Problemas de Cálculo Matemático E.U.A.T. CURSO Segundo cuatrimestre. Problemas del Tema 9. Funciones de dos variables.

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1 1 Problemas de Cálculo Matemático E.U.A.T. CURSO Segundo cuatrimestre Problemas del Tema 9. Funciones de dos variables. 1. Determinar el dominio de cada una de las siguientes funciones: f(x, ) = log(x ) f(x, ) = 1 x 2 2 f(x, ) = x f(x, ) = 6 2x 3 x 2 + f(x, ) = log(16 x 2 2 ) 4 x f (x, ) = ln (x ) ln x f(x, ) = 4 x + f(x, ) = x2 + 2x + 2 x Dibujar nombrar la superficie del espacio tridimensional representada por cada una de las ecuaciones siguientes: (a) 3x + 2z = 12 (b) 4z = x (c) z = x (d) x 2 + z 2 = 2 (e) x z 2 = 16 (f) x z 2 = 36 (g) x = 2 (h) z = x + (i) 2 = 4z (j) x z 2 4x z 2 = 0 3. Describir gráficamente el conjunto de puntos (x,, z) tales que: (a) x z 2 = 1, x = z 2. (b) x < z < x Si f(x, ) = 2x 2 x + 2, hallar f x f en (1, 2) a partir de la definición. 5. Sea f(x, ) = { x x 2 + 2, (x, ) (0, 0), 0, (x, ) = (0, 0). Calcular f x (0, 0) f (0, 0).

2 2 6. Dada la función f(x, ) = { x 2 2 x 2 + 2, (x, ) (0, 0), 0, (x, ) = (0, 0). Estudiar f x (0, 0) f (0, 0). 7. Calcular las derivadas parciales z x = z x, z = z, siendo z = x + z = x2 x x z = sin x z = e x+2 2 z = ( x x ) 3 z = arctan x arctan x 8. Si z = (ax + b) 2 + e ax+b + sin(ax + b), comprobar que bz x = az. 9. Dada la función z = x2 2(x+), calcular xz x + z. 10. Si z = x x 2, demostrar que xz z + z = 3z. 11. Determinar las derivadas parciales primeras segundas de las siguientes funciones: z = sin 3x cos 4 z = 1 3 (x2 + 2 ) 3 z = ln x + x ) z = sin 2 (ax + b) z = arctan x + 1 x z = arcsin(x) 12. Si z = e x (x cos sin ), probar que 2 z x z 2 = Si z = 2 a 2 x, mostrar que 2 z 2 x = 2 z 2 a Hallar la dirección de la pendiente más pronunciada de la superficie z = x en el punto (2, 2, 4). 15. Hallar la derivada de la función z = x 3 3x 2 + 3x en el punto M(1, 1) en la dirección que va desde este punto hasta el (6, 5). 16. Hallar la derivada de la función z = arctan(x) en el punto (1, 1) en la dirección de la bisectriz de primer cuadrante. 17. La temperatura en un punto (x, ) del plano XY está dada por T = 100x x (a) Hallar la derivada direccional en el punto (2, 1) en una dirección que forma un ángulo de 60 0 con el eje positivo de las X. (b) En qué dirección, a partir del punto (2, 1), será máxima la derivada?

3 3 (c) Cuál es el valor de ese máximo? 18. Hallar la derivada de la función z = 5x 2 3x 1 en el punto M(2, 1) según la dirección de la recta que une este punto con el punto N(5, 5). 19. f(x, ) = x 3 + 3x 2 + 4x + 2. Demostrar que en el punto M(2/3, 4/3) la derivada es igual a 0, no importa según la dirección. 20. Hallar la derivada de la función z = 3x 4 x+ 3 en el punto M(1, 2) según la dirección que forma con el eje OX un ángulo de Hallar df siendo F (x, ) = x 3 4x ( ( ) x F (x, ) = arctan + arctan ( F (x, ) = x 2 ln F (x, ) = x 22. Hallar el valor de la diferencial total de la función z = x en el punto (2, 1) con x 2 2 x = 0, 01 = 0, Idem para la función z = x + x en (3, 4), con x = 0, 1 = 0, Si z = x 3 x + 3 2, calcular (a) z. (b) dz en (5, 4) con x = 0.2 e = 0.1. Explicar por qué z dz son aproximadamente iguales. Hallar z dz en (5, 4) con x = 2 e = Calcular aproximadamente log( 3 1, , 98 1). 26. Calcular aproximadamente ( (2.1) 3 ) 1/ Calcular aproximadamente (2.01) 2 + 2(6.02) Demostrar que (3x )dx + (x 3 4x )d es la diferencial de una cierta función F (x, ). 29. Averiguar si las expresiones siguientes son o no las diferenciales de ciertas funciones de dos variables: (a) (2x cos 3dx + (2x 2 + sin 3d (b) (6x 2 )dx + (2xe x 2 )d (c) (3x 2 )dx + (6 d x (d) x2 + dx + 2 x2 + d. 2

4 4 30. Hallar las ecuaciones del plano tangente a cada una de las siguientes superficies en el punto que se indica: (a) z = x en (2, 1, 4). (b) x 2 + x z + 1 = 0 en (2, 3, 4). (c) x xz = 0 en (2, 1, 4). 31. Demostrar que las superficies de ecuaciones z = e x+2+4 x 2 x 8x + z + 5 = 0 son tangentes en el punto (2, 3, 1). Hallar la ecuación del plano tangente. 32. Si f(x, ) = x 4 2 arcsin (. Ver que es una función homogénea comprobar que cumple el Teorema de Euler. Indicar el grado de homogeneidad. 33. Sea f(x, ) = x x. Ver que dicha función es homogénea que cumple el Teorema de Euler. Indicar el grado de homogeneidad. 34. Dada la función f(x, ) = x + x + 2, calcular su gradiente en un punto cualquiera (x, ) en el punto (2, 3). 35. Si f(x, ) = x Hallar el gradiente en el punto (3, 2). 36. Hallar un vector normal unitario a la superficie 2x 2 + 4z 5z 2 = 10 en el punto P (3, 1, 2). 37. Hallar un vector normal unitario a la superficie x 2 2xz z 4 = 10 en el punto P (2, 1, 1). 38. Dada la función x tan(az) = 0, hállense z x z. 39. Dada la función x z2 = 1, hállense z a 2 b 2 c 2 x z. 40. Sea z x = 2 z 2, demuéstrese que x 2 z x + 1 z = 1 z. 41. Dada z x = F ( z ); demuéstrese que xz x + z = z, sea cual fuere la función derivable F. 42. Si F (x,, z) = 0 define z como función implícita de x,, demostrar que (a) z x = F x F z (b) z = F F z, con F z Hallar los extremos relativos de las siguientes funciones: f(x, ) = 2 + x 2 f(x, ) = 2x 3 + x 2 + 5x f(x, ) = 1 + x + x 1 + f(x, ) = x + 1 x f(x, ) = x + + x2 2 f(x, ) = x 2 + x 2 x x f(x, ) = 3 + 2x 2 x 2 f(x, ) = x x + 1

5 5 44. Dividir el número a en tres partes de manera que su producto sea máximo. 45. Hallar las dimensiones del paralelepípedo rectángulo de volumen máximo que tiene tres caras en los planos coordenados un vértice en el plano x a + b + z c = Hallar el punto del plano 3x z = 14 que está más próximo al origen. 47. Encontrar las dimensiones del paralelepípedo de área mínima que tiene volumen dado V. 48. Cuál es el volumen del máximo paralelepípedo rectángulo que puede inscribirse en el elipsoide x z2 = 1? Determinar de entre todos los triángulos de igual perímetro 2p el que tiene maor área. 50. Hallar el paralelepípedo rectangular de área total 72 que tenga el volumen máximo. 51. Calcúlese la distancia mínima del origen al plano 2x + z = Una caja rectangular (sin tapa) ha de tener una cabida de 256 centímetros cúbicos. Calcúlese las dimensiones de la misma para que el área sea mínima. 53. La base de una caja rectangular cuesta tres veces más por metro cuadrado que los lados o la tapa. Determínense las dimensiones relativas a la caja más económica de volumen dado V.