EJERCICIO. Dadas las rectas y

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1 EJERCICIO Dadas las rectas x4 y1 z y z 8 r : y s: x1 1 3 se pide: a) Comprueba que las rectas r y s se cruzan. b) Determina la ecuación de la perpendicular común. c) Calcula la distancia entre ambas. Perpendicular común a dos rectas que se cruzan y distancia entre las rectas 1

2 a) POSICIÓN RELATIVA Las rectas x4 y1 z x1 y z8 r : y s : vienen determinadas por A4, 1, r : u B1,, 8 y s :, 1, 3 v 1,, y tienen distinta dirección dado que sus vectores de dirección no son proporcionales 1 1 u y v son linealmente independientes u o bien, porque R, como podemos observar: v R por ser Por lo tanto, las rectas serán secantes o rectas que se cruzan. Para saber a cual de los dos casos corresponden estudiaremos si los vectores AB, u y v son linealmente dependientes o independientes. AB 3, 3, Por lo tanto, las rectas r y s se cruzan. AB, u y v son linealmente independientes b) PERPENDICULAR COMÚN Método 1 Sea t la perpendicular común a r y s. Determinemos los puntos P y Q de mínima distancia entre ambas rectas, puntos de intersección de la perpendicular común t con las rectas r y s, respectivamente. P r t y Q s t Para ello expresemos las rectas en forma paramétrica, y tomemos los puntos P y Q como puntos genéricos de sus respectivas rectas. Debemos utilizar distintos parámetros en cada una de las rectas. x 4 λ x 1 r: y 1 λ y s: y z 3λ z 8 P r P 4,1, 3 PQ 3, 3,10 3 Qs Q 1,,8 y teniendo en cuenta que PQ u PQ u PQ v PQ v obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas Perpendicular común a dos rectas que se cruzan y distancia entre las rectas

3 Resolviéndolo y con y quedan determinados los puntos P y Q P 4,1, 3 es decir, 1 1 P 5,, y la recta t queda determinada por P y Q 1 1 P5,, t : Q 1,, 4 o bien, considerando el vector PQ y será y dada por su ecuación continua es c) DISTANCIA ENTRE LAS RECTAS Método 1 y y Q1,,8 y Q 1,, PQ6,, w' 1,3,9 w 4,1,3 Q t : w 1,, 4 4, 1, 3 x1 y z4 t : dr, s dp, Q PQ Por lo tanto, 3 6 dr, s Perpendicular común a dos rectas que se cruzan y distancia entre las rectas 3

4 b) PERPENDICULAR COMÚN Método Sea t la perpendicular común a r y s. Se puede dar la perpendicular común t como intersección de dos planos 1 y, siendo 1 el plano que contiene a las rectas r y t, y, el que contiene a s y t. 1 t : Un vector director de la perpendicular común t es el producto vectorial de los vectores directores r y s. i j k w u v 1 3 i j k 4i j 3k o sea, quedando determinados w 4, 1, 3 A 4, 1, 1 : u, 1, 3 w 4, 1, 3 y B 1,, 8 : v 1,, w 4, 1, 3 x4 y1 z : x4 y1 z x4 18 y1 z 0 6x4 18y18 z4 0 6x18yz38 0 :3 x 9 yz x1 y z8 1 1 : 1 0 x1 y z x1 11 y 7 z8 0 8x8 11y 7z56 0 8x11y7z4 0 y se tiene que : 8 x 11 y 7 z 4 0 3x 9y z190 t : 8x11y7z40 Perpendicular común a dos rectas que se cruzan y distancia entre las rectas 4

5 c) DISTANCIA ENTRE LAS RECTAS Método Dadas las rectas x4 y1 z x1 y z8 r : y s : determinadas por A4, 1, r : u B1,, 8 y s :, 1, 3 v 1,, consideramos el vector AB 3, 3, 10 d r, s AB, uv, u v AB, u, v i j k u v 1 3 i j k 4i j 3k d r, s u v 4, 1, 3 uv AB, u, v u v dr, s Perpendicular común a dos rectas que se cruzan y distancia entre las rectas 5

6 c) DISTANCIA ENTRE LAS RECTAS Método 3 Dadas las rectas x4 y1 z r : y 1 3 determinadas por A4, 1, r : u y, 1, 3 x1 y z8 s : 1 B 1,, 8 s : v 1,, calculemos la ecuación del plano paralelo a una de las rectas y que contenga a la otra, por ejemplo, el plano paralelo a r y que contiene a la recta s. Así pues, B 1,, 8 s : v 1,, u, 1, 3 / s y r s s s de donde x1 y z8 s : x1 y z80 4x11y3z x4 y3z40 4x y3z18 0 s :4x y3z18 0 La distancia entre las rectas r y s será la distancia de cualquier punto de la recta r al plano s., da, d r s s dr, s s Perpendicular común a dos rectas que se cruzan y distancia entre las rectas 6

7 Por último, comprobemos que la perpendicular común obtenida con el método 1 coincide con la obtenida en el método. Método 1 Q1,, 4 t : w x1 y z4 y t : 4, 1, Método 3x 9y z190 t : 8x11y7z40 Determinemos un vector director de t como producto vectorial de los dos vectores normales que determinan la recta. i j k w' n1n i j k 5i 13 j 39k w'5, 13, 39 4,1,3 por ser w' 13w w Por lo tanto las dos rectas tienen la misma dirección. Comprobemos que el punto Q 1,, 4 verifican las ecuaciones implícitas obtenidas por el método. Efectivamente, Conclusión: Es la misma recta Perpendicular común a dos rectas que se cruzan y distancia entre las rectas 7