Cálculo diferencial en varias variables (Curso ) a) Estudiar la continuidad en el origen de las funciones dadas.

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1 CÁLCULO Práctica 4.2 Cálculo diferencial en varias variables (Curso ) 1. Sean f, h: IR 2 IR funciones definidas del siguiente modo: x 3 f(x, y) = x 2, (x, y) (0, 0) + y2 a) Estudiar la continuidad en el origen de las funciones dadas. x 3 y 3 h(x, y) = x 2, (x, y) (0, 0) + y2 b) Calcular, en caso de que existan, las derivadas direccionales en (0,0) según un vector genérico ū = (cos θ, sen θ). Obtener, en particular, las derivadas parciales en (0,0) c) Estudiar la diferenciabilidad de las funciones dadas en (0,0). 2. Dada una función f(x, y) tal que sus derivadas parciales en el punto P son f x = 1 y f y = 0, y cuya derivada direccional según una dirección w es igual a cero en ese punto. Es diferenciable en el punto P? 3. Se considera la función z = f(x, y) diferenciable en el punto P y el vector ū = (4, 3). Si f (P ) = 12 y la derivada direccional de la función f según la dirección del vector ū vale 12, y calcular: (a) f x (P ) (b) La dirección y el valor de la variación máxima de f en P. (c) La variación de f en P en la dirección de la recta 3x + 4y + 2 = Se considera la función f : IR 2 IR definida de la siguiente forma: xy 2 f(x, y) = x 2 + y 2 si (x, y) (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0) (a) Determinar los puntos de IR 2 en los que f es continua. (b) Calcular, si existe, la derivada de f en (0, 0) según el vector (1, 2). (c) Calcular, si existe, la derivada parcial de f con respecto a x en el punto (2, 1).

2 5. Se considera la función, definida en todos los puntos de IR 2 salvo en el (0,0), de la siguiente forma: f(x, y) = sen(xy) x 2 + y 2 (a) Es posible darle algún valor a f en (0, 0) de forma que la función así obtenida sea continua en ese punto?. Y diferenciable?. (b) Calcular la dirección de máxima variación de f en el punto (0, 1). 6. Calcular la derivada direccional de la función f(x, y) = 3x 2 + y 2 en el punto P (2, 2) y en el sentido del vector que forma un ángulo de π 3 con el sentido positivo del eje OX. 7. Sea f: IR 2 IR una función definida del siguiente modo: 3x(x 2 y 2 ) f(x, y) = x 2 + y 2, (x, y) (0, 0) a) Estudiar la continuidad de la función f(x, y) en su dominio. b) Obtener, si existen, sus derivadas parciales en (0,0). c) Estudiar la diferenciabilidad de la función f(x, y) en su dominio. 8. Sea f: IR 2 IR una función definida del siguiente modo: sen 2 (xy) f(x, y) = sen 2, (x, y) (0, 0) (xy) + (x y) 2 a) Obtener, si existen, sus derivadas parciales en (0,0). b) Dada la función z = z(x, y) = f(u, v), con u = 2x + y, v = 3x 2y, y sabiendo que en el punto (u, v) = (3, 1) se tiene que f f = 3 y que = 2, obtener los valores de z u v x y z en el punto (x, y) = (1, 1). y 9. Se considera la función g : D g IR 2 IR, g(x, y) = cos(2 e xy + e x2 y 2 ) a) Determinar su dominio. b) Estudiar su diferenciabilidad.

3 10. Sean las funciones f: D f IR 2 IR 2, f(x, y) = ( e x+y, ln(x) ) g: D g IR 2 IR 2, g(x, y) = (sen(x), cos(xy)) h: D h IR 3 IR 2, h(x, y, z) = ( xyz, x 2 z ) a) Determinar los dominios D f, D g y D h de las funciones f, g y h. b) Estudiar la diferenciabilidad de las funciones f, g y h, obteniendo (cuando existan) sus matrices jacobianas en un punto genérico de su dominio. c) Obtener, en particular, la matriz jacobiana de f en el punto F = (1, 0), la matriz jacobiana de g en el punto G = (π, 1) y la matriz jacobiana de h en el punto H = (1, π, 1). d) Estudiar la diferenciabilidad de g h y obtener su matriz jacobiana en el punto H. 11. Sean f, g: A IR n IR funciones diferenciables en un punto a A. Demostrar que a) (f + g)(a) = f(a) + g(a). b) (λf)(a) = λ f(a). c) (fg)(a) = g(a) f(a) + f(a) g(a). 12. Se considera la función w = g(x, y, z) = xyz, con x = f 1 (t) = lnt, y = f 2 (t) = t y z = f 3 (t) = t 3. Hallar dw dt. 13. Sea la función g = f(u, v) = g(x, y, z), donde f es suficientemente derivable, y u = u(x, y, z) = e a x e b y, a, b IR, v = v(x, y, z) = x y a) Hallar A = g x + g y + g z b) Establecer la relación entre a y b para que A = Se considera la función z = f(u) = z(x, y) con u = u(x, y) = x 2 y. Indicar razonadamente si se verifica la relación x x z = 2y z y. 15. Se considera la función z = z(t) = f(x, y) con f(x, y) = x 2 y y 2, x = f 1 (t) = sen t y y = f 2 (t) = e t. Calcular, a través del árbol de dependencias, dz dt cuando t = Se considera la función u = u(x, y) = f(x, y, z) = x + z y + z por la ecuación ze z xe x ye y = 0. Hallar u x y u y. donde z está definida implícitamente

4 17. Demostrar que la ecuación 1 + x + y + z = e (x+y+z ) define implícitamente a z como función de x e y en un entorno de cualquier punto (a, b, c) que verifique la ecuación. Hallar z x y z y. 18. Demostrar que la ecuación y 2 ze x+y π sen(xyz) = 3π 2 de y y de z en un entorno del punto (1, 1, π 2 ). define implícitamente a x como función 19. Demostrar que la ecuación x 2 + sen y 2y = 0 define implícitamente a y como función de x en un entorno de un punto que verifique la ecuación. Calcular dy dx. 20. Se definen las funciones f: D f IR 2 IR g: D g IR 2 IR h: IR 3 IR donde (x, y) f(x, y) (x, y) g(x, y) (x, y, z) h(x, y, z) D f = {(x, y) IR 2 : x 2 + y 2 1}, f(x, y) = (x 1) 2 + y 2, D g = {(x, y) IR 2 : 0 x 1, 2 y 2}, g(x, y) = x 2 + x y 2 2y 1, h(x, y, z) = x 3 + y 2 + z 2 2xy x 2z. Determinar (si existen) los valores máximos y mínimos de las funciones f, g y h en los conjuntos indicados. 21. Sea A el conjunto {(x, y) IR 2 : x > 0, y > 0}. Encontrar y clasificar los extremos relativos de la función f : A IR, f(x, y) = 8 x + x y + y 22. Se considera la función f : IR 2 IR definida de la siguiente forma: f(x, y) = e x2 2x+y 2 a) Encontrar y clasificar los puntos críticos de f(x, y). b) Hallar la derivada direccional de f(x, y) en el punto P (1, 1) en la dirección del vector ( 1, 2). Cuál es el valor máximo que alcanza la derivada direccional en el punto P (1, 1)?. c) Hallar w s y w t, siendo w = w(s, t) = f(x, y), x=sen s=f 1(s), y = t 2 lns 2 = f 2 (s, t). 23. Considérese la función h(x, y) = x 2 6x + y 2 8y + 7. a) Determinar y clasificar los extremos locales de h(x, y) b) Encontrar el máximo y el mínimo de h(x, y) sobre el recinto {(x, y) IR 2 /x 2 + y 2 1} c) Si x = e st cost, y = s 2 ln(st), h(x, y) = g(s, t), calcular g s

5 24. Entre todos los rectángulos de perímetro dado p, hallar el de área máxima. 25. El material de las tapas superior e inferior de una caja rectangular cuesta 3 euros por metro cuadrado, y el material para los lados 2 euros por metros cuadrado. Cuál es la caja más barata con un volumen de un metro cúbico? 26. Determinar el punto en el que alcanza un extremo la derivada direccional de la función f(x, y) = x 3 + 3y 3 x 2 + y 2 según la dirección del vector (1,2). Averiguar el tipo de extremo de que se trata, así como el valor de la derivada direccional en ese punto. 27. La temperatura de un depósito cilíndrico viene dada por la función T (x, y, z) = 10(xe y2 + ze x2 ). Si estamos situados en el punto (0, 0, 1), indicar en qué dirección y sentido debemos movernos para que la temperatura disminuya lo más rápidamente posible. 28. Calcular las dimensiones de un cilindro de volumen máximo inscrito en una esfera de radio conocido R. 29. Encontrar la (única) respuesta correcta, de entre las indicadas, a las siguientes cuestiones: (a) Sea A un subconjunto de IR 2 abierto y f: A IR una función de clase dos. situación Es posible que f no sea diferenciable en algún punto de A. La matriz Hessiana de f es simétrica en cualquier punto de A. Necesariamente f alcanza un máximo y un mínimo en A. En esta Las derivadas direccionales de f son independientes de la dirección en cualquier punto de A. (b) La función f: IR 2 IR definida por f(x, y) = xy Alcanza un mínimo en el origen. Alcanza un máximo en el origen. No alcanza ni un máximo ni un mínimo en el origen. No cumple la condición necesaria de extremo relativo en el origen. (c) Sea f: A IR n IR una función de clase 1 y a un punto interior de A Si f alcanza un extremo relativo en a, entonces f(a) = 0. Si f(a) = 0 podemos asegurar que la función f alcanza un mínimo relativo en a si y sólo si Hf(a) es definida positiva. Es posible que A sea un conjunto compacto, f continua en A, y que f no alcance máximo en A. Ninguna de las respuestas anteriores es correcta. (d) Sea f : A IR n IR una función definida en el conjunto abierto A. Si f tiene todas las derivadas parciales en a A entonces es continua en a. Si f es diferenciable en a A entonces existen las derivadas parciales de f en un entorno de a y son continuas en a. Si f es diferenciable en a A entonces existen todas las derivadas direccionales de f en a. Si f es diferenciable en todo A, entonces D 12 f = D 21 f siempre que estas derivadas segundas

6 existan. (e) Sea una función f: D IR 2 IR tal que lim x 0 f(x, mx) = 1, m IR Es continua en el origen Si f(0, 0) = 1, la función es continua en el origen Puede ser diferenciable en el origen Necesariamente lim y 0 f(my, y) = 1, m IR (f)sea la función f : A IR n IR, n > 1, n IN, y a un punto interior de A El punto a viene determinado por un número natural El punto a no viene determinado por un número real Si la función f es continua en a, entonces existen las derivadas parciales de f en un entorno de dicho punto y son continuas en a Si la función f es diferenciable en a, entonces es de clase 1