h, funciones reales definidas por: f) =, si, si > ; g) =, si, ], si, ) 3, si [, ) ; h) = 3, si , si + > Prof: José Antonio Abia Vian Grados de Ing. Industrial : Curso 3

16 3 Matemáticas : Preliminares 3.5 Ejercicios a) Describir la casuística de f y h mediante la pertenencia de a intervalos como la función g ) b) Describir la casuística de g y h mediante desigualdades de como la función f ) c) Obtener su dominio y el de las funciones f, g, f +g y f h. d) Hallar las epresiones de f, g, f +g y f h, como funciones definidas a trozos. e) Encontrar el dominio y la epresión de las funciones compuestas f ) y g ). f) Encontrar el dominio y la epresión de las funciones g f y f g Calcular los siguientes ites: 7 a) b) 3 d) 4 +) e) g) j) + 3 h) k) c) f) ) i) sen + ) + + l) 3.34 Usar ites laterales para verificar la eistencia o no de los siguientes ites: ) ) a) b) c) ) d) ) 3.35 Probar, razonadamente, que los siguientes ites valen : a) ) e + b) sen a) c) a a 3.36 Usar la continuidad de las funciones, para hallar: a) ln 3 + ) + b) tglncose ))) c) + cos π th π π )) 3.37 Encontrar infinitésimos e infinitos equivalentes a: a) sen, cuando + b) + + 4, cuando c) cos ) ), cuando d) ln ), cuando e) 3 3 +, cuando f) cos), cuando π g) ln ), cuando h) e 5, cuando i) sen), cuando π j) tg 6 ), cuando 3.38 Calcular, si eiste, el valor de: lncos ) sen a) b) +e th) c) 3 7 tg sen 3 + ) d) 3 5 ) cos) ) 3.39 a) Si f y g son ifinitésimos cuando a y infinitésimos equivalentes cuando a. f) a g) = L, probar que f) y L g) son b) Si β es una raíz de multiplicidad m del polinomio P ) = a n n + + a + a, probar que P ) y k β) m son infinitésimos equivalentes cuando β, para algún valor k. 3.4 Usar el resultado a f) = h fa + h) para calcular ln ) a) b) c) π 3.4 Usar el logaritmo neperiano, para probar que + ) = e y que 3 senπ+) cos π) d) π cos π + ) = e. Prof: José Antonio Abia Vian Grados de Ing. Industrial : Curso 3

17 3 Matemáticas : Preliminares 3.5 Ejercicios 3.4 Calcular, si eiste, el valor de: a) 3 ) b) ) c) + ) 3 d) π + cos ) 3 cos 3.43 Considerar las funciones reales de variable real dadas por f) = 3 + y g) = 3. Estudiar la continuidad de f y g en sus dominios de definición indíquese también la continuidad lateral, si ha lugar) Estudiar la continuidad de las siguientes funciones en su dominio: a) f) = c) f) = sen, si, si = b) f) = +, si 3 4, si = d) f) = a +, si < Para que valores de las constantes a y b, f) = a + b, si = 3 b, si > Sean las funciones f, g, h: R R, definidas a trozos mediante: f) =, si, si > ; g) =, si, si < < 3 +, si 4 +), si, si =, si > 3, si ; h) = es continua en R? 3 +, si , si + > a) Estudiar la continuidad de cada una de ellas indíquese también la continuidad lateral). b) Hallar las epresiones de f, g, f +g y f h, como funciones definidas a trozos. c) Estudiar la continuidad de las funciones anteriores. Qué ocurre en los casos donde no puede aplicarse la regla general? d) Realizar lo pedido en los apartados b) y c) para la función g f Estudiar la continuidad de las siguientes funciones según los valores del parámetro a: a, si a a) f a ) = a ) a +, si > a b) f a ) = a a +, a a +, si < a, si = a si > a 3.48 Probar que las gráficas de las funciones f) = e y g) = 3, se cortan al menos en dos puntos del intervalo [, ] Estudiar si las funciones del ejercicio 3.44 están acotadas superior e inferiormente. Prof: José Antonio Abia Vian Grados de Ing. Industrial : Curso 3