, calcula a R para f(x) cumpla las hipótesis del Teorema de

Transcripción

1 Bárbara Cánovas Conesa Reserva. 06 a) Enuncia el teorema de Bolzano. sen πx + xe x si x b) Dada la función f(x) = a(x ), calcula a R para f(x) cumpla las hipótesis del Teorema de si x > x+ Bolzano en el intervalo [-, 6]. Teorema de Bolzano.- si f(x) es continua en el intervalo [a, b] y toma valores de distinto signo en los extremos del intervalo [signo f(a) signo f(b)], entonces existe al menos, un punto c (a, b) tal que f(c) = 0. Para que f(x) sea continua se tiene que cumplir que f(x) = f(x) = f(): x + πx sen x + x e x = a(x ) x + x + = 0 0 f() = L Hopital x + a x + Además tenemos que estudiar la función en cada trozo: x : Dom [sen πx + x e x ] = (, ] x >: Dom [ a(x ) x + ] = [, +) (+, + ) x = a x + = 4a x + Como conclusión, podemos decir que f(x) es continua en el intervalo [-, 6]. Por último, comprobamos que el signo de f(x) en el intervalo estudiado, sea distinto: Por tanto, se cumple Bolzano. f( ) = sen π( ) + ( ) e f( ) = e (x ) f(6) = x + 4 f(6) = 5 = 4a a = Calcula una primitiva de la función cos x g(x) = sen x + sen x Nota: Puede ayudarte hacer el cambio de variable t = sen x. La resolvemos como una racional: cos x sen x + sen x t + 5t + 6 = (t + ) (t + ) = A (t + ) + t = B = t = A = Con lo que la integral queda: I = Deshacemos el cambio de variable: dx t = sen x dt = cos x dx B (t + ) = A(t + ) + B(t + ) (t + ) (t + ) dt t + 5t + 6 = A(t + ) + B(t + ) (t + ) dt + (t + ) dt = Ln t + + Ln t + = Ln t + 5t + 6 I = Ln sen x + 5 sen x C

2 EvAU _ Matemáticas _ CC _ CLM m + Dada la Matriz: A = ( m ) m R 0 m 0 a) Estudia el rango de A en función del parámetro m R b) Clasifica, en función del parámetro m R, el sistema homogéneo expresado en forma matricial: x 0 A ( y) = ( 0) z 0 Y resuélvelo para el valor m = m + A = m = m(m + )(m ) + m = 0 m m = 0 m = 0 m 0 m 0 = m = 0 A = = Por las propiedades de los determinantes sabemos, que cuando una matriz tiene dos líneas proporcionales, su determinante es nulo. m = A = 0 m R 0, }: Rg(A) = m = R: Rg(A) = m = : Rg(A) = Para clasificar el sistema, primero lo hacemos: x 0 m + x 0 x + y + (m + )z = 0 A ( y) = ( 0) ( m ) ( y) = ( 0) (m )x y z = 0 z 0 0 m 0 z 0 my = 0 La matriz de los coeficientes ya la hemos estudiado en el apartado anterior. En el caso de la matriz ampliada: 0 m = 0 A = m = 0 A = m m 0 0 m = A = m R 0, }: Rg(A) = = Rg(A*) = nº incógnitas: SCD m = 0: Rg(A) = = Rg(A*) nº incógnitas SCI m = : Rg(A) = = Rg(A*) nº incógnitas: SCI Para m = : x + y + z = 0 x y z = 0 y = 0 y = 0 x = λ z = λ Solución = (λ, 0, λ ) a) Discute, en función del parámetro c R, la posición relativa de las rectas: x y + z = c r y s x + = y 4 x y = = z b) Para el valor de c = 0, calcula la distancia entre r y s La posición relativa la estudiamos con los rangos de las matrices formadas por los vectores directores de ambas rectas, y la ampliada por ambos vectores un vector RS, siendo R y S, dos puntos cualquiera de las rectas r y s, respectivamente.

3 = (,, ) (,, 0) = (,, ) R = (0,, c) Bárbara Cánovas Conesa Reserva. 06 d s = (,, ) S = (, 4, 0) } M = ( ) 0 Rg(M) = c R M = ( ) = 4 4c = 0 c = Rg(M) = c R } + c m R }: Rg(M) = Rg(M*) = : Se Cruzan m = : Rg(A) = Rg(M*) = Secantes Para c = 0, las dos rectas se cruzan. Para calcular la distancia entre ellas: ) Halla el vector RS ) Hallamos el volumen del paralelepípedo descrito por RS y los vectores directores de r y s. ) Hallamos el área del paralelogramo descrito por los vectores dirección de r y s. 4) La distancia de r a s coincide con el resultado de dividir el volumen entre el área. S R r R = (0,, ) S = (, 4, 0) } RS = (,, ) s V = [RS,, d s ] = V = 4 u A = d s = i j k = ( 4) A = 4 u d(r, s) = V A = 4 d(r, s) = 4 u Dada la función f(x) = Ln x a) Calcular su dominio b) Calcular sus asíntotas c) Razonar que es decreciente en su dominio. El dominio de una función racional es todos los valores excepto los que anulen el denominador: Ln x = 0 e 0 = x e 0 = R } Por otro lado hay que estudiar el dominio del logaritmo neperiano, en este caso, sólo existe para los valores positivos: x > 0 (0, + ) Combinando ambos dominios, obtenemos el dominio de la función dada: Dom f(x) = (0, ) (, + ) Asíntotas Verticales: x Ln x = = AV en x = 0

4 4 Asíntotas Horizontales: Ln x = = 0 AH en y = 0 x Si existen asíntotas horizontales, no hay oblicuas. Para saber la monotonía, trabajamos con la primera derivada: EvAU _ Matemáticas _ CC _ CLM f (x) = x Ln x = x Ln x x Ln x = 0 0 f (0,5)<0 f ()<0 Sólo estudiamos el entorno de la asíntota vertical. Decreciente: (0, ) (, + ) Dadas las parábolas f(x) = x x y g(x) = x + x +, se pide: a) Esbozar la región encerrada entre las gráficas de f(x) y g(x) b) Calcular el área de la región anterior. Puntos de corte entre las dos parábolas: x x = x + x + x x = 0 x = x = f(x) = x x g(x) = x + x + V=(0.5, -.5) (0, -) (.6, 0) (-0.6, 0) V = (0.5,.5) (0, ) (-., 0) (., 0) - - A = x + x + (x x ) dx = x + x + 4 dx = [ x + x + 4x] = ( ) ( ( ) + ( ) 4) = 5 + A = u Dadas las matrices A = ( ) B = ( 0 ) C = ( ) 0 a) Despeja X en la ecuación matricial A B X C X = C b) Calcula la matriz X ABX CX = C (AB C)X = C (AB C) (AB C)X = (AB C) C X = (AB C) C AB = ( ) ( ) AB = ( 8 ) AB C = ( 8 ) ( ) AB C 0 6 = ( 9 ) 0 0

5 (AB C) = AB C [Adj(AB C)]t Bárbara Cánovas Conesa Reserva. 06 AB C = 0 Adj(AB C) = ( 0 ) (AB C) = ( 5) 0 0 [Adj(AB C)] t = ( 5) X = ( 5) ( ) = ( 0 9 ) X = ( ) x + z = a) Calcula c R para que la recta r y el plano π x cy z = 6 sean paralelos y z = 8 b) Para el valor de c obtenido, calcula la distancia entre π y r Calculamos c mediante rangos: x + z = y z = 8 x cy z = 6 0 M = 0 c = + c + c = 0 c = 0 c = M = 0 8 det C, C, C c = Rg(M)= Rg(M*)= r y son paralelos c Rg(M)= = Rg(M*)= r y son secantes Para el caso de c = : R r Al ser paralelos, la distancia de la recta al plano será la distancia que existe entre cualquier punto de la recta r y el plano : R = (, 8, 0) Ax + By + Cz + D } d(r, π) = = π x y z + 6 = 0 A + B + C d(r, π) = 6u + ( ) + ( )