Problemas resueltos correspondientes a la selectividad de Matemáticas II de septiembre de 2012, Andalucía

Transcripción

1 Problemas resueltos correspondientes a la selectividad de Matemáticas II de septiembre de, Andalucía Pedro González Ruiz 3 de septiembre de. Opción A Problema. Sea la función continua f : R R definida por: x+k, si x f(x) = e, x si x >. Calcular el valor de k.. Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x =. Tenemos Por otro lado: f( ) = límf(x) = lím(x+k) = +k = k x x< f( + ) = lím x x> x x< e x f(x) = lím x x x> x = lím x x = x> Enésteúltimolímitehemosaplicadolaequivalenciae z z,cuandoz.porelenunciado, la función es continua en x =, luego k =. Para la segunda parte, la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en x =, es: Ahora bien y = f()+f ()(x ) f() = e = e Sea g(x) = ex. Derivando y simplificando: x luego g (x) = (x )e x + x 3 f () = ( )e + 3 =

2 Por consiguiente, la recta tangente es: y = e +(x ) = x+e 3 Problema. Sea I = x + x dx. Expresar la integral I aplicando el cambio de variable t = x.. Calcular el valor de I. Sea t = x. Entonces: t = x = x = t = dx = tdt Para x = es t =, y para x = es t =, luego: I = = dt = ( t )( t) +t [ t (t t )dt = t3 3 ( t)(+t)t dt = +t ( = ) = 3 3 ] t( t)dt = Problema.3 Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones con dos incógnitas: kx + y = x + ky = k x y =. Probar que el sistema es compatible para cualquier valor del parámetro k.. Especificar para qué valores del parámetro k es determinado y para cuáles indeterminado. 3. Hallar las soluciones en cada caso. Reordenamos las ecuaciones, con lo que las matrices de los coeficientes y ampliada son: k. k. k Los puntos verticales muestran la separación entre la matriz de los coeficientes y la ampliada. Para el cálculo de los rangos, vamos a utilizar la reducción gaussiana, y para ello, recordamos las operaciones elementales de fila:. C ij = cambiar las filas i,j.. M i (k) = multiplicar la fila i por el número k. 3. S ij (k) = sumar a la fila i la fila j multiplicada por el número k.

3 En fin: k. = {S ( k),s 3 ( )} = k +. k + k. k k +. k + La tercera fila es igual que la segunda, luego eliminamos aquella, con lo que el sistema queda como: ( ) () k +. k + Distinguimos dos casos: ( ) k =, entonces () queda como, o bien. ( ) El rango común r de las matrices de los coeficientes y ampliada es r = y el número de incógnitas n es n =, luego el sistema es compatible indeterminado, o más detallado, compatible con infinitas soluciones dependientes de n r = = parámetro. El sistema a resolver es x y =, y llamando x = t, es y = +t. Resumiendo: x = t, y = +t, t R ( k, o bien k +. En este caso (), puede simplificarse por M k+), y queda como: ( ). El rango común r de las matrices de los coeficientes y ampliada es r = y n =, luego el sistema es de Cramer y tiene solución única. Queda como: x y = y = Sustituyendo la segunda en la primera resulta x =, luego la solución es: x =, y = Problema. Sean los puntos A(,,), B(,, ), C(,, ) y D(,,).. Hallar la ecuación del plano π determinado por los puntos A, B y C.. Demuestra que los cuatro puntos no son coplanarios. 3. Calcular la distancia del punto D al plano π. Los vectores directores de π son: AB = (,, ), 3 AC = (,, 3)

4 luego x y z π 3 = Desarrollando el determinante obtenemos π x+3y +z =. Sustituyendo las coordenadas de D en π resulta: +3 + =, o bien, 7 = absurdo, luego D π, y por consiguiente, los cuatro puntos no son coplanarios. Finalmente: d(d,π) = = 7 = {racionalizando} =. Opción B Problema. Sea la función f definida por f(x) = e x x. Estudiar las asíntotas de la gráfica de la función f. para x.. Hallar los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento. El punto x = es una discontinuidad asintótica, luego la recta x = es asíntota vertical. Como no hay más discontinuidades de éste tipo, no hay más asíntotas verticales. Por otro lado: ( ) ( ) e x lím f(x) = lím x + x + x = lím x + e x lím = e = = x + x Sin embargo: e x lím f(x) = lím x x x = {L Höpital} = lím y + = { x = y} = lím y + e y = e+ = + e y { } +y = = En conclusión: lím f(x) =, lím x + f(x) = + x luego, la recta y = es asíntota horizontal cuando x +. No hay asíntotas oblícuas. Derivando y simplificando: f (x) = xe x (x ) Los factores e x y (x ) son positivos, luego solamente hay que tener en cuenta el factor x. Así pues, si x <, f (x) <, luego f decrece en ],[, y si x >, f crece en ],[ ],+ [ (no podemos escribir directamente ], + [ debido a la discontinuidad en x = ). Teniendo el crecimiento y decrecimiento, los extremos locales son sencillos, en concreto, f tiene un mínimo local en x = de valor f() =. Resumiendo, el punto (,) es el único extremo local, en concreto, un mínimo.

5 Problema. Sea f : R R la función definida por f(x) = 9 x. Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x =.. Esbozar el recinto limitado por la gráfica de f, la recta x+y = 5 y el eje de abscisas. Calcular el área de dicho recinto. La recta tangente en x = es, y = f()+f ()(x ). Por un lado es f() = 9 por otro: =, y f (x) = x = f () = luego la recta tangente es: y = (x ) = x + = 5 x es decir: y = 5 x, o lo que es lo mismo, x+y = 5 que es la recta del apartado segundo. Para dibujar esta recta, con dos puntos es suficiente. Uno de ellos es el punto de tangencia (,) y el otro el (5,). La gráfica de f es una parábola, f es par, para x = es y = 9. Al revés, si y =, resulta x = ±3. El vértice es: f (x) = = x ( = = x = = V, 9 ) Finalmente, como f (x) = verde y parábola en rojo): <, f es cóncava, y el recinto pedido es (recta tangente en 5

6 Sea S la superficie de la región sombreada. El dominio no es simple. Lo descomponemos en dos simples, en concreto x [,3] [3,5]. Sean S y S las áreas de cada uno de ellos. Obviamente S = S +S. En el intervalo [3,5], el área es la de un triángulo rectángulo, luego: En [,3] es: S = = 3 S = base altura ( ) 5 x 9 x dx = [ ] (x ) 3 3 = 3 3 = x x+ = dx = [ (x ) 3 ] 3 = 8 = 8 = 3 3 (x ) dx = luego S = + 3 = 5. Con esto finaliza el problema. No obstante, si observamos el dominio 3 desde el eje y, vemos que es simple, luego vamos a hacer lo mismo, pero integrando respecto a éste eje. La función inversa de y = 9 x es: y = 9 x = x = 9 y = x = ± 9 y es decir, x = + 9 y puesto que la x es positiva. La función inversa de y = 5 x es: y = 5 x = x = 5 y Por tanto: En fin: S = [ (5 y) ] 9 y dy 9 ydy = (9 y) / dy = [ (9 y) 3/ 3/ ] = {cálculos} = 3 3 También: luego (5 y)dy = [ 5y y ] = = 6 S = = 5 3, c.q.d. Problema.3 Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones con tres incógnitas: x y = λ λy +λz = λ x y +λz =. Clasificarlo según los distintos valores del parámetro λ.. Resolverlo par λ = y λ =. 6

7 Las matrices de los coeficientes y ampliada son: λ A = λ λ, A = λ λ λ λ λ Desarrollando, obtenemos A = λ(λ + ), luego Distinguimos tres casos: A = λ = ó λ = Si λ, = A = r(a) = 3. La matriz ampliada también tiene rango 3, y el número de incógnitas también es 3. En definitiva, el sistema es de Cramer, y tiene por tanto solución única. No hay nada que resolver puesto que no nos lo han pedido. Si λ =, es A =, luego r(a) < 3. La matriz ampliada es A = Eliminamos la segunda fila, con lo cual la matriz queda como: ( ) Sumando a la segunda fila la primera: ( ) = {dividiendo por la segunda fila} = ( ) es decir, rango(a) = = rango(a ), el número de incógnitas es n = 3, luego es un sistema compatible con infinitas soluciones dependientes de parámetro. El sistema queda como: luego, la solución es: x y =, y = = x = x =, y =, z = t, t R Si λ =, es A =, luego r(a) < 3. La matriz ampliada es A = La suma de la primera y tercera es la segunda, luego, eliminamos la tercera, con lo cual la matriz queda como: ( ) es decir, rango(a) = = rango(a ), el número de incógnitas es n = 3, luego es un sistema compatible con infinitas soluciones dependientes de parámetro. El sistema queda como: x y =, y z = Llamando y = t es, z = t, x = y = t, luego, la solución es: x = +t, y = t, z = t, t R 7

8 Problema. Hallar el punto simétrico de P(,, 5) respecto de la recta r definida por { x z = x+y + = Parametrizamos r, y para ello, hacemos x = t = z = t, y por tanto y = x = t, es decir: x = t r y = t z = t Un vector director de r es u = (,,). Sea π el plano perpendicular a r que pasa por P. El vector director de r es el vector normal de π, luego, la ecuación implícita de π es: Como P π, tenemos: x y +z +λ = 5+λ = = λ = = π x y +z + = Sea R el punto de intersección de r y π, es decir R = r π. Como R r, R es de la forma R = (t, t,t). Como además R π, debe cumplirse: t++t+t+ = = 3t+6 = = t = = R(,, ) El punto R es el punto medio del segmento PP, siendo P (a,b,c) el punto que andamos buscando. Aplicando la fórmula del punto medio: a+ =, b+ =, luego el punto buscado es P ( 6,,). c 5 = = a = 6, b =, c = 8