IES EL PILES SELECTIVIDAD OVIEDO DPTO. MATEMÁTICAS Geometría

Transcripción

1 P.A.U. de. (Oviedo). (junio 994) Dados los puntos A (,0, ), B (,, ), C (,6, a), se pide: i) hallar para qué valores del parámetro a están alineados, ii) hallar si existen valores de a para los cuales A, B y C son los vértices de un paralelogramo de área 3 y, en caso afirmativo, calcularlos, iii) hallar la ecuación de la recta que pasando por el origen corte perpendicularmente a la recta AB. Razona las respuestas.. (septiembre 994) Dado el plano de ecuación π x + y + z 3 = 0 y los puntos A (,0,) y B (,, a) sea C el pie de la perpendicular desde el punto A al plano π. Se pide determinar el valor de a para que el triángulo ABC sea rectángulo (ángulo recto en C ) y calcular su área. Hallar los dos ángulos restantes de dicho triángulo. Razona las respuestas. 3. (junio 995) Dada la recta r : x = y = z + y los puntos P (,,0) y Q ( 5, b, c), se pide: a) Hallar b y c sabiendo que la recta PQ es paralela a r. b) Hallar la distancia entre los puntos P y Q. c) Hallar el volumen del cilindro obtenido al girar el segmento PQ en torno a r. Razona las respuestas. 4. (septiembre 995) El vector a = 3. i + j k es perpendicular al plano π y el vector b =. i j + k es perpendicular a un segundo plano π. a) Hallar el ángulo determinado por los dos vectores. b) Se cortan los planos?. Justifíquese la respuesta. c) Si los dos planos se cortan, hallar, de forma razonada, un vector paralelo a la recta de intersección. 5. (junio 996) Dadas las rectas r y s de ecuaciones x y z r : x = y = z s : = = i) Estudiar su posición. ii) Hallar la recta que corta a r y s y es paralela a la recta t : ( x, y, z) = (,,3) + λ (,, ). Razona las respuestas. 6. (septiembre 996) i) Comprobar que los puntos A (,, ), B ( 0,,0) y C (,3,0) forman un triángulo y hallar su área. ii) Calcular el pie de la perpendicular trazada desde el origen al plano determinado por A, B y C. Razona las respuestas. 7. (junio 997) Dado el tetraedro con un vértice O sobre el origen de coordenadas y los otros tres A, B y C sobre los semiejes positivos OX, OY y OZ respectivamente, se pide:

2 i) Hallar las coordenadas de A, B y C sabiendo que el volumen del tetraedro es 4 3 y las aristas OA, OB y OC tienen igual longitud. ii) La ecuación de la altura del tetraedro correspondiente a la cara ABC. iii) Distancia entre las rectas AB y OC. iv) Ángulo que forman las aristas BC y AB. 8. (septiembre 997) x = 0 Dado el plano π x + 5y + 7z + 3 = 0, la recta s y = λ + y el punto A (0,7,5), z = λ i) Determinar la ecuación de la recta r paralela al plano π que pase por el punto A y sea perpendicular a la dirección de la recta s. ii) Determinar la posición del plano π y la recta s. iii) Calcular la ecuación de la recta t que pase por A y corte perpendicularmente a s. Razonar las respuestas. 9. (junio 998) Los puntos P (,,0 ) y Q (0,,) son dos vértices contiguos de un rectángulo. y = 0 Un tercer vértice pertenece a la recta r : z = i) Determina los vértices de un rectángulo que verifique las condiciones anteriores. ii) Qué posición relativa debería tener la recta r y la que contiene al segmento PQ, para que la solución fuese única?. Razona la respuesta. 0. (septiembre 998) Los puntos P (,0,0) y Q (0,4,) son dos vértices de un triángulo isósceles. z = 0 Obtener las coordenadas del tercer vértice sabiendo que pertenece a la recta r : y = 0 Es única la solución?. Razona la respuesta.. (junio 999) Los puntos P (,, ) y Q ( 3, 3,3) son dos vértices opuestos de un cuadrado que está contenido en un plano perpendicular al plano de ecuación x + y = 0. i) Determina los vértices restantes. ii) Calcula la ecuación de la recta que pasa por los vértices calculados. iii) Calcula el perímetro del cuadrado construido...(septiembre 999) Los puntos P (0,,0 ) y Q ((,, ) son dos vértices de un triángulo y x = 4 el tercero S pertenece a la recta r : z = La recta que contiene a P y a S es perpendicular a la recta r i) Determina las coordenadas de S. ii) Calcula el área del triángulo PQS.

3 3. (junio 000) Los puntos P (,,) y Q(0,5,4) son dos vértices opuestos de un cuadrado contenido en el plano de ecuación x + y z = i. Determina las coordenadas de los otros dos vértices. ii. Calcula la ecuación de la recta que contiene al origen de coordenadas y es paralela a la que contiene a los puntos P y Q. x y + z = 4. (septiembre 000) Sea la recta r 6x 3y + 0z = 6 i. Calcula las coordenadas de los puntos P y Q que pertenecen a la recta y distan 5 unidades del origen de coordenadas. ii. Sea M el punto medio del segmento de extremos P y Q. Calcula sus coordenadas. iii. Justifica porqué de todos los puntos de la recta r, M es el más próximo al origen de coordenadas. 5. (Junio 00) Dada la recta r de ecuación calcula: z 3 x + = y = y el punto P(,,), 4 a) la ecuación de la recta que pasa por P, es perpendicular a r y se apoya en r. b) Las coordenadas del punto Q simétrico de P respecto a r. 6. (Septiembre 00) Dada la familia de planos mx + ( m + ) y 3( m ) z + m + 4 = 0 a) Calcula la ecuación del plano de esta familia que pasa por el punto (,-,) b) Calcula, si existe, la ecuación del plano de esta familia que es perpendicular a la recta x + 3z = 0 y 5z + = 0 7. (Junio 00) a) Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta b) Calcular la distancia del plano al punto (0,,0), x = t y = 3 + t z = t y al punto (,-,). x = + t x 8. ( Septiembre 00) Sea el plano π : y = s y la recta y + s : = = z 3 z = s + t a) Encontrar la posición relativa de los mismos. b) Hallar la ecuación de la recta r que pasa por el punto P(-,0,), es paralela al plano π y es perpendicular a la recta s. 9. (Junio 003) Sean los planos π : x + 3y + z = y π : x + y z =, a. Determinar la posición relativa de los mismos. 3

4 b. Calcular una recta que esté contenida en el plano π : x + y z =, sea paralela a la intersección de esos dos planos y que pase por el punto (5,-3,). x 0. (Septiembre 003) Dadas las rectas r : = 3 a. Calcular λ para que se corten en un punto. b. Hallar el punto de corte para ese valor de λ. y λ = z x 3 : + y s = = z 3. (Junio 004)Sea el prisma triangular (triángulos iguales y paralelos) de la figura, con A(,-,0), B(,0,-), C(0,,-) y A (,-,α ). Calcula: a. La ecuación del plano π que pasa por los puntos A, B y C. (0,75) b. El valor de α para que el plano π, que contiene los puntos A B y C, diste una unidad del plano π.(0,75 c. Para α =, el plano π y el volumen del prisma. (. (Septiembre 004) Sean los puntos A(-,,0), B(0,,). Determina: a. Las ecuaciones paramétricas de la recta r que une los puntos. ( pto) b. La ecuación del plano π que pasa por A y es perpendicular a la recta r ( pto.) c. La distancia del punto B al plano π. (0,5 pto.) x 3 y z (Septiembre 004) Sean el plano π : ax + y 4z = b y la recta r : = = 4 4 a. Con a=, estudia la posición relativa de la recta y el plano. (0,75 ptos) b. Siguiendo con a=, calcula b para que el punto (3,,-3) pertenezca a la recta y al plano. (0,75 ptos.) c. Determina los valores de a y b para que la recta r esté contenida en el plano π ( 4. (Junio 005) Sea el punto A(,0,0) y el plano π : x + y z =. Halla: a. La ecuación de la recta que pasa por A y es perpendicular a π (0,75 b. La ecuación del plano π que pasa por A y no corta a π. ( c. La distancia entre los dos planos (0,75 5. Septiembre 005) Sea el tetraedro de la figura formado por A (3,0,0), B(0,,0), C(0,0,6) α,3,. Calcula: y D ( ) 4

5 a. El área del triángulo limitado por los puntos A, B y C. (0,5 b. La ecuación del plano π que pasa por los puntos A, B y C. (0,75 c. El valor de α para que el vector AD sea perpendicular al plano π anterior (0,75 d. Para α = 5, el punto D simétrico de D respecto al plano π (0,5 6. Junio 006 Sean los puntos A(..), B(a,,b) y C(,0,0) a. Con a=, calcula b para que los tres puntos determinen un plano que pase por el punto P(,0,) Cuál es la ecuación de dicho plano? (,5 b. Calcula los valores de a y b para que los puntos A, B y C estén alineados. ( x = 7. Septiembre 006 Dados los puntos A(,,0) y B(0,0,) y la recta r: y = + λ Halla: z = + λ a. Un punto C r de forma que el triángulo ABC sea rectángulo con el ángulo recto en C. (,5 b. El plano π que pasa por A y B y es paralelo a r (,5 x y = 8. Junio 007 Dados el punto A(,,) y la recta r : Calcula: y z = a. Un vector u director de la recta r. (0,75) b. El plano π que contiene a la recta r y al punto A. (0,75) c. La recta s que pasa por el punto A, está contenida en el plano π anterior, y su dirección es perpendicular a la de la recta r, ( 9. Septiembre 007 Dados los puntos A(,,0), B(0,0,), y C(0,,) a. Halla el plano π que contiene a los tres puntos (0,75 b. Calcula el punto P que esté a distancia de unidades del plano π y del punto medio del segmento AB (0,75 c. Considerando D(,,) calcula el volumen del tetraedro limitado por los puntos A, B, C y D ( 30. Junio 008 Un plano π determina sobre la parte positiva de los ejes OX, OY y OZ tres segmentos de longitudes, 3 y 4 m respectivamente. a. Halla la ecuación del plano π (0,5 b. Halle la ecuación de la recta r que contiene a los puntos A(,0,3) y B(0.6,a) y estudie la posición relativa de π y r según los valores de a. (,5 c. Para el caso a=, halle el punto donde se cortan π y r. (0,75 x = t 3x + y = 3. Junio 008 Sean las rectas r : y s : y = + 3t x kz = z = t a. Estudie si para algún valor de k las rectas son paralelas. (0,75 5

6 b. Estudie si para algún valor de k las rectas son perpendiculares. (0,75 c. Halle la distancia del punto A(,,) a la recta s. ( 3. Septiembre 008 Se denota por r la recta x = y = z y sea s la recta que pasa por A(,0,) y B(,,0). a. Estudie si las rectas r y s se cortan y, si se cortan, halle el punto de intersección. (0,75 b. Halle la ecuación del plano que contiene a r y es paralelo a s. (0,75 c. Halle el punto de r que equidista de A y B ( z Junio 009 Se denota la recta x 6 = y 7 = y por P el punto de coordenadas (,0,). a. Halle la ecuación del plano que pasa por P y es perpendicular a r. ( b. Halle el punto de r más próximo a P y halle la distancia de P a r (,5 34. Septiembre 009 Se consideran los puntos A(,-,) y B(-3,). a. Halle los puntos C y D que dividen al segmento en tres partes de igual longitud ( b. Halle el plano respecto al cual los puntos A y B son simétricos (,5 x 35. Junio 00 Sean el punto P(-,,0) y la recta r = y = z. Calcule: a. La ecuación del plano π perpendicular a r pasando por P. ( b. El punto reintersección entre r y π. ( c. La distancia del punto P a la recta r. (0,5 36. Junio 00 Dado el punto A(0,,) y el plano π : x y + z 4 = 0 a. Calcule la recta r perpendicular al plano π que pasa por el punto A. ( b. Halle el punto intersección de r y π. ( c. Halle el punto simétrico de A respecto de π. (0,5 37. Junio 00 Se consideran la recta r que pasa por los puntos P(..3) y Q(,-,3), y el planoπ que contiene a los puntos A(,0,), B(,-,3) y C(4,,0). Calcule: a. Las ecuaciones implícitas de r y π. (,5 b. La posición relativa de r yπ x y x + y 38. Junio 00 Considere las rectas r = = z y s = = z. 3 3 a. Dé su posición relativa. ( b. Obtenga, si es posible, un plano paralelo a s que contenga a r.(,5 39. Septiembre 00 Se consideran el plano π que pasa por los puntos A(,0,0), B(0,,0) y C(0,0,-), y el plano π que pasa por los puntos P(3,0,0), Q(0,6,0) y R(0,0,-3). Calcule: a. Las ecuaciones generales o implícitas de π y π. (0,75 6

7 b. La posición relativa de π y π. (0,75 c. La distancia entre π y π. ( 40. Septiembre 00 Considere los puntos A(,0,), B(0,,) y C(0,0,-). a. Dé las ecuaciones de la recta r que pasa por B y C. (0,5 b. Calcule el plano π que pasa por A y es perpendicular a r. ( c. Halle el ángulo de corte entre r y π. (0,5 d. Obtenga el punto simétrico de A respecto de r. (0,5 x y + z + 3 = 0 4. Septiembre 00 Sea el punto A=(,-,0) y la recta r Halle la y + z 4 = 0 ecuación del plano que pasa por A y contiene a la recta r. (,5 4. Septiembre 00 En el espacio se consideran las rectas: r, que pasa por el punto P(,,) y tiene como vector director v=(,-,), y s que pasa por los puntos A(,3,) y B(3,,3). a. Obtenga las ecuaciones de r y s.( b. Dé la posición relativa de r y s.(,5 43. Junio 0 Sean el punto P(-,,0) y el plano π : x + y z + = 0 Calcule: a. La ecuación de una recta que pase por el punto P y corte al plano π (.5 b. La distancia del punto P al plano π. ( Junio 0 Se consideran los puntos en el espacio A(0,-,) y B(,,3). a. Halle las ecuaciones implícitas de la recta r que pasa por A y B. (.5 b. Dé la ecuación de un plano perpendicular a r pasando por A. (.5 x y 5 = Junio 0 Se considera la recta r : x + z = 0 a. Determine el plano π que contiene a r y pasador el origen de coordenadas (.5 b. Halle la ecuación de la recta perpendicular a π que pasa por el punto (,0,) ( x + y z 46. Junio 0 Se consideran la recta r : = = 4 3 y el plano π : x + 5y 3z = 5 a. Halle su posición relativa ( b. En caso de cortarse, halle el corte. (,5 47. Julio 0 Halle la posición relativa de las rectas: x y + z 3 s : = = (,5 x `y + z r : = = y Julio 0 Halle una ecuación del plano que pasa por el punto P(,,) y es paralelo a las x = t x y = 4 rectas r : y = 3t y s :. (,5 y z = 3 z = t 7

8 x y Julio 0 Se consideran las rectas r : = = z + y 3 a. Calcule m para que las rectas se corten en un punto (,5 b. Para ese m halle el punto de corte. ( x = + t s : y = m + 3t z = + 3t x z 50. Julio 0 Halle a y b para que las rectas r : = y = a y x bz = 0 s : sean x y z + = 0 paralelas (,5 5. Junio 0 Encuentre una ecuación del plano que pasa por el origen de coordenadas, es paralelo al plano determinado por el punto P (,,0) y la recta que pasa por el punto v =,,3. (,5 Q(,,) y tiene vector director ( ) 5. Junio 0 Se consideran la recta x = + t y planos siguientes: r : y = 5 5t ; y = 3 + t π : x + y + 3z = 0 y π : x + y + 4z = 0 a. Determine la posición relativa de la recta respecto a cada uno de los planos ( b. Determine la posición relativa de los dos planos. (0,75 c. Calcule la distancia de r al plano π. (0, Junio 0 a. Halle la posición relativa de la recta x + y z r : = = y el plano 3 π : x + 4y 3z = 5. (. b. En caso de cortarse, halle el corte. (,5 54. Junio 0 a. Obtenga la posición relativa de los planos π, que pasa por los puntos A(,0,0), B(0,,0) y C(0,0,-) y π, que pasa por los puntos A (3,0,0), B (0,6,0) y C (0,0,-3) (,5 b. Busque la mínima distancia entre los planos anteriores. (,5 55. Julio 0 Considere los planos π : x y + z = 0 y π : z 3 = 0 a. Estudie la posición relativa de π y π (,5 b. Encuentre, si es posible, una recta paralela a π y a π que pase por el punto (,,-) (,5 56. Julio 0 a. Determine el valor de k para que los puntos A(0,,), B(,-,0), C(,0,3) y D(,,k) se encuentren en el mismo punto ( b. Halle la distancia del origen de coordenadas al plano determinado por los puntos A, B y C. (,5 57. Julio 0 dado el punto O(0,0,0), busque un punto O del espacio tal que la recta que pasa por O y O sea perpendicular al plano π de ecuación x + y + z = 3, y las distancias de O a π y de O a π coincidan. 58. Julio 0 Se consideran los puntos del espacio: A(,0,0), B(0,,0) y C(0,3,0). 8

9 a. Halle la ecuación general o implícita del plano π que contiene a esos puntos (,5 b. Calcule la ecuación de la recta perpendicular a π que pasa por el origen de coordenadas y encuentre el punto de intersección de la recta y el plano. (,5 9