FUNCIONES DE UNA VARIABLE

Transcripción

1 FUNCIONES DE UNA VARIABLE 1- Definiciones 2- Algunas funciones reales 3- Ecuaciones de curvas planas en coordenadas cartesianas 4- Coordenadas polares 5- Coordenadas paramétricas 6- Funciones hiperbólicas 7- Continuidad 8- Derivadas y diferenciales 9- Etremos 1- Aproimación local de una función

2 DEFINICIONES Una función real de una variable real es una aplicación f: DŒÑöÑ que hace corresponder a cada número real e D un número real y eñ f: D öñ ö y=f( D= dominio de definición de f Representaciones gráficas f está acotada en un entorno E de un punto e D si $ c eñ + tal que f( < c " e E

3 Sea f una función real de una variable real definida en Ñ La función f es periódica si eiste P> tal que: f(t = f(t+p = f(t+2p =... = f(t+np con nœù "tœñ P es el periodo de f si 3 t < f(t = periódica de periodo P = 6 2t si t t

4 Definición f función par cuando f(- t= f(t "tœd (dominio 1 -p π 2-1 π 2 π 3π 2 2π f(t=cost función par y periódica de periodo 2p La gráfica de f es simétrica respecto al eje OY Para f par, se cumple: T T f(t dt = 2 T f(t dt

5 Definición f función impar cuando f(-t= -f(t "tœd 1 -p π 2-1 π 2 π f(t=sent función impar y periódica de periodo 2p La gráfica de f es simétrica respecto al origen O Para f impar, se cumple: T f(t dt = T

6 Definiciones Sea una función f:dœñøñ f es creciente en un intervalo IÕD si " 1, 2 I siendo 1 < 2 se cumple que f( 1 f( 2 f es decreciente en un intervalo IÕD si " 1, 2 I siendo 1 < 2 se cumple que f( 1 f( 2 f es estrictamente creciente en un intervalo IÕD si " 1, 2 I siendo 1 < 2 se cumple que f( 1 <f( 2 f es estrictamente decreciente en un intervalo IÕD si " 1, 2 I siendo 1 < 2 se cumple que f( 1 >f( 2

7 f está acotada superiormente si $ k eñ + tal que f( k " e D f está acotada inferiormente si $ k eñ + tal que f( k " e D f está acotada si lo está superior e inferiormente f está acotada en un entorno E de un punto e D si $ c eñ + tal que f( < c " e E

8 ALGUNAS FUNCIONES REALES FUNCIONES QUE HAY QUE CONOCER Función valor absoluto Función eponencial Función logarítmica Función potencial

9 ECUACIONES DE CURVAS PLANAS EN COORDENADAS CARTESIANAS ECUACIONES QUE HAY QUE CONOCER De la recta en distintas formas De la circunferencia De la elipse De la hipérbola De la parábola

10 COORDENADAS POLARES El cambio viene dado por: y r j P(,y = P(r,j y = y = ρ ρ cosϕ senϕ ρ = + y y ϕ = arctg 2 2 ρ ; π < ϕ π

11 FUNCIONES HIPERBÓLICAS Definiciones Se cumple que: sh(- = -sh( ch(- = ch( - e - e senh =, 2 - e + e cosh = 2 función impar función par Además: sh(=, ch(=1 ch 1 " R

12 Definiciones - sh e - e th = =, - ch e + e - ch e + e cth = = = 1 sh e - e - th Se cumple que: th(- = - sh( cth(- = - ch( función impar función impar Además: th(=, pero ± ch(=1

13 Relación fundamental de la trigonometría hiperbólica Además se cumplen las epresiones: sh(+y = sh chy + ch shy sh(-y = sh chy - ch shy ch(+y = ch chy + sh shy ch(-y = ch chy - sh shy ch2 = ch 2 +sh 2 =2ch 2-1=2sh 2 +1 sh2 = 2sh ch ch = ch ch - sh = 1 ch2 1 ch2 1 sh = si > sh = si < 2 2

14 FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS Definiciones Argumento seno hiperbólico y = + + = 2 ln( 1 arg sh D=(-, Argumento coseno hiperbólico y = + = 2 ln( 1 arg y = = 2 ln( 1 arg Argumento tangente hiperbólica ch ch D=[1, y = ln = ln = arg th D=(-1,1

15 CONTINUIDAD Sea f: D öñ y un punto de D Definición f es continua en si lim f( = f( ε > δ ε > / D : < < δ ε f( f( < ε f es discontinua en si no es continua en ese punto Definición f es continua por la derecha en Definición f es continua por la izquierda en si si lim f( = f( + lim f( = f(

16 Definición f es continua en un conjunto AÕD si es continua " e A f es continua en un intervalo cerrado [a,b] si: f es continua en (a,b f es continua por la derecha en a f es continua por la izquierda en b f es continua en un intervalo si se puede dibujar su gráfica sin levantar el lápiz del papel

17 Proposición f es continua en ñ f es continua por la derecha y por la izquierda en Proposición Si f es continua en entonces $ d > tal que f está acotada en ( - d, + d D Proposición f continua en [a,b] ï f acotada en [a,b] Proposición Si f y g son funciones continuas en entonces f+g, f-g y f.g también son continuas en Además si g( entonces f/g es continua en Este resultado se puede generalizar para funciones continuas en un intervalo

18 TIPOS DE DISCONTINUIDADES EN UN PUNTO Sea f: D ö Ñ y un punto de D Discontinuidad evitable Si Se puede evitar prolongando la f considerando la función continua f 1 dada por: f( si f 1( = lim f( si = Discontinuidad de primera especie Si limf( = limf( f( + λ = limf( limf( = λ La diferencia λ1 λ2 se llama salto de f en Discontinuidad de segunda especie Si no eiste alguno de los dos límites laterales

19 f( f(

20 Proposición Las funciones siguientes son continuas en sus dominios de definición f(= n f(=a n n +a n-1 n a 1 +a f( = n f( = b b b b m m 1 m + m n n 1 n + n a a a a f(=a, f(=log a f(=sen, f(=cos, f(=tg, f(=cotg - e - e f( = senh =, 2 - e + e f( = cosh = 2 f(=arcsen, f(=arccos, f(=arctg

21 Teorema de Bolzano Si f es continua en [a,b] f(a y f(b de signo contrario entonces $ œ(a,b / f( = y f(b y= f( y f(a y= f( f(a a b f(b a b f(a<, f(b> f(a>, f(b<

22 y f(b Puede haber más de un punto que verifique la proposición. f(a a y= f( b

23 DERIVADAS Y DIFERENCIALES Sea f: D öñ y un punto interior de D Definición f es derivable en si eiste y es finito el límite: lim h f( + h h f( f ( = derivada de f en Definición Derivada por la derecha f ' + ( = lim h + f( + h f( h Definición Derivada por la izquierda f ' ( = lim - h f( + h h f(

24 Proposición f'( f ( f ( ' ' + - ' ' f + ( = f -( Definición Sea f definida en un conjunto abierto D. f es derivable en D si f es derivable " e D. Si f es derivable en D, a la función que hace corresponder a cada punto e D su derivada f ( se la denomina función derivada de f en D, y se escribe: f f : D Ñ f (

25 Interpretación geométrica de la derivada La derivada de una función f en un punto es la pendiente de la recta tangente a la curva y=f( en el punto (, f( y y-f( = f ( (- f( y= f( Ecuación de la recta tangente 1 y f( ( f ( La ecuación de la recta normal es: =

26 Proposición Una función derivable en un punto es continua en ese punto. El recíproco no es necesariamente cierto!! y y y 1 y= y= 1/3 y = 2 1 > 1

27 Proposición Si f y g son funciones derivables en entonces f+g, f-g y f.g también son derivables en Además si g( entonces f/g es derivable en Se verifica que: 1º (f+g ( = f ( + g' ( 2º (f-g ( = f ( - g' ( 3º (f.g ( = f ( g ( + f ( g ( 4º f g ' ( = f'( g( f( [ g( ] 2 g'(

28 Teorema de Rolle Si f es continua en [a,b] derivable en (a,b entonces $ œ (a,b / f ( = f(a = f(b y f( f(a=f(b y= f( La recta tangente a la curva de ecuación y = f( en el punto (, f( es una recta horizontal a b

29 Puede haber más de un punto con tangente horizontal. y y= f( f(a=f(b a b

30 Teorema del valor medio de Lagrange Si f es continua en [a,b] derivable en (a,b f(b f(a entonces $ (a,b/ = f'( b a y f( f(b f(a a b y= f( La recta tangente a la curva de ecuación y = f( en el punto (, f( es paralela al segmento definido por los puntos (a, f(a y (b, f(b

31 y f(b Puede haber más de un punto que verifique el teorema. f(a y= f( a b

32 Regla de L Hôpital Si f y g son derivables en un entorno de lim f( = lim g( = eiste lim f'( g'( (o f( Entonces: eiste lim y se cumple que g( lim f( g( = lim f'( g'(

33 Ejemplos cos3 cos 2 lim 3sen3 sen 2 lim cos3 cos lim 2 = + = + = = = + = = 2 lim lim ln( lim = = = =

34 Derivada de una función compuesta Sean f: D f öñ y g: D g öñ con f(d f Õ D g Si: e int(d f y f es derivable en entonces: f( e int(d g y g es derivable en f( la función compuesta g é f es derivable en y (g f'( = g'[f( ].f'( (sen(3 2 = cos(3 2 (3 2 = cos(3 2 6

35 Derivada de la función inversa Sea f: D öñ y e int(d Si f es derivable en un entorno E de y f ( Entonces: $ U`VÕ Ñ con e U ` f( e V tales que f: U ö V es inversible y su inversa f -1 es dervable en f( y 1 d 1 f ( = = 1 f ' f ( dy dy / d ( 1 (

36 Derivada de la función implícita Se dice que y es función implícita de si está definida mediante una ecuación de la forma F(,y= En muchos casos no se puede despejar y=f( o puede ser demasiado complicado, sin embargo, si (,y es un punto en el que se cumple que: Entonces, F(,y = F es continua en un entorno del punto (,y F y F (,y eiste y es continua en un entorno de (,y siendo en un entorno de (,y eiste una función y=f( continua y derivable tal que F(,f(= y su derivada es: F (,y f ( = F (,y y F y (,y

37 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR Sea f: D ö Ñ y derivable en un entorno E de Definición f es derivable en si eiste y es finito el límite: f ( = derivada segunda de f en Definición f ( lim h + h h Si f es derivable en D, a la función que hace corresponder a cada punto e D su derivada segunda f ( se la denomina función derivada segunda de f en D, y se escribe: f f : D Ñ f ( f (

38 Se pueden definir los conceptos de derivada tercera, derivada cuarta,... i d f = derivada i ésima de f i d Definición Una función f es de clase C n en un conjunto abierto D si para cada punto e D eisten las derivadas f (, f (,..., f (n (, y la función derivada n-ésima f (n de f en D es continua sobre D. Otras notaciones: f'( f''( = =, Df(, D 2 = f(, = df d = 2 d f, 2 d =

39 FORMULA DE LEIBNIZ Se utiliza para obtener la derivada de orden n del producto de dos funciones Si f(=u(.v( se cumple que: n y = f ( = ( u v = u v k = k n ( n ( n ( n ( n k ( k ( ( Donde u = u v = v funciones sin derivar representan a las

40 Sea f definida en un entorno de y derivable en Definición Se llama diferencial de f en a la aplicación lineal df( : Ñ öñ definida por: h ö df( (h=f (.h " h eñ Definición f es diferenciable en si eiste la diferencial de f en Proposición f es diferenciable en si y sólo si f es derivable en Proposición Si df es la diferencial de f en, entonces, para h suficientemente pequeño se cumple que: f( +h - df( (h= f (.h

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42 EXTREMOS Definición Sea una función f:dœñøñ y D f tiene un máimo local en si $r> tal que f( f( "e ( r, +r D f tiene un mínimo local en si $ r> tal que f( f( "e ( r, +r D 1, 3, 5, 7 mínimos locales , 4, 6 máimos locales

43 Proposición Si e D y f es continua en [ -r, +r] y derivable en ( -r, +r entonces: * * si se cumple que : + r, ( si ( ' f r, ( si ( ' f la función f tiene un máimo local en * * si se cumple que + r, ( si ( ' f r, ( si ( ' f la función f tiene un mínimo local en

44 Proposición Si: f tiene las n primeras derivadas continuas en e D f ( = f ( =...= f (n-1 ( = f (n ( siendo n par. Entonces: * * si se cumple que : f (n ( < la función tiene un máimo local en * * si se cumple que : f (n ( > la función tiene un mínimo local en OBSERVACIONES 1º Generalmente se cumple la proposición para n=2, es decir: * Si f ( = y f ( < entonces f tiene un máimo en * Si f ( = y f ( > entonces f tiene un mínimo en

45 2º f ( = es condición necesaria pero NO es condición suficiente para la eistencia de un etremo en f(= 3 Para f(= 3 f (=3 2 ô f (= Pero en = no hay ni máimo ni mínimo de f 3º Puede ocurrir que f tenga un etremo en pero que no eista f ( Para f(= f(= en = f tiene un mínimo y ± f (

46 Definición Sea una función f:dœñøñ y D f tiene un máimo absoluto en si f( f( "e D f tiene un mínimo absoluto en si f( f( "e D Los máimos y mínimos globales se llaman etremos globales Proposición Toda función continua en un compacto alcanza un máimo absoluto y un mínimo absoluto en el compacto. Se pueden alcanzar en varios puntos. ( compacto = cerrado y acotado

47 , 3, 5, 7 mínimos locales 2, 4, 6 máimos locales Además, 1 mínimo absoluto y 4 máimo absoluto

48 COMO HALLAR LOS EXTREMOS DE UNA FUNCIÓN CONTINUA 1 Hallar los puntos críticos: etremos del dominio c / f (c = ± f (c 2 Estudiar los etremos del intervalo comprobando elsigno de f en su entorno 3 Eaminar los puntos críticos interiores comprobando el signo de f a ambos lados de c o el signo de f (c 4 Ver cuáles de los etremos obtenidos son los valores etremos absolutos

49 APROXIMACIÓN LOCAL DE UNA FUNCION Proposición Sea una función f y un intervalo (a,b centrado en Si f es de clase C n+1 en (a,b se verifica: f(=p n (+R n+1 ( " e (a,b donde: P R f ( (n 2 n n ( = f( + f ( ( + ( + + ( f (c = con c (, ó c (, (n + 1! (n+ 1 n+ 1 n + 1( ( Definición El desarrollo anterior se llama Fórmula de Taylor P n Polinomio de Taylor de f, de orden n en R n+1 Resto del desarrollo 2! f ( n!

50 Formula de Mac-Laurin Cuando en la fórmula de Taylor hacemos = f ( 2! 2 P n( = f( + f ( R n+ 1 (n+ 1 f (c ( = (n + 1! n+ 1 f ( n! (n n Observación P n ( es el único polinomio de grado menor o igual que n que verifica: P n ( =f(, P n ( =f (,..., P (n ( =f (n (