MATEMÁTICAS II SEPTIEMBRE 2016 OPCIÓN A

Transcripción

1 Ejercicio. (Calificación máxima: puntos) Dada la función f(x) = (6 x)e x, se pide: MATEMÁTICAS II SEPTIEMBRE 6 OPCIÓN A a) ( punto) Determinar su dominio, asíntotas y cortes con los ejes. b) (punto) Calcular su derivada, intervalos de crecimiento y decrecimiento y extremos relativos. c) Determinar el área del triángulo que forman los ejes coordenados con la tangente a la curva y=f(x) en el punto x=. a) Dominio: Dom(f(x)) = R Asíntotas: - No existen asíntotas verticales. - Asíntotas horizontales: (6 x x)ex = } Hay asíntota horizontal y = (6 x x)ex = - Como hay asíntota horizontal, no hay oblicua. - Cortes con los ejes. Corte con el eje x: y=. 6 x = x = 6 P(6,) Corte con el eje y: x=. y=6 Q(,6) b) Derivada, crecimiento y decrecimiento, extremos relativos. f (x) = e x (6 x) + e x = e x (6 x) (6 x) ( ) = x = f (x)> f (x)< Crece (-,). Decrece (, ) máximo en x=. c) Recta tangente en x= y área del triángulo. x = m = f (x) = y = f() = 6 y 6 = (x ) y = x + 6 Área del triángulo= 6 (x + 6)dx = [ x + 6x] 6 = ( 6 Ejercicio. (Calificación máxima: puntos): 6) = 8u

2 x z = Dadas las rectas r y s ( + λ, λ), λ R}, se pide: x + y + z 4 = a) (punto) Obtener la recta que pasa por el punto P(,,5) y corta perpendicularmente a r. b) ( punto) Obtener el plano que contiene a la recta r y es paralelo a s. c) ( punto) Hallar la distancia entre las rectas r y s. a) Recta t que pasa por el punto P(,,5) y corta perpendicularmente a r. Q(x,y,z ) i j k v r = = (,,) v t = PQ = (x, y, z 5) Si r y t son perpendiculares, v r v t = (x ) y + (z 5) = x y + z 5 = x y + z 7 = () plano que contiene a t y es perpendicular a r x = z + Q(x, y, z) r } Q(z +,-z,z) () z + + y + z 4 = y = z Sustituyendo ()en(): (z + ) ( z) + z 7 = 4z 4 = z = x =, y =, z = Q(,,) v t = PQ = (,, 5) = (,, 4) x = + τ t y = z = 5 4τ τ R b) Plano que contiene a r y es paralelo a s. v r = (,,) i j k v s = (,,) n P r = (,,) π = = (,, ) π y z + D = P s = (,,) } + D = D = π y z + = c) Distancia entre las rectas r y s. d(r, s) = [P rp S, v r, v s ] v r x v s d(r, s) = [P rp S, v r, v s ] = v r x v s u Ejercicio. (Calificación máxima: puntos) P r S = (,,) (,,) = (,,) [P r S, v r, v s ] = = = v r x v s = + = } a) ( punto) Determine, si es posible, los parámetros α y β de modo que se verifique la igualdad: α ( 4 5 ) + β ( ) = ( 8 5 )

3 b) ( punto) Determine los posibles valores de λ para que el rango de la matriz A sea, donde A = λ ( ) + ( ) a) Determine α y β α ( 4 5 ) + β ( ) = ( 8 5 ) ( ) ( ) = ( 4 ) α ( 4 5 ) + β ( 4 ) = ( 8 5 ) α + β = 5α + 4β = } α = 4α = 8 β = α + β = 5 b) λ para que el rango de la matriz A sea. Para que rg(a)=, A A = λ ( ) + ( + λ ) = (λ ) A = (λ + )(λ + ) λ λ λ + = 4λ + 5λ + = λ = y λ = 4 Para Rg(A) =, λ y λ 4 Ejercicio 4. (Calificación máxima: puntos) Cierta fundación ha destinado 47 euros para la dotación de 5 becas de estudios. El importe de cada beca es de euros, si el estudiante cursa un grado universitario; de euros, si cursa formación profesional y de 5 euros, si realiza estudios de postgrado. Sabiendo que la fundación ha concedido doble número de becas de formación profesional que de postgrado, cuántas becas ha concedido a cada nivel de estudios? x + y + z = 5 x + y = 5 x = 4,5 x + y + 5z = 47} x + 5y = 47 } y = 4,5 y = z z = 9

4 MATEMÁTICAS II SEPTIEMBRE 6 OPCIÓN B Ejercicio. (Calificación máxima: puntos) Dado el sistema de ecuaciones siguiente: x + (a )y x + y x + y z = az = + z = a a Se pide: a) ( puntos) Discutirlo según los valores del parámetro a. b) ( punto) Resolverlo cuando sea posible. a a A ( a) B ( a a ) a a a) a = 4 + a a + a a + = a a = [ a = a = a y a Rg(A) = Rg(B) = nº incógnitas Sistema Compatible Determinado a= Rg(A) = Rg(B) < nº incógnitas Sistema Compatible Indeterminado A ( ) B ( ) Rg(A): = ; = Rg(A) = Rg(B): = ; = ; = Rg(B) = a= Rg(A) Rg(B) Sistema Incompatible A ( ) B ( Rg(A): = ; = Rg(A) = Rg(B): = ; = 9 Rg(B) = )

5 b) Para a= x + y x + y x + y z = z = + z = (+λ,, λ) x + y = + λ x + y = λ x + y = + λ x y = + λ ( + λ) y = + λ y = x = + λ x = + λ Ejercicio. (Calificación máxima: puntos) Dada la función: Se pide: f(x) = 5 x 5 + x si x si x > a) ( punto) Estudiar la continuidad de f y determinar sus asíntotas. b) ( punto) Estudiar la derivabilidad de f y calcular f (x) donde sea posible. c) ( punto) Calcular f(x) dx. 5 x a) Se analiza la continuidad en las funciones que componen f(x) y en el cambio de función x= es discontinua en x=5 pero como no pertenece al dominio de esta función, es continua en su dominio. 5+x es discontinua en x= - 5 pero como no pertenece al dominio de esta función, es continua en su dominio. Para x= x x = 5 x 5 x = 5 f() = 5 = 5 Como f(x) = f(x) = f() la función es continua en R x + x Estudio asíntotas A.V. A.H. en y= x 5 + x = = 5 x = = x

6 b) Analizamos la derivabilidad en x=. x + (5 + x) = 5 x (5 x) = 5 (5 x) f (x) = si x < (5 + x) si x > Como f (x) f (x) la función no es derivable en x= x + x c) La integral se va a dividir en dos integrales al ser una función a trozos y el intervalo incluir el punto en el que cambian las funciones: I = f(x) dx = 5 x dx x dx = Ln 5 x ] = ( Ln5 + Ln6) + (Ln6 Ln5) = Ln6 Ln5 =,646 Ejercicio. (Calificación máxima: puntos) + Ln 5 + x ] = Sea π el plano que contiene a los puntos A(,,), B(,, ) y C(-, -, -). Calcule el volumen del tetraedro que forma el origen de coordenadas con los puntos de intersección de π con cada uno de los ejes coordenados. A (,, ) π B(,, ) C(,, ) AB = B A = (,, ) AC = C A = (, 4, ) x y z π = 4x 4(z ) (z ) + (y ) = x + y z + = 4 D F E F z + = z = F (,, ) E x + = x = E (,, ) D y + = y = D (,, ) Vectores propios del tetraedro OF (,, ) OE (,, ) OD (,, )

7 V = 6 = 6 6 = 6 u Ejercicio 4. (Calificación máxima: puntos) Dados el plano π x + y + z 9 =, se pide: a) ( punto) Determinar la ecuación del plano perpendicular a π que contiene al eje OX. b) ( punto) Determinar el punto del plano π más cercano al origen de coordenadas. a) Por ser β π, éste contiene al vector normal de π. V π (,, ) V x (,, ) P o (,, ) x y z β = y z = b) El punto más cercano será el que esté en la recta r perpendicular al plano π que pase por el origen de coordenadas. V π (,, ) P o (,, ) x = t r y = t z = t El punto pedido será la intersección de la recta con el plano π. t + t + t 9 = 9t = 9 t = 9 9 P x = 9 9 = 7 9 y = 9 9 = 7 9 z = 9 9 4