TEMA 3: CÁLCULO DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Transcripción

1 TEMA : CÁLCULO DE FUNCIONES DE AIAS AIABLES. Hallar f,. f, f, Hallar el valor de la función f, en los puntos de la circunferencia.. Calcular los guientes límites: cos lim,, sen lim,, c, lim con, d lim,, e lim,, f lim,, 4. Hallar los puntos de discontinuidad de las guientes funciones: f, f log, 5. Demostrar que la función f, es continua con relación a cada una de las variables e por separado, pero no es continua en el punto, como función de dos variables. 6. Estudiar la continuidad de las guientes funciones: f,,,,,

2 f,,,,, 7. Hallar las derivadas parciales de las guientes funciones: log c u d arctan 8. Hallar una ecuación para el plano tangente a la gráfica f en el punto,, f para:, f, 4 en,, f, en,, c f, log cos arctan en, d f,, en,,, 9. Hallar el vector gradiente f, en todos los puntos de funciones: f, log,, f, f, sen,, f,. Demostrar que, e h. Sea u f h u. Sean las funciones f,, u senu,cos8u u de ambas formas, directamente usando la regla de la cadena. para cada una de las guientes dg g. Calcular en du. Demostrar que la función w f u, v, donde u at, v bt verifica la ecuación w w w a b. t. Demostrar que la función satisface la ecuación. 4. Calcular la derivada direccional de f en el punto en la dirección dados. f,,, P 4,,, v i j k 4 f,,, P e, e,, v i j 4k c f,,, P,,, v,,

3 5. Calcular las segundas derivadas parciales para cada una de las guientes funciones: f,, ep ep f, cos c f, log d f, arctan u u 6. Mostrar que u, ep sen satisface la ecuación ecuación de Laplace. 7. Supongamos que f f F, que f es de clase C. Probar que F F f f. 8. Transformar a las nuevas variables independientes u v la ecuación dada. ; u, v ; u, c ; u, v v 9. Determinar la fórmula de Talor de segundo orden para las funciones dadas respecto del punto dado. f,,, f, ep cos,, c f, sen cos,, d f, ep cos,, e f,,,. Hallar los etremos de las guientes funciones: 6,, a b 8 c,, d e

4 . Hallar los etremos de las funciones de tres variables: u u,,, 4. Determinar los etremos condicionados de las funciones: u, u, 9 c d u a b c, u,,, e u, con las condiciones 5 8 f u, con las condiciones. Hallar la distancia mínima desde el origen en hasta la superficie Descomponer un número entero a en tres sumandos no negativos de manera que el producto de éstos sea máimo. 5. En una esfera dada, inscribir el cilindro cua superficie total sea máima. 6. Evaluar las integrales dobles guientes, donde es el rectángulo,, d d cos 4 e sen d d c d d 7. Calcular las integrales iteradas: d d cos r sen dr d 5 c d d 4 d d d a a sen e r dr d.

5 8. Invertir el orden de integración en las guientes integrales dobles. 4 f, d d f, d d a a a c f, d d sen d f, d d 9. Pasando a coordenadas polares, calcular las guientes integrales. D d d, donde D es el recinto limitado por la circunferencia de ecuación a. a D tuado en el eje OX. c a D d d a,., donde D es un semicírculo de radio a con centro en el punto, d d, donde D está limitado por la hoja lemniscata. Calcular el área de la figura tuada sobre el eje OX limitada por, 4a, a.. Hallar el área limitada por las parábolas 5, Hallar el área limitada por las curves a cos, a cos, a.. Hallar las coordenadas cilíndricas esféricas de las guientes superficies que están en coordenadas rectangulares carteanas: c 4. epresentar las superficies cuas ecuaciones en coordenadas cilíndricas son: r 9 r c r cos 5. Describir en coordenadas cilíndricas: La región del espacio de los puntos que están a un distancia a del Polo se encuentran en el interior del cilindro de ecuación r a cos. El cono sólido de altura radio iguales a 4 unidades.

6 6. Describir las guientes regiones del espacio utiliando coordenadas esféricas: La intersección del cono con vértice en el Polo, eje de metría el eje ángulo entre el eje de metría una generatri igual a radianes, con la esfera de radio a centro el Polo. 6 La región comprendida entre las esferas centradas en el Origen con radios a b, respectivamente a b. 7. Calcular las guientes integrales triples d d d, donde es el recinto limitado por los planos de coordenadas por el plano. d d d, donde es la parte común de las esferas de ecuación,. c d d d, donde es el recinto limitado por el plano h por el cono de ecuación h. d d d d, donde es el recinto limitado por las superficies que contiene el punto,,., e d d d, donde es la parte interna de la esfera. 8. Calcular el volumen de la parte del cilindro a, comprendido entre el paraboloide a el plano XOY.