Bárbara Cánovas Conesa

Transcripción

1 Bárbara Cánovas Conesa Junio 07 ada la función f() { + a si b 9 si > a) Calcula razonadamente los parámetros a y b para que f() sea derivable en todo R. b) Enuncia el teorema de Rolle y comprueba si, para los valores hallados en el apartado anterior, la función f() verifica las hipótesis del teorema en el intervalo [-, 6]. Para que f() sea derivable, lo primero que tiene que cumplir es que sea continua, por lo que: f() f() f() + f() ( + a) 4 + a f() b 9) 3 b 4 + a 3 b a + b 7 + +( f() 4 + a Además, para que sea derivable se tiene que cumplir: f () f (): + f() f () si { b si > () 4 f () + +( b) 4 b Por último, sustituimos en la primera ecuación para obtener el valor de a: a 6 7 a f() { si si > b 8 Teorema de Rolle: si una función f() es continua en el intervalo [a, b], derivable en el intervalo (a, b) y f(a) f(b), entonces eistirá un valor c (a, b) de manera que f (c) 0. Para los valores hallados anteriormente: Por tanto, si cumple el teorema de Rolle. f() Continua: [, 6] erivable (,6) f( ) 3 f(6) 3 Con una chapa metálica de 8 metros se desea construir, cortando cuadrados en las esquinas, un cajón sin tapa de volumen máimo. Haya razonadamente las dimensiones de dicho cajón. La función a optimiza (maimizar) es el volumen: V() A base h V() ( ) (8 ) V() V () V () { m m Con lo que las dimensiones del cajón son V V (3.34) 4.08 > 0 Mínimo () 6 { V () 4 < 0 Máimo m

2 EvAU _ Matemáticas _ CC _ CLM a y + z a 4 a) iscute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro a R: + y az a } y z 3 b) Resuélvelo razonadamente para el valor a. Primero estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes: a M ( a) M a a a a 0 a 0 { a R {0, }: R(M) 3 a 0 Segundo, estudiamos para los valores de a obtenidos, el rango de la matriz ampliada: 0 a 0 M ( ) det C, C, C a 0: R(M ) 3 3 a M ( ) det C, C, C 3 0 a : R(M ) 3 3 Según el Teorema de Rouche-Frobenius: La condición necesaria y suficiente para que un sistema de m ecuaciones y n incógnitas tenga solución es que el rango de la matriz de los coeficientes y el de la matriz ampliada sean iguales. a R {0, } R(M) R(M*) 3 nº incógnitas SC a {0, } R(M) R(M*) 3 SI Para el valor de a, el Sistema es Compatible eterminado. Lo resolvemos por Kramer: y + z + y + z } M y z 3 3 y 0 3 z (8,, 7 ) ado el punto P(,0, ) y las rectas r y+ z y + z 0 y s { 0 + z + 0 a) etermina razonadamente la posición relativa de las rectas r y s b) Encuentra razonadamente la ecuación general del plano que pasando por P es paralelo a r y a s. La posición relativa de ambas rectas la estudiamos con los rangos de las matrices M (formada por los vectores directores de ambas rectas) y M* (formada por los dos vectores directores y por el vector RS, siendo R y S un punto de la recta r y s, respectivamente): Recta r: Recta s d r (,, 0) R (,,0) d r (,,) (,0,) d r S (0,, ) (,,) Es decir, las dos rectas Se Cruzan. RS (,, ) M ( 0 ) det C, C 0 Rg(M) 0 M ( ) 6 0 Rg(M ) 3

3 Bárbara Cánovas Conesa s r P Junio 07 El vector normal del plano es perpendicular a los vectores directores de las dos rectas. Por lo que el vector normal del plano lo hallamos haciendo el producto vectorial de los dos vectores directores. Una vez hallado dicho vector normal, usaremos la ecuación normal del plano para, junto con el punto P, hallar la ecuación del plano pedido. n π (,,0) (,,, ) n π (,, ) π ( ) + (y 0) + (z + ) 0 π + y + z 3 0 a) Los operarios A, B y C producen, respectivamente, el 0%, el 30% y el 0% de las resistencias que se utilizan en un laboratorio de electrónica. Resultan defectuosas el 6% de las resistencias producidas por A, el % de las producidas por B y el 3% de las producidas por C. Se selecciona al azar una resistencia: a.. Calcula razonadamente la probabilidad de que sea defectuosa. a.. Si es defectuosa, calcula razonadamente la probabilidad de que proceda del operario A. b) Las resistencias se empaquetan al azar en cajas de cinco unidades. Calcula razonadamente la probabilidad de: b.. Que en una caja haya eactamente tres resistencias fabricadas por B. b.. Que en una caja haya al menos dos fabricadas por B. Para responder a las preguntas del apartado a), hacemos un diagrama de árbol. Si llamamos a los sucesos: - A que la resistencia escogida proceda del operario A - B que la resistencia escogida proceda del operario B - C que la resistencia escogida proceda del operario C - que la resistencia escogida sea defectuosa - que la resistencia escogida no sea defectuosa Para calcular la probabilidad de que sea defectuosa, usamos el teorema de la probabilidad total: P() P(A) P( A) + P(B) P( B) + P(C) P( C) P() Para calcular la probabilidad de que siendo defectuosa sea del operario A, empleamos la probabilidad condicionada y el teorema de Bayes: P(A ) P(A ) P() P( A) (PA) P() , 0, 0,3 P(A ) ,06 A 0,94 0,0 B 0,9 0,03 C 0,97 En el apartado b) empleamos la distribución Binomial. Si designamos la variable X resistencia fabricada por el operario B, sigue una distribución binomial: Bin (n, p) X~Bin (, 0. 3) P(X 3) { P(X ) P(X < ) [P(X 0) + P(X )] ( ) P(X )

4 4 EvAU _ Matemáticas _ CC _ CLM Calcula razonadamente los siguientes límites: Ln ( + ) 0 cos Ln ( + ) 0 cos Ln( + ) sen ( + ) cos 0 + ( + ) cos adas las funciones f() y g() 4 a) Calcula razonadamente el área del recinto cerrado itado por sus gráficas. b) Encuentra razonadamente la ecuación de la recta normal a la gráfica de g() en el punto de abscisa 3. El área del recinto itado por ambas gráficas la calculamos con la integral definida entre los puntos de corte de ambas gráficas, de la función diferencia: Puntos de Corte: { Para saber qué función está por encima de la otra y así calcular la función diferencia, sustituimos en cada función un valor que esté dentro del intervalo (-,): f(0) 0 Es decir, f() se encuentra por encima de la función g(). Por tanto: A f() g() d d [ ] g(0) 4 ( ) ( + 4) A 9 u 3 La ecuación de la recta normal a una función es: y y g ( 0 ) ( 0 ) { y 0 g( 3) g () g ( 3) 8 y + 9 ( + 3) y 8 8 adas matrices A ( 0 0 ) B ( 0) C ( ) a) Tiene inversa la matriz I 3 + B? Razona la respuesta. I 3 es la matriz identidad de orden 3. b) Calcula razonadamente la matriz X que verifica que X + C A X B Una matriz tiene inversa cuando es cuadrada y su determinante es distinto de cero I 3 + B ( 0 0) + ( 0) I 3 + B ( 0) I 3 + B Por lo que dicha matriz si tiene inversa. X + C A XB X + XB A C X(I + B) A C X(I + B)(I + B) (A C)(I + B) XI (A C)(I + B) X (A C)(I + B)

5 (I + B) I + B ((I + B)Adj ) t Bárbara Cánovas Conesa Junio 07 I + B 3 4 (I + B) Adj ( 0 0 ) (I + B) ( 4 ) 0 ((I + B) Adj ) ( 4 ) { (A C) ( 0 0 ) ( ) (A C) ( 3 0) 0 0 X (A C)(I + B) ( 3 0) ( 4 ) 4 0 4/3 0 /3 3 ( 0 3 ) X ( 0/3 /3) /3 /3 /3 a) Encuentra razonadamente la ecuación de la recta, en su forma general o implícita, que contiene a los puntos P(0,, ) y Q(4, 3,0). + λ b) Encuentra razonadamente un punto que equidiste de P y Q y que pertenezca a la recta r { y λ λ R z La recta s que contiene a los dos puntos P y Q, tendrá como vector director el vector PQ y como punto el P. Para hacer la ecuación general de la recta, hallamos primero la continua y de ahí, operando, llegamos a la general: d r PQ (4, 4,) (,,) r P (0,,) y z r { y y + 0 z r { z r P R M El punto R desconocido es un punto de la recta r que está a igual distancia de los puntos P y Q. Hallamos la ecuación del plano que contiene al punto medio del segmento PQ (M) y tiene como vector normal el vector PQ. Q PQ (,,) π ( ) (y + ) + (z + ) 0 π y + z + 0 M (,, ) El punto R lo hallamos como el punto intersección entre la recta r y el plano, para ello ponemos la ecuación de la recta r en forma paramétrica, ésta nos da un punto genérico de R. El cual sustituiremos en la ecuación del plano, hallando el parámetro. Por último, sustituiremos en el punto genérico, calculando así el punto que equidista de P y Q: λ r { y λ R (λ, λ, + λ) π (λ) ( λ) + + λ + 0 λ 0 R ( 9 9, 9 9, 3 9 ) z + λ

6 6 EvAU _ Matemáticas _ CC _ CLM a) En mi casa dispongo de dos estanterías A y B. En A tengo 0 novelas, 0 ensayos y 0 libros de matemáticas y en la B tengo novelas y 8 libros de matemáticas. Elijo una estantería al azar y de ella, también al azar, un libro. Calcula razonadamente la probabilidad de que: a.. El libro elegido sea de matemáticas. a.. Si el libro elegido resultó ser de matemáticas, que fuera de la estantería B. b) El tiempo de espera en una parada de autobús se distribuye según una distribución normal de media minutos y desviación típica minutos. b.. Calcula razonadamente la probabilidad de esperar menos de 3 minutos. b. Cuántos minutos de espera son superados por el 33% de los usuarios? Para responder a las preguntas del apartado a), hacemos un diagrama de árbol. Si llamamos a los sucesos: - A que el libro escogido sea de la estantería A - B que el libro escogido sea de la estantería B - N que el libro escogido sea una Novela - E que el libro escogido sea un Ensayo - M que el libro escogido sea de Matemáticas Para calcular la probabilidad de que el libro elegido sea de matemáticas, usamos el teorema de la probabilidad total: P(M) P(A) P(M A) + P(B) P(M B) P(M) 0. 3 Para calcular la probabilidad de que siendo de matemáticas, sea de la estantería B, empleamos la probabilidad condicionada y el teorema de Bayes: P(B M) P(B M) P(M) P(M B) P(B) P(M) 0. P(B M) , /4 M 0, A B / 3/ / /4 0 N E N E M En el apartado b) empleamos la distribución Normal. Si designamos la variable X tiempo de espera en una parada de autobús, sigue una distribución normal: N (μ, σ) La probabilidad de esperar menos de 3 minutos será: P(X < 3) Tipificamos X~N (, ) X μ P ( < σ 3 ) P(Z < 0.4) Si nos fijamos en la curva de la distribución normal tipificada vemos como, al ser el área debajo de la curva igual a : -0,4 0,4 P(Z < 0.4) P(X > 0.4) Suceso Contrario [ P( < 0.4) Buscamos en la Tabla ( 0.64)] P(X < 3)