ANÁLISIS MATEMÁTICO I (2012)

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1 ANÁLISIS MATEMÁTICO I (2012) TRABAJO PRÁCTICO 4 Etremos y teorema del valor medio Ejercicio 1. Decir si las siguientes afirmaciones son correctas. En caso contrario, justificar la respuesta. 1. El teorema del valor medio se puede aplicar a la función f() = 1/3 en [ 1,1]. 2. Si la gráfica de una función tiene tres intersecciones con el eje, debe haber al menos dos puntos en los que su tangente sea horizontal. 3. Si la gráfica de un polinomio tiene tres raíces, debe haber al menos dos puntos en los que su tangente es horizontal. Ejercicio 2. Utilizando el teorema del valor medio, demostrar que una función continua en un intervalo [a,b] y derivable en (a,b) tal que f () > 0 para todo (a,b), resulta ser creciente en [a,b]. Ejercicio 3. Determinar los máimos y mínimos absolutos de las siguientes funciones en los intervalos indicados. 1. f() = , en [ 1/2,1/2] 2. f() = , en [ 2,2] 3. f() =, en [3,5] 2 4. f() = 4 4, en [1,6] 5. f() = 2 3 2/3, en [ 1,3] En cada ítem, es posible afirmar que la función tiene al menos un máimo y un mínimo absoluto sin hacer cálculos? Por qué? Ejercicio 4. Determinar los máimos y mínimos absolutos de las siguientes funciones en los intervalos indicados. 1. f() = 4 2 en [ 1, ) 2. f() = 3 en (, ) 1+ 2 { 3+ si 0 1, 3. f() = 1 si 1 < 2, 1 en [0,2]. 1

2 En cada ítem, sin realizar cálculos, es posible afirmar que la función tiene al menos un máimo y un mínimo absoluto? Ejercicio 5. La altura de un objeto t segundos después de dejarlo caer desde una altura de 500 metros es s(t) = 4.9t Calcular la velocidad media del objeto durante los 3 primeros segundos. 2. Verificar que en algún momento de esos 3 primeros segundos estaba cayendo a una velocidad igual a la velocidad media calculada antes. En qué instante ocurre esto? Ejercicio 6. Calcular la distancia del punto (1,2) a la parábola de ecuación y = 2 4. Ejercicio 7. Hallar dos números positivos cuyo producto sea 16 y (a) su suma sea mínima. (b) la suma de uno de ellos con el cuadrado del otro sea mínima. Ejercicio 8. Se planea fabricar una caja rectangular sin tapa de una pieza de cartón de 80 cm por 1,5 mts cortando cuadrados en las esquinas y doblando los lados hacia arriba. Cuáles son las dimensiones de la caja de mayor volumen que se pueda hacer de este modo? Ejercicio 9. Un trozo de alambre de 10 metros de longitud se corta en dos partes. Con una parte se hace una circunferencia y la otra se dobla en forma de cuadrado. Cómo debe cortarse el alambre de modo que el área total de las dos figuras sea máima? Ejercicio 10. Determinar las dimensiones del triángulo de área máima inscripto en la circunferencia de radio 1 según la siguiente figura 2

3 Concavidad Ejercicio 11. Sea f : (a,b) IR una función derivable tal que f () > 0 para todo (a,b). 1. Mostrar que f es cóncava hacia arriba si y sólo si f 1 es cóncava hacia abajo. Interpretar gráficamente. 2. Si además f es derivable dos veces, dar otra pueba de (a) utilizando el criterio de la segunda derivada para la concavidad. Ejercicio 12. Encontrar los puntos de infleión, y determinar la conveidad en los intervalos que estos determinan, de las siguientes funciones: 1. f() = ( 2 4) 2 2. f() = f() = (+1) 1 2 Ejercicio 13. Dada la función f() = { 2 si < 0, 3 si 0. Graficar. Mostrar que f no eiste en = 0. Analizar si en = 0 hay un punto de infleión. Ejercicio 14. Sea f : (a,b) IR una función dos veces derivable y sea 0 (a,b) tal que f ( 0 ) = 0. Demostrar que 1. si f ( 0 ) < 0, 0 es un máimo local de f; 2. si f ( 0 ) > 0, 0 es un mínimo local de f. Si f ( 0 ) = 0, dar ejemplos que muestren que en 0 puede haber un máimo, un mínimo o un punto de infleión. En tal caso habrá que clasificar el punto 0 mediante el crecimiento o decrecimiento de la función o el signo de su derivada. Ejercicio 15. Clasificar los etremos locales y absolutos de las funciones en el ejercicio 12 utilizando el criterio de la segunda derivada cuando sea posible. 3

4 Funciones trigonométricas Ejercicio 16. Estudiar la funciones cos y tg = sen analizando su dominio, periodicidad, imagen, intersecciones con los ejes, regiones de crecimiento, comportamiento en el cos infinito y en el 0, asíntotas verticales. Analizar la continuidad y la derivabilidad. Graficar. Ejercicio 17. Calcular las derivadas de las siguientes funciones, indicando en cada caso el dominio de la función y de su derivada: 1. cosec = 1 sen 2. sec = 1 cos 3. cotg = 1 tg Ejercicio 18. Hallar los límites cuando 0 de: (a) sen(2) (d) sen() sen( 2 ) (b) sen(2 ) (e) 1 cos() sen() sen(π ) (c) (f) 1 cos 2 Ejercicio 19. Calcular las derivadas de las siguientes funciones: 1. f() = sec ( 2 +1) 2. f() = +cos() cos()sen() 3. f() = tg(sen ) Ejercicio 20. Analizar la eistencia local de funciones inversas de sen, cos y tg. Considerar los dominios en los que éstas eistan y demostrar que son derivables. Hallar la derivada en cada caso. Graficar. Ejercicio 21. Demostrar que eiste algún número tal que sen = 1. ( ) ( ) 1 1 Ejercicio 22. Dadas las funciones f() = sen, g() = 2 sen. 1. Analizar la continuidad en = En caso de ser posible, redefina estas funciones de manera que resulten continuas en = 0, y analice su derivabilidad. 4

5 3. Si alguna de las funciones resultara derivable, analizar la continuidad de su derivada. Ejercicio 23. Para cualquier ángulo agudo de medida, sea A() el área sombreada A() según se indica en la figura. Si el triángulo más grande es isósceles, calcular A() Funciones eponenciales y logarítmicas. Ejercicio 24. La población de cierta ciudad se duplica cada 10 años y en 1940 tenía habitantes. 1. Determinar la población en Epresar la población en función del tiempo (en años). 3. Dibujar la curva de población. La población, crece o decrece con respecto al tiempo? Ejercicio 25. Demostrar que si 0 < a < 1, a es estrictamente decreciente. Puede definirse la función eponencial si a < 0? Justifique. Ejercicio 26. Probar las siguientes propiedades: Para a > 0, Dom(log a ) = (0, + ) e Im(log a ) = IR log a 1 = 0 log a (y) = log a +log a y log a ( 1 ) = log a log a b = blog a log a es una función derivable en su dominio Ejercicio 27. Analizar crecimiento y decrecimiento de f() = log a de acuerdo a los distintos valores de a. Ejercicio 28. Demostrar que 5

6 1. (ln) = 1 2. (e ) = e 3. (log a ) = 1 log ae 4. (a ) = a lna Ejercicio 29. Calcular las derivadas de las siguientes funciones. Eplicitar dominio de la función y de su derivada: 1. f() = ln( 2 +1) 2. f() = e 3. f() = 4. f() = ln 5. f() = 2 ln Sobre límites en el infinito Ejercicio 30. Calcule los siguientes límites Qué se puede decir del f()g() cuando f() = 0 y g() = +? Ejercicio Hallar Dados dos polinomios p() y q() de grados m y n respectivamente, analizar el comportamiento de la función racional p() cuando + si m > n, m = n y q() m < n. Ejercicio Calcular + sen 6

7 2. Demostrar que f()g() = 0 si f() = 0 y g() es una función acotada. + + Ejercicio Probar que 1+ < e, para > Utilizar (a) para mostrar que < e, para > 0 e 3. Utilizar (b) para demostrar que =. 4. Calcular: e ln( 4 ) ln( ) e Ejercicio 34. Hallar los siguientes límites: n ln(), n natural 2. + ln(1+e ) ( ) 4. (1+ 1 ) 3 ( ) / ( a 1), a > ln() e 1 tg() Estudio y gráfico de funciones. Ejercicio 35. Probar las siguientes desigualdades: cos() si tg() > si 0 < < π/ ln() 2 1 si 1. Ejercicio 36. Graficar las siguientes funciones eplicitando en cada caso, si es posible: Dominio. Puntos de discontinuidad. Intersecciones con los ejes coordenados. Puntos críticos. Máimos y mínimos, locales y absolutos. 7

8 Regiones de crecimiento y de decrecimiento. Comportamiento de la función cuando + y. Valores de en los cuales la función tiende a + o a, a izquierda o a derecha (asíntotas verticales). Regiones de conveidad. Puntos de infleión. 1. f() = f() = f() = 2/3 +( 1) 2/3 4. f() = ln( 2 +1) 5. f() = e 2 6. f() = 7. f() = arctg( +1) 8. f() = sen 2 () 9. f() = 10. f() = e 1 2 (+1) f() = ln() 8