Base y Dimensión de un Espacio Vectorial

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1 Base y Dimensión de un Espacio Vectorial 201 6Asturias: Red de Universidades Virtuales Iberoamericanas 1

2 Índice 1 Qué es un sistema generador? Base de un espacio vectorial Dimensión de un espacio vectorial Conceptos necesarios Ecuaciones paramétricas Ecuaciones implícitas Obtención de ecuaciones paramétricas y ecuaciones implícitas Ejemplos resueltos Ejercicios aplicados al Mundo laboral ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016

3 Objetivos En esta lectura ampliaremos los conocimientos adquiridos sobre Espacios Vectoriales, estudiaremos como determinar la base y dimensión de un espacio vectorial. Nomenclatura y terminología Conjuntos de números reales = por R Espacios vectoriales= E =para todo =perteneciente = Existe / = tal que = ley de composición interna = ley de composición interna 03 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016

4 1 Qué es un sistema generador? Los vectores {e 1,, e n } son un sistema de generadores de E cuando E= e 1,, e n, es decir, cuando todo vector e E puede escribirse como una combinación lineal de dichos vectores. n e = λ i e i i=1 Y un conjunto de vectores {e 1,, e n } es una base de E cuando es un conjunto linealmente independiente y generador. Ejemplo: Sea e = {e 1 = (1,0,0), e 2 = (0,1,0), e 3 = (0,0,1)} un conjunto de vectores pertenecientes al espacio vectorial E, de R 3 y dado un vector u = (u 1, u 2, u 3 ), perteneciente al espacio vectorial E vamos a comprobar que el conjunto e es un sistema generador de R 3 (SG R3 ). Primero ponemos el vector vectores e. u = (u 1, u 2, u 3 ) como combinación lineal del conjunto de (u 1, u 2, u 3 ) = λ 1 (1,0,0) + λ 2 (0,1,0) + λ 3 (0,0,1) Montamos el sistema de ecuaciones igualando término a término. { u 1 = λ 1 + 0λ 2 + 0λ 3 luego u 1 = λ 1 u 2 = 0λ 1 + λ 2 + 0λ 3 luego u 2 = λ 2 u 3 = 0λ 1 + 0λ 2 + λ 3 luego u 3 = λ 3 El conjunto de vectores es un sistema generador. u = (u 1, u 2, u 3 )= (λ 1, λ 2, λ 3 ) 2 Base de un espacio vectorial Definición: Base. Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente. Sea un E un espacio vectorial y B un subconjunto de vectores de E se dice que B es una base de E si se verifican las siguientes condiciones: 1. Todos los vectores que forman el conjunto B, son linealmente independientes. Es decir B es linealmente independiente. 2. Cualquier vector del espacio vectorial puede escribirse como combinación lineal de los elementos de la base B. Es decir, B es un sistema generador de E. 04 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016

5 Propiedades de las bases. Ejemplo 1. Una base de S es un sistema generador minimal de S (lo más pequeño posible). 2. Además es un conjunto independiente maximal dentro de S (lo más grande posible). 3. Una base de S permite expresar todos los vectores de S como combinación lineal de ella, de manera única para cada vector En el espacio R 2 el conjunto de vectores B = (1,0), (0,1), es un base puesto que: es un sistema generador, los vectores son linealmente independientes. Nota: 1. Todo espacio vectorial real E, finitamente engendrado posee al menos una base. 2. Todas las bases de un mismo espacio vectorial tienen el mismo número de elementos, por el teorema de la base. 1 Ejercicio Resuelto Dada la base no canónica (1,0,0),(1,1,0),(0,2,-3) de R 3 demostrar si es una base de R 3 Solución Primero estudiamos la dependencia lineal de los vectores, una forma rápida de hacerlo es viendo que el determinante de la matriz que forman los vectores es distinto de y la otra forma es la que hemos realizado hasta ahora: 1. Estudio de la dependencia lineal: ponemos uno de los vectores como combinación lineal de los otros dos. (1,0,0) = λ 1 (1,1,0) + λ 2 (0,2, 3) 2. Determinamos los valores de las constantes de proporcionalidad λ 1 y λ 2 para ello igualamos por componentes y resolvemos el sistema. 1 = λ 1 0 = λ λ 2 λ 2 = = 3 λ 2 λ 2 = 0 1 Sean n = {e 1, e 2,, e n } y s = {u 1, u 2,, u n } dos bases de un espacio vectorial E, n=s 05 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016

6 Como vemos hay una incongruencia puesto que λ 2 no puede tomar dos valores a la vez, esto quiere decir que no existe ningún número real que satisfaga las igualdades. Y por tanto los vectores son linealmente independientes. Es sistema generador? Para comprobar que es un sistema generador vamos a ver que cualquier vector (a,b,c) se puede expresar como combinación lineal de ellos, así pues tenemos que buscar un λ 1, λ 2 y λ 3 que satisfagan: (a, b, c) = λ 1 (1,0,0) + λ 2 (1,1,0) + λ 3 (0,2, 3) De tal forma que si igualamos por componentes obtenemos el siguiente sistema, que es compatible determinado a = λ 1 + λ 2 b = λ 2 + 2λ 3 Como conclusión podemos decir que la base Es una base de R 3 Ejercicio Resuelto 2 c = 3 λ 3 B = (1,0,0), (1,1,0), (0,2, 3) Estudiar si los vectores a = (1, 1,0), b = (2,1,2), c = (0,1,3), d = (1,1,1) son un sistema generador de R 3, y una base de R 3? Vemos si es un sistema generador R 3 a = (1, 1,0), b = (2,1,2), c = (0,1,3), d = (1,1,1) Para comprobar que son un sistema generador de R 3 basta con comprobar que tres de los cuatro vectores son linealmente independientes, esto se ve fácilmente si lo expresamos de forma matricial y buscamos un determinante 3 x 3 no nulo A = ( ) rga = También podemos estudiar la independencia lineal de los tres vectores como hemos hecho hasta ahora, poniendo uno de ellos como combinación lineal de los otros dos, obteniendo las constantes de proporcionalidad y observando que no existe ningún número real λ i (constantes de proporcionalidad) que verifique las ecuaciones obtenidas. Conclusión del ejercicio 06 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016

7 Como conclusión a este ejercicio, podemos decir que los 4 vectores a,b,c,d son un sistema generador de R 3 ya que 3 de los 4 vectores son linealmente independientes, pero los vectores a,b,c,d nunca formarán una base de R 3 debido a su dependencia lineal. 3 Dimensión de un espacio vectorial Sea E un espacio vectorial finitamente engendrado; se llama dimensión de un espacio E al número de elementos que tiene una cualquiera de sus bases. A la dimensión del espacio E la designamos por dim(e) o bien dim E Veamos un ejemplo sencillo: El espacio vectorial de R 2 tiene como base canónica: B = (1,0),(0,1) Como podemos observar esta base contiene 2 elementos luego la dimensión de R 2, dim R 2 =2 El espacio vectorial de R 3 tiene como base canónica: B = (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) Como podemos observar esta base contiene 3 elementos luego la dimensión de R 3, dim R 3 =3 El espacio vectorial de R n tiene como base canónica: B = (1,0,,0),(0,1,,0),,(0,0,,1) Como podemos observar esta base contiene n elementos luego la dimensión de R n, dim R n =n Teorema y definición: Dimensión. Todas las bases de un mismo espacio o subespacio tienen el mismo número de vectores. Se llama dimensión de dicho espacio o subespacio. Por tanto, la dimensión es el máximo número de vectores independientes que podemos tener en el espacio o subespacio vectorial. En otras palabras, es el máximo rango que puede tener un espacio vectorial o también se dice que es el rango de cualquier sistema generador de dicho espacio. Propiedades de la dimensión. Significado físico de la dimensión: el espacio tiene dimensión 3, los planos dimensión 2, las rectas dimensión 1, el punto dimensión 0. El subespacio {0} es el único de dimensión 0. La dimensión de un subespacio en R, coincide con número de parámetros libres en su forma paramétrica. (1 parámetro=recta, 2 parámetros= plano...) n 07 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016

8 Si S y T son subespacios y S está contenido en T, entonces dim S. dim T Además, si se da la igualdad, dim S = dim T, entonces ambos espacios han de coincidir. El rango de una familia de vectores, es igual a la dimensión del subespacio que generan. Es decir: si v 1,v 2,... v n generan un cierto subespacio S, y si el rango de dicho conjunto es r, entonces dim S = r. 4 Conceptos necesarios 4.1 Ecuaciones paramétricas En matemáticas, una ecuación paramétrica permite representar una o varias curvas o superficies en el plano o en el espacio, mediante valores arbitrarios o mediante una constante, llamada parámetro, en lugar de mediante una variable independiente de cuyos valores se desprenden los de la variable dependiente. 4.2 Ecuaciones implícitas Una ecuación y(x) se llama implícita cuando está definida de la forma F(x, y) = Obtención de ecuaciones paramétricas y ecuaciones implícitas. Para entender cómo se obtienen las ecuaciones paramétricas e implícitas vamos a ver un ejemplo: Sean los vectores (1,0,1) y (1,1,1) que forman una base del espacio vectorial E: Para obtener las ecuaciones paramétricas ponemos los vectores como combinación lineal. Igualamos componente a componente: { x = λ + µ y = µ z = λ + µ (x, y, z) = λ(1,0,1) + µ(1,1,1) estas son las ecuaciones paramétricas Las ecuaciones implícitas las obtenemos en este caso a partir de las ecuaciones paramétricas, vemos que y = µ Sustituimos el valor de y = µ en la tercera ecuación por ejemplo En esta ecuación despejamos λ z = λ + y 08 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016

9 λ = z y y finalmente sustituimos los valores en la primera ecuación x = λ + µ x = z y + y x = z x z = 0 La forma de expresar la ecuación implícita es x z = 0 5 Ejemplos resueltos Ejercicio 1 Consideremos el espacio vectorial E engendrado por un vector e = (1,2,3) dar una base y hallar su dimensión. Solución: Como el vector e es linealmente independiente por ser no nulo es decir distinto de cero, y a demás es sistema generador, pues es un dato que te proporcionamos en el enunciado, entonces la base de E está formada por: B={(1,2,3)} y en consecuencia la dimensión dim(e) = 1 Ejercicio 2 Sea M 2 un espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden dos y considerando el siguiente subespacio: V = { x y z t } M 2(R): y siendo x = λ, y = λ, z = µ, t = µ Obtener la dimensión bases y ecuaciones de V. Solución: 1º En el enunciado nos dan las ecuaciones paramétricas: x = λ, y = λ { z = µ t = µ 2º Por medio de las ecuaciones paramétricas obtenemos las ecuaciones implícitas: x = y { z = t esto se puede expresar como { x + y = 0 z + t = 0 E. implícitas 09 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016

10 3º Por medio de las ecuaciones paramétricas podemos obtener la base x = λ, y = λ { z = µ t = µ Si sacamos factor común a λ y μ (λ, λ, 0,0) + μ(0,0,1, 1) λ(1, 1,,0,0) + μ(0,0,1, 1) Luego la base de V es B= (1, 1,,0,0), (0,0,1, 1) Otra forma de obtener la base es por medio de las ecuaciones implícitas. Una vez que tenemos las ecuaciones implícitas, calculamos la base: De la primera ecuación x = y obtenemos el primer vector: (x,y,z,t) Como hemos puesto las componentes en función de x se ve claramente que la componente x es x que la componente y =-x y que z=t=0 (x, y, z, t) ( x, x, 0, 0) Luego el primer vector que obtenemos es: ( 1, 1, 0, 0) De la Segunda ecuación z = t obtenemos el segundo vector: (x,y,z,t) Como hemos puesto las componentes en función de z se ve claramente que la componente z es z que la componente t =-z y que x=y=0 (x, y, z, t) ( 0, 0, z, z) Luego el segundo vector que obtenemos es: ( 0, 0, 1, 1) B= (1, 1,,0,0), (0,0,1, 1) 010 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016

11 4º Ya tenemos una posible base B= (1, 1,,0,0), (0,0,1, 1) ahora tenemos que comprobar si es base o no y calcular su dimensión. Para comprobar si es una base tenemos que comprobar si los vectores que forman la base son linealmente independientes, esto lo podemos hacer siguiendo el proceso para estudiar la dependencia lineal de vectores que se explicó en temas anteriores, o de una forma más rápida resolviendo el determinante de la matriz que formas los vectores. ( ) Cómo solo hay dos parámetros, buscamos un determinante 2x2 ( ) = 1 0 El rango de la matriz es 2 Rg=2 los vectores son linealmente independientes con lo cual forman base. B= (1, 1,,0,0), (0,0,1, 1) Podemos observar que la dimensión de la base es 2 dim(b)= 2 porque está compuesta por dos vectores. Ejercicio 3 Sea M 2 un espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden dos y considerando el siguiente subespacio: W = {( ), ( )} M 2(R) Obtener la dimensión bases y ecuaciones de w. En este caso nos dan dos vectores (1,0,0,1), (1,1,1,1) 1º Comprobamos si estos vectores forman una base de W, para ello vemos si son linealmente independientes, (o bien por medio de la definición de dependencia lineal, o bien buscando un determinante no nulo) Buscamos un determinante distinto de cero; ( ) = 1 0 Tenemos dos parámetros (vectores) y podemos resolver un determinante 2x2 distinto de cero luego el rango de la matriz es Rg=2 y los vectores son linealmente independientes. Forman base La base de w es B= (1, 0, 0, 1), (1, 1, 1, 1) La dimensión de la base es: 011 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016

12 dim(b) =2 2º Determinamos las ecuaciones paramétricas, para ello expresamos los vectores como combinación lineal: Igualamos por componentes: Ecuaciones paramétricas { x = λ + µ y = µ z = µ t = λ + µ (x, y, z, t) = λ(1,0,0, 1) + μ(1,1,1,1) 3º Obtenemos las ecuaciones implícitas a partir de las paramétricas De la primera ecuación despejamos λ y sustituimos el valor de y = µ x = λ + µ λ = x y De la de la segunda y tercera ecuación deducimos que y = z y z = 0 y en la cuarta ecuación sustituimos los valores obtenidos de λ, µ t = (x y ) + y = x + 2y x 2y + t = 0 Ecuaciones implícitas y z = 0 x 2y + t = ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016

13 6 Ejercicios aplicados al Mundo laboral Un banco gestiona cuatro carteras A, B, y C, cuyo capital se distribuye en acciones de tres compañías P Q y R en la proporción que indica la siguiente tabla:. Compañías A B C P Q r El banco desea ampliar capital de sus tres carteras. Comprueba que los incrementos ( P, Q, R) de la inversión del banco en cada compañía que pueden distribuirse entre las cuatro carteras sin crear excedentes es un subespacio de R 3, calcula su dimensión. Solución: Un A en el capital de la cartera A requiere que el banco compre o venda acciones por una cuantía de (1 A, 3 A, 4 A) sacamos factor común a A luego A(1,3,4) Lo mismo sucede con los By C (2 B, 1 B, 3 B) = B(2,1,3) (1 C, 2 C, 3 C) = C(1,2,3) Un incremento arbitrario de las tres carteras ( A, B, C) requeriría una compra ( o venta) de acciones dada por el vector: ( P, Q, R) = A(1,3,4) + B(2,1,3) + C(1,2,3) Por consiguiente los incrementos factibles forman el espacio vectorial W = (1,3,4), (2,1,3), (1,2,3) Tenemos un sistema generador de W. Debemos estudiar si hay dependencia lineal de vectores para en tal caso eliminarlos. En este caso lo vamos hacer estudiando el rango de la matriz que forman los vectores M = ( 2 1 3) ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016

14 Vamos a estudiar el rango de la matriz, para ello resolvemos el determinante DetM = = ( ) = = Luego el Rango de la matriz es 3. Así pues W = (1,3,4), (2,1,3), (1,2,3), estos vectores forman base y la dimensión de W es 3. Es decir los incrementos factibles que no producen excedente, forman una base y la dimensión es 3. Ejercicio 2 Una empresa fabrica dos artículos A y B a partir de dos materias primas P y Q. Cada unidad de producto requiere las cantidades que indica la siguiente taba. Materias Primas Artículos A B P 2 3 Q 1 2 La empresa dispone de un stock de 21 unidades de P y 13 unidades de Q. a) Demostrar que los vectores (2,1) y (3,2) forman una base de R 2 b) Obtén el valor de (λ, β) que permiten que el vector (21,13) forme parte del espacio vectorial formado por (2,1) y (3,2) y que nos indican el número de unidades que podemos fabricar de cada producto para que no existan excedentes. Solución Para estudiar si los vectores (2,1) y (3,2) forman base, estudiamos su dependencia lineal = = 1 0 Como los vectores son linealmente independientes podemos concluir que son una base. Las coordenadas de (21, 13) en dicha base son los escalares (λ, β) que cumplen: (21,13) = λ(2,1) + β(3,2) Es decir vamos a comprobar que poniendo el vector de stock como combinación lineal de del espacio vectorial que forman los vectores de materias primas, forma parte de 014 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016

15 dicho espacio vectorial y podremos determinar los valores de los escalares (λ, β) que nos indicarán el valor de del número de artículos que podemos fabricar. (21,13) = λ(2,1) + β(3,2) Igualando por componentes, expresamos los datos en forma de un sistema de ecuaciones 2λ + 3β = 21 { λ + 2β = 13 Podemos resolver el sistema por reducción. Aplicamos a la segunda ecuación el criterio de equivalencia del producto y la multiplicamos por2 y a continuación hacemos 1ª ecuación -2ª ecuación. 2λ + 3β = 21 2λ 4β = 26 β = 5 β = 5 Si sustituimos el valor de β = 5 en una de las ecuaciones obtenemos el valor de λ. 2λ = 21 λ = Luego vemos que con su stock, la empresa puede fabricar 3 unidades de A y 5 unidades de B y esta es la única opción con la que no existen excedentes. = ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016