CÁLCULO III (0253) EXAMEN DE REPARACIÓN 30/06/09. 3t 3t 3 3

Transcripción

1 CÁLCULO III (05) 0/06/09 a Estudie la curva de ecuación vectorial t t r(t) =,, + t + t tomando en cuenta: dominio, cortes con los ejes, signo, simetrías, asíntotas, puntos asintóticos, tangentes, puntos de tangencia y crecimiento b Pruebe que la curva en a verifica la ecuación cartesiana x + y = xy y escriba su ecuación polar ( punto) a Sea z(x, y) = xf(x + y) + yg(x y), donde f y g son funciones reales de una variable real, dos veces derivables Calcule la expresión z z z +, x y y x en términos de las derivadas de f y g b Calcule la derivada direccional de la función ( puntos) f(x,y,z) = xy + y z, en el punto A(0,, ) y en la dirección de la curva C de intersección de las superficies 4z = 4x + y, x + y + z = 0 ( puntos) Determine los puntos de la superficie 6x + y + z x y 8z + 0 = 0 que están a mayor distancia y a menor distancia del plano de ecuación 6z + y = Utilice coordenadas cilíndricas para calcular la masa del sólido ubicado en el primer octante que se encuentra dentro del cilindro x + y = 4x y limitado superiormente por la esfera x + y + z = 6 La densidad volumétrica de masa en cada punto es igual al producto de las coordenadas del punto

2 CÁLCULO III (05) 0/06/09 PREGUNTA a Estudie la curva de ecuación vectorial t t r(t) =,, + t + t tomando en cuenta: dominio, cortes con los ejes, signo, simetrías, asíntotas, puntos asintóticos, tangentes, puntos de tangencia y crecimiento Dominio: R { } Corte con los ejes: Eje x: y(t) = 0 t= 0 Eje y: x(t) = 0 t = 0 La curva pasa por el origen Signo: Simetrías: t - 0 x y Cuadrante IV II I La curva no presenta ningún tipo de simetría porque su dominio no es simétrico Asíntotas y puntos asintóticos: Oblicuas: t t t t lím = +, lím =, lím =, lím = + + t + t + t + t t t t + t + t y(t) + t t x(t) t t t + t t m = lím = lím = lím =, t t t t(t + ) t b = lím y(t) mx(t) = lím + = lím = lím = t t t t + t + t (t + )(t t + ) t t + Por lo tanto y = x es una asíntota oblicua de la curva cuando t Puntos asintóticos: t t t t lím = 0, lím = 0, lím = 0, lím = 0 + t + t + t + t t t t + t + Por lo tanto (0,0) es un punto asintótico de la curva cuando t y cuando t + Cálculo de r'(t): Dominio: R { } Tangentes y puntos cuspidales: Verticales: x'(t) = 0 t =, y'( ) 0 ( t ) t( t ) r'(t) =, ( + t ) ( + t ) La curva tiene una tangente vertical en r ( ) = (,( ) ) = ( 4, ) de ecuación Horizontales: y'(t) = 0 t = 0, t =, x'(0) 0, x'( ) 0 La curva tiene una tangente horizontal en r(0) = (0,0) de ecuación y = 0 x = 4

3 CÁLCULO III (05) 0/06/09 La curva tiene una tangente horizontal en r( ) = (, 4) de ecuación Puntos cuspidales: No tiene Crecimiento y decrecimiento de r(t): t - 0 y = 4 x y b Pruebe que la curva en a verifica la ecuación x + y = xy y escriba su ecuación polar 6 ( punto) (t) (t ) 7t + 7t 7t ( + t ) 7t t t x + y = + = = = = = xy ( + t ) ( + t ) ( + t ) ( + t ) ( + t ) + t + t Ecuación polar: x + y = xy r (cos ( θ ) + sen ( θ )) = r cos( θ)sen( θ) r(cos ( θ ) + sen ( θ )) = cos( θ)sen( θ) cos( θ)sen( θ) r = (r 0) cos ( θ ) + sen ( θ) PREGUNTA a Sea z(x, y) xf(x y) yg(x y) (6 puntos) = + +, donde f y g son funciones reales de una variable real, dos veces derivables Calcule la expresión en términos de las derivadas de f y g z z z +, x y y x u = x + y u =, u =, v = x y v =, v = x x y x y z (x, y) = f(x + y) + xf '(u) + yg'(v), z (x, y) = xf '(u) + g(x y) yg'(v) xx y z (x,y) = f '(u) + f '(u) + xf ''(u) + yg''(v), z (x,y) = xf ''(u) g'(v) g'(v) + yg''(v) z xy(x,y) = f '(u) + xf ''(u) + g'(v) yg''(v) z + z z = f '(u) + f '(u) + xf ''(u) + yg''(v) + xf ''(u) g'(v) + yg''(v) xx yy xy f '(u) xf ''(u) g'(v) + yg''(v) = 4yg''(v) 4g'(v) b Calcule la derivada direccional de la función yy ( puntos) f(x,y,z) = xy + y z, en el punto A(0,, ) y en la dirección de la curva C de intersección de las superficies de ecuaciones x + y + z = 0 Sean = 4z 4x y 0 C : x + y + z = 0 F(x, y, z) = 4z 4x y, G(x, y, z) = x + y + z De modo que 4z = 4x + y, ( puntos) F(x, y, z) = ( 8x, y, 8z) F(A) = (0,, 4), G(x) = (,, ) G(A) = (,, )

4 CÁLCULO III (05) 0/06/09 i j k F(A) G(A) = 0 4 = 4(,,) La dirección de la curva C la da el vector (,,) o el vector (,, ) Por otro lado f(x,y,z) = (y,x + 6yz,y ) f(a) = (,,) (,,) 7 Dvf(A) = f(a) = (,,),, 4 4 = + + = en la dirección (,,) Dvf(A) = 7 en la dirección (,, ) PREGUNTA Determine los puntos de la superficie 6x + y + z x y 8z + 0 = 0 que están a mayor distancia y a menor distancia del plano de ecuación 6z + y = + 6 La distancia de un punto P(x 0,y 0,z 0) al plano π : Ax + By + Cz + D = 0 viene dada por d(p, π ) = Ax0 + By0 + Cz0 + D A + B + C Para el caso de interés se tiene: P(x, y, z) y π : 6z + y 6 = 0 Por tanto 6z + y 6 d(p, π ) = 5 El problema se puede plantear de la siguiente manera: max/ min 6z + y 6 sujeto a la restricción g(x, y, z) = 6x + y + z x y 8z + 0 = 0 De modo que aplicando multiplicadores de Lagrange se tiene el sistema de ecuaciones: () 0 = λ(x ) () = λ(6y ) () 6 = λ(4z 8) (4) 0 = 6x + y + z x y 8z + 0 De la ecuación () se tiene que λ(x ) = 0 λ = 0 ó x = Si se hace λ = 0 se llega a un absurdo Como λ 0, entonces conviene x = De las ecuaciones () y () se tiene que Sustituyendo en la ecuación (4): 6 6 z (y ), y, z 6(y ) = 4(z ) = y + (y ) + y 8 (y ) = y + (y ) + 6(y ) + 4 y 4 6(y ) = 0 4

5 CÁLCULO III (05) 0/06/ y + (y ) + 4 6(y ) + 8 y 4 6(y ) = y + (y ) y + = y + y y + y + = y 4y + 4 = 0 6y 4y + 8 = 0 y 4y + = 0 (y )(y ) = y = z = P,,, y = z = + P,, + Evaluando en la función distancia punto-plano: D(P ) = (mayor dis tan cia), D(P ) = 0 (menor dis tan cia) 5 PREGUNTA 4 Utilice coordenadas cilíndricas para calcular la masa del sólido ubicado en el primer octante que se encuentra dentro del cilindro x + y = 4x y limitado superiormente por la esfera x + y + z = 6 La densidad volumétrica de masa en cada punto es igual al producto de las coordenadas del punto r = 0 Cilindro: x + y = 4x Semiesfera superior : r = 4cos( θ ) Densidad: ρ (x, y, z) = xyz r cos( θ)sen( θ )z π/ 4cos( θ) 6 r π/ 4cos( θ) π/ 0 π x + y + z = 6 z = 6 r m = r cos( θ)sen( θ)zdzdrdθ = r cos( θ)sen( θ)(6 r )drdθ π/ 4cos( θ) π/ 4cos( θ) r = cos( θ)sen( θ)(6r r )drdθ = cos( θ)sen( θ) 4r dθ = cos( θ)sen( θ) 4 cos ( θ) cos ( θ) dθ 6 / = 4 cos ( θ) cos ( θ) sen( θ)dθ = u u du = u u = = = = = =