BLOQUE 2 : GEOMETRÍA

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1 BLOQUE 2 : GEOMETRÍA EJERCICIO 1 Dado el plano Л : x + 2y z = 2, el punto P( 2,3,2) perteneciente al plano Л y la recta r de ecuación:, a) Determina la posición relativa de r y Л. b) Calcula la ecuación de la recta t contenida en Л, que pasa por el punto P y corta perpendicularmente a r. c) Sea Q el punto de intersección de r y t. Si s es la recta perpendicular al plano Л y que contiene a P, y R es cualquier punto de s, prueba que la recta determinada por R y Q es perpendicular a r. EJERCICIO 2 Se consideran las rectas: r: s: Determina la ecuación de la recta t que pasa por el punto P(0, 1, 2) y corta a la recta r y s. EJERCICIO 3 Halla la ecuación del plano Л que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular a los planos Л 1 : 5x y 7z = 1 Л 2 : 2x + 3y + z = 5 EJERCICIO 4 Dadas las rectas: r: s : a) Dados los puntos A(1, 0, 1) y B( a, 3, 3), determina a para que la recta t que pasa por los puntos A y B sea paralela a s. b) Halla la ecuación del plano que contiene a r y es paralelo a s. EJERCICIO 5 Dado el plano Л de ecuación 2x y + 2z + 1 = 0, halla las ecuaciones de los planos paralelos a Л que distan 3 unidades de éste. EJERCICIO 6 Dadas las rectas : r: s: determina los valores de a y de b para los que las rectas se cortan perpendicularmente. EJERCICIO 7 Dados el punto P(1, 1, 2) y el plano Л: 2x y + z 11 = 0, se pide :

2 a) Determina el punto Q intersección del plano Л con la recta perpendicular a Л que pasa por P. Halla el punto R simétrico del punto P con respecto a Л. b) Obtén la ecuación del plano paralelo al plano Л que contiene al punto H que se encuentra a unidades del punto P en el sentido del vector. EJERCICIO 8 Estudia la posición relativa de la recta r: y el plano determinado por los puntos A(1,3,2), B(2, 0, 1) y C(1, 4, 3). Son perpendiculares? Halla la distancia del punto P(4/5, 13/5, 6/5) a la recta r. EJERCICIO 9 a) Halla la ecuación del plano determinado por los puntos (1,0,0), (0,1,0),(0,0,1) b) Determina el ángulo que forman los planos Л 1 : x + y + z = 2 y Л 2 : z = 0. c) Obtén el producto vectorial de,, y,,. EJERCICIO 10 Calcula la ecuación del plano Л que pasa por los puntos ( 1, 1, 1) y (3, 2,2) y es perpendicular al plano Л : 2x y z = 0. EJERCICIO 11 Dadas las rectas: r : s: x 1 = = a) Justifica si son o no perpendiculares b) Calcula la distancia del punto P ( 16, 0, 0 ) a la recta r. EJERCICIO 12 a) Halla el punto simétrico del punto A( 2, 0, 1) respecto del plano :x+2y+z = 2 b) Obtén las ecuaciones de la recta r: en formas paramétrica y continua. EJERCICIO 13 Halla la ecuación del plano Л que pasa por los puntos A( 5, 0, 1), B(4,1,0) y es paralelo a la recta r:. EJERCICIO 14 a) Estudia la posición relativa de los planos Л 1 : x 2y + z = 0 y Л 2 : x 2y z = 3. b) Considera la recta r:. Analiza si el punto P( 6, 2, 2) se encuentra sobre la recta paralela a la anterior que pasa por el origen. EJERCICIO 15 Halla los valores a y b para que el vector (a, b, 0) tenga módulo y sea erpendicular a la recta r: x = 2 t, y = 1 t, z = 1.

3 EJERCICIO 16 Se consideran la recta r y los planos Л 1 y Л 2 siguientes : r: Л 1 : 2 3x + 2y z = 0 Л 2 : 3 + 2x + 2y 2z = 0 a) Estudia la posición relativa de los dos planos. b) Calcula la distancia de r a Л 1. EJERCICIO 17 a) Calcula la ecuación de la recta que pasa por el origen y es perpendicular al plano Л: x + y + z = 3. Obtén el punto de corte de la recta con el plano Л. b) Halla el punto de la recta r: cuya distancia al punto P(1, 0, 2) sea. EJERCICIO 18 Considera la recta r: y el plano Л: 2x + 4y + 4z = 5, a) Estudia la posición relativa de r y Л. b) Calcula la ecuación implícita del plano Л que es perpendicular a Л y contiene a r. EJERCICIO 19 Sea el plano Л: x 2y + 4z = 12 y el punto P( 2, 1, 1) a) Hallla la distancia d entre el plano Л y el punto P. b) Halla la ecuación de un plano paralelo a Л, y distinto del mismo, que también diste de P la,isma distancia d. c) Calcula el volumen de la figura limitada por el plano Л y los tres planos coordenados. EJERCICIO 20 Dadas las rectas r: = y = z 1 y s:, halla los puntos que dan la mínima distancia entre las rectas y determina la ecuación de la perpendicular común a r y s. EJERCICIO 21 Los puntos P(0,1, 1) y Q( 1, 1, 1) son dos vértices de un triángulo y el tercer, S, pertenece a la recta r:. La recta que contiene a P y a S es perpendicular a r. a) Determina las coordenadas de S. b) Halla el área del triángulo PQS.

4 EJERCICIO 22 Halla el punto del plano de ecuación x z = 3 que está más cerc del punto P(3, 1, 4), así como la distanciaentre el punto P y el plano dado. EJERCICIO 23 Halla la distancia entre las rectas r y s siendo : r: s: EJERCICIO 24 Dada la recta r de ecuaciones r: Q( 1, 1, 2): y los puntos P(1, 1, 2) y a) Encuentra la posición relativa de r y la recta determinada por P y Q. b) Halla el punto o puntos R de la recta r tal que el triángulo PQR sea isósceles siendo PQ = QR. EJERCICIO 25 La recta r: corta en P y Q respectivamente a los planos y= 0 y x = 0. a) Determina los puntos, si los hay, del eje Z que equidisten de P y de Q. b) Determina a para que además los puntos del eje Z formen con P y Q un triángulo equilátero. EJERCICIO 26 Dados los puntos A( 1, 1, 1), B( 1, 3, 1), C(1, 0, 0) y D(0, 2, 0), halla un punto P perteneciente a la recta determinado por A y B para que el triángulo CDP sea rectángulo con hipotenusa CP. EJERCICIO 27 Sean la recta r que pasa por A( 1, 0, 1) y B( 1, 1, 1) y la recta s de ecuación :, a) Averigua su posición relativa. b) Halla, si existe, un recta que pase por C( 1, 2, 4) y corte a r y a s. EJERCICIO 28 Halla el valor de m para que las rectas: r: y s:, se corten. Halla el punto de intersección. EJERCICIO 29 Halla el punto del eje Y que es coplanario con los puntos P (1, 1, 1), Q(2, 2, 1) y R( 1,2, 0). EJERCICIO 30 Se sabe que el producto mixto,, vale 3 y que el módulo del vector es 1. Se pide:

5 a) Halla razonadamente el volumen del tetraedro de vértices A, B, C y D sabindo que, y. b) Halla razonadamente la longitud de la altura de dicho tetraedro que une el vértice B con la cara ACD. EJERCICIO 31 Dadas las rectas r : y s que pasa por P(1, 2 0 ) y Q( a, a, 1), halla a para que estas rectas estén contenidas en un plano. Escribe la ecuación general de dicho plano. EJERCICIO 32 Se considera la recta r : y el plano Л : 2x + y z + 1 = 0. Se pide: a) Determina el punto P intersección de r y Л y el punto Q en que la recta r corta al eje OZ. b) Determina el punto R simétrico de Q respecto de Л y la ecuación de la recta simétrica de r respecto del plano Л. c) Calcula el área del triángulo de vértices P, Q y R. EJERCICIO 33 Se considera la recta r : pide: y el plano Л: 3x y + 2z = 1. Se a) Comprueba que r y Л son paralelos b) Calcula la distancia entre r y Л. c) Determina, explicando el procedimiento utilizado, dos rectas distintas que estén contenidas en Л y sean paralelas a r. EJERCICIO 34 Si son dos vectores ortogonales de módulo1, halla los posibles valores del parámetro real a para que los vectores y formen un ángulo de 60 o. EJERCICIO 35 La recta r corta al plano x y 2z = 1 en el punto A, y al plano x + y z = 0 en el punto B. Si O es el origen de coordenadas: a) Halla el ángulo entre los vectores b) Halla el área del triángulo OAB. EJERCICIO 36 Sean los puntos del espacio A( 2, 0, 0), B( 0, 1, 0) y C(0, 0, 3),

6 a) Determina la ecuación del plano Л que los contiene. b) Calcula la ecuación de la recta r perpendicular al plano Л y que pasa por el origen. EJERCICIO 37 Calcula un vector de módulo 1 que sea ortogonal a los vectores de coordenadas (1, 0, 2) y (2, 0, 1) EJERCICIO 38 Comprueba que las rectas: r: (x, y, z) = (3, 4, 0) + t( 2, 3, 2) s: (x, y, z) = ( 7, 1, 2) + t( 4, 1, 0) se cortan en un punto y halla la ecuación general del plano que determinan. EJERCICIO 39 Sean las rectas : r: s : a) Determina k para que r y s sean coplanarias b) Para el valor anterior de k determina la ecuación del plano que las contiene.+ c) Para el valor anterior k, halla la ecuación de la perpendicular común a r y s. EJERCICIO 40 Calcula los valores de a para que el plano Л; a 2 x 2y 2z = a + 5 sea paralelo a la recta r :. Averigua si existe algún valor de a para que la recta r esté contenida en el plano. EJERCICIO 41 Halla el lugar geométrico de los puntos cuya distancia al plano Л de ecuación 3x 3z +1 = 0 sea el doble que su distancia al plano Л : x + y 1 = 0. EJERCICIO 42 De todos los planos que contienen a la recta r:, escribe la ecuación del que pasa por el punto O (0, 0, 0). EJERCICIO 43 a) Halla la distancia del punto P( 1, 1, 3) a la recta que pasa por los puntos Q(1, 2, 1) y R(1, 0, 1) b) Encuentra todos los puntos S del plano determinado por P, Q y R de manera que el cuadrilátero de vértices P, Q, R y S sea un paralelogramo. EJERCICIO 44 Halla el plano de la familia mx + y + z (m + 1)= 0 que esté situado a distancia 1 del origen.

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