x+2y = 6 z = [C-LE] [JUN-A] Calcúlese la distancia del origen al plano que pasa por A(1,2,0) y contiene a la recta r x+2 2 = y-1

Transcripción

1 1. [ANDA] [JUN-A] Considera el punto P(2,0,1) y la recta r a) Halla la ecuación del plano que contiene a P y a r. b) Calcula el punto simétrico de P respecto de la recta r. x+2y = 6 z = [ANDA] [SEP-A] Considera el plano x+y+mz = y la recta r x = y-1 = z-2 2. a) Halla m para que r y sean paralelos. b) Halla m para que r y sean perpendiculares. c) Existe algún valor de m para que la recta r esté contenida en el plano?. [ANDA] [SEP-B] Sean los planos 1 2x+y-z+5 = 0 y 2 x+2y+z+2 = 0. a) Calcula las coordenadas del punto P sabiendo que está en el plano 1 y que su proyección ortogonal sobre el plano 2 es el punto 1,0,-. b) Calcula el punto simétrico de P respecto del plano 2.. [ARAG] [JUN-A] Escribir la ecuación de la circunferencia con centro (2,-1) y cuyo radio es, y luego determinar los puntos de esta circunferencia que equidistan de los ejes. 5. [ARAG] [JUN-B] Sea el plano : 2x-y+z = 1 y el punto A(5,-5,). (a) Determinar el punto simétrico de A respecto de. (b) Volumen de la figura del espacio limitado por el plano y los tres planos cartesianos. 6. [ARAG] [SEP-A] Determinar le punto simétrico del (,-8,) respecto del plano x-y+2z = 7. x+2y-z = 7. [ARAG] [SEP-B] Sea r la intersección de los dos planos 2x-y+z = 1 (a) Determinar el plano que contiene a la recta r y pasa por el origen de coordenadas. (b) Escribir la ecuación de la recta perpendicular a y que pasa por el punto (1,0,1). 8. [ASTU] [JUN] Sea el punto A(1,0,0) y el plano : 2x+y-z = 1. Halla: a) La ecuación de la recta que pasa por A y es perpendicular a. b) La ecuación del plano ' que pasa por A y no corta a. c) La distancia entre los dos planos. 9. [ASTU] [SEP] Sea el tetraedro de la figura formado por A,0,0, B 0,2,0, C 0,0,6 y D,,1. Calcula: a) El área del triángulo limitado por los puntos A, B y C. b) La ecuación del plano que pasa por los puntos A, B y C. c) El valor de para que el vector AD sea perpendicular al plano anterior. d) Para = 5, el punot D' simétrico de D respecto al plano. 10. [C-LE] [JUN-A] Calcúlese la distancia del origen al plano que pasa por A(1,2,0) y contiene a la recta r x+2 = z. 11. [C-LE] [JUN-B] (a) Determínese el simétrico de A(-,1,-7) respecto de la recta r x+1 = y- 2 = z+1 2. (b) Hállese la distancia entre A y r. 12. [C-LE] [JUN-B] Dados el punto A(,5,-1) y la recta r x-1 2 z+1 = y+2 =, hállese el punto B perteneciente a r tal que el vector de Página 1 de 5

2 extremos A y B es paralelo al plano de ecuación 2x-2y+z+5 = [C-LE] [SEP-A] (a) Calcúlense los valores de a para los cuales las rectas r (b) Para a = 1, calcúlese la recta que pasa por (1,1,1) y se apoya en r y s. x+ay-6az+1 = 0 -x+y+z- = 0 y s x = -1- y = + son perpendiculares. z = 1+a 1. [C-LE] [SEP-A] Calcúlese el simétrico del punto P(1,1,1) respecto del plano x+y+z = [C-LE] [SEP-B] Calcúlese el volumne del tetraedro de vértices A(1,1,1), B(1,2,), C(2,,1), D(,1,2). 16. [C-MA] [JUN] a) Halla la ecuación del plano que contiene a la recta r b) Calcula la distancia desdel el plano obtenido al punto Q(0,1,0). x = 2t y = +t z = 1-t y al punto P(2,-1,2). 17. [C-MA] [JUN] Halla el área y las longitudes de las tres alturas de un triángulo cuyos véertices son: A 1,1,1, B 0,,5 y C,0, [C-MA] [SEP] Calcula la ecuación de una recta que pasa por el punto de intersección del plano x+y-z+6 = 0 con la recta s x = y-2 = z+1 y es paralela a la recta r x+y- = 0 x-y+z-1 = [C-MA] [SEP] Dados los puntos A(1,-2,) y B(0,2,1), se pide: a) La ecuación paramétrica de la recta que pasa por ambos puntos. b) La ecuación del plano que está a igual distancia de A y B. c) La distancia al origen de la recta intersección del plano 2y-z = 0 con el plano del apartado b). 20. [CANA] [JUN-A] a) Comprueba que las rectas r (x,y,z) = (1,2,-1)+ (1,0,-1) s (x,y,z) = (0,,1)+ (-2,1,) se cortan en un punto. a) Hallar la ecuación general del plano que contiene a las rectas dadas en el apartado anterior. 21. [CANA] [JUN-B] a) Estudiar, según los valores del parámetro, la posición relaticva de los planos b) Halla la ecuación del plano que pasa por los puntos (0,1,2), (1,0,) y (2,-1,0). x-2y+ z = 0 10x-y+5z = 0 x+y-z = [CANA] [SEP-A] Dada la recta r x-1-2 = y+1 = z-2, hallar la ecuación del plano que contiene a ésta y pasa por el punto P 0,-2, [CANA] [SEP-B] Estudiar la posición relativa del plano 5x+ y-2z+1 = 0 y la recta r parámetro. 2x-y = 1 x-y+2z = -1 según los valores del 2. [CATA] [JUN] Una pirámide de base cuadrada tiene el vértice en el plano de ecuación z =.Tres de los vértices de la base sonlos puntos del plano OXY: A= 1,0,0, B= 1,1,0 y C= 0,1,0. a) Haga un gráfico de los elementos del problema. Cuáles son las coordenadas del cuarto vértice de la base, D? área base x altura b) Cuál es el volumen de la pirámide? Volumnen =. c) Si el vértice de la pirámide es el punto V=(a,b,), cuál es la ecuación de la recta que contiene la altura sobre la base? Página 2 de 5

3 25. [CATA] [SEP] Halle la distancia de la recta r: x- - = z+2 y el plano : 2x-y+z+5 = [CATA] [SEP] Dados los puntos A=(1,0,0) y B=(0,0,1): a) Halle un punto C sobre la recta de ecuación paramétrica b) Halle el área del triángulo ABC. y = 1+ de manera que el triángulo ABC sea rectángulo en C. z = [EXTR] [JUN-A] Determinar las coordenadas de un punto que diste 2 unidades de la recta x-1 1 = y 1 = z [EXTR] [JUN-B] Si los lados de un rectángulo ABCD miden 1 cm y cm, calcular el coseno del ángulo PAC, donde P es el punto medio del lado BC. 29. [EXTR] [SEP-A] Si A, B y C son los puntos de coordenadas (1,0,0), (0,1,0) y (0,0,1) respectivamente: a) Calcular el área del triángulo que forman los puntos A, B y C. b) Determinar el ángulo que forman los vectores AB y AC. 0. [MADR] [JUN-A] Dado el punto P(1,,-1), se pide: a) Escribir la ecuación que deben verificar los puntos X(x,y,z) cuya distancia a P sea igual a. x = b) Calcular los puntos de la recta y = 1+ z = 1- cuya distancia a P es igual a. 1. [MADR] [JUN-B] Dadas las rectas r: x-1 = z-1 y s: x+1 1 = y-2-1 = z 2 a) Hallar la ecuación de la recta t que corta a las dos y es perpendicular a ambas. b) Calcular la mínima distancia entre r y s. 1 : x+z = 2. [MADR] [SEP-A] Discutir según los valores del parámetro real la posición relativa de los planos: 2 : x+( -2)y+( +2)z = +2 : 2( +1)x-( +6)z = - x-y =. [MADR] [SEP-A] Se consideran las rectas r: x+y-z = 0 y s: x-z = 2x-y = 7 a) Hallar la recta t, perpendicular a r y a s, que pasa por el origen. b) Hallar las coordenadas del punto intersección de la recta s con la recta t obtenida en el apartado a).. [MADR] [SEP-B] Se considera la familia de planos mx+(m-2)y+(m+1)z+(m+1) = 0. a) Determinar la recta común a todos los planos de la familia. b) Determinar el plano de esta familia que pasa por el punto P(1,1,0). x-2z+1 = 0 c) Determinar el plano de esta familia que es paralelo a la recta r: -y+z+1 = 0. +2t x = t 5. [MURC] [JUN] (a) Demostrar que las rectas L 1 = y = 1-t y L 2 = y = 0 se cortan en un punto. Cuál es ese punto? z = t z = -t (b) Encontrar la ecuación del plano determinado por dichas rectas. Página de 5

4 x = t 6. [MURC] [SEP] (a) Estudiar si las recta L 1 = y = t y L 2 = z = 2+t (b) Encontrar la distancia entre dichas rectas. x+y-z+1 = 0 x+2y+ = 0 se cruzan. 7. [MURC] [SEP] (a) Demostrar que las recta L 1 = + t y = +t z = + t y L 2 = x-y+ = 0 x-z+ = 0 son paralelas. (b) Encontrar la ecuación de un plano paralelo al determinado por dichas rectas y que diste de él [RIOJ] [JUN] Halla las coordenadas del punto intersección de la recta x-1 1 = y-1 0 = z-1 y del plano 2x-y+z-1 = x-2y-1 = 0 9. [RIOJ] [JUN] San r 1 y r 2 las restas de ecuaciones: r 1 y-z-2 = 0 y r 2 x+y+z-1 = 0-2y+2z-a = 0. Determina el valor de a para que r 1 y r 2 sean coplanarias. 0. [RIOJ] [SEP] Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,1,0) y es paralela al eje Z (una ecuación: la que quieras). Haz un esquema dibujando los ejes, el punto y la recta. 1. [RIOJ] [SEP] Sean los planos 2x+y-z+5 = 0 y x+y+6z-8 = 0. a) Prueba que son perpendiculares. b) Halla la ecuación de la recta intersección de los planos, y exprésala de dos formas distintas. c) Encuentra un punto que no pertenezca a la intersección de los planos y que esté a igual distancia de ambos. 2. [VALE] [JUN-A] Se considera el plano : y+z-12m = 0 (m parámetro real) y las rectas u: y C los puntos de intersección de con u, v y w, respectivamente. a) Calcular las coordenadas de A, B y C. b) Hallar los valores de m para los que el área del triángulo ABC es 1 u.a. y = z, v: x = 2 y = 2z y w: x =. Sean A, B y = z. [VALE] [JUN-B] Hallar las ecuaciones de los planos que pasan por el punto (-7,2,-) y tales que las proyecciones ortogonales del origen sobre dichos planos son puntos de la recta (x,y,z) = (0,,1)+t(1,0,0).. [VALE] [SEP-A] Un paralepípedo rectangular (u ortoedro) tiene tres de sus aristas sobre las rectas l: x = 0 x-2y = 0, m: y = 0 z = 0 2x+y = 0 n:, y uno de sus vértices es (12,21,-11). Se pide: z = 0 a) Hallar los vértices restantes. b) Calcular su volumen. y 5. [VALE] [SEP-B] De los planos : 5x-y-z = 0, : x+y-z = 0 y el punto P(9,,-1), determinar: a) La ecuación del plano que pasa por P y es perpendicular a y a. b) El punto simétrico de P respecto de la recta r, intersección de los planos y. Soluciones 1. a) x+2y-z+2 = 0 b) 5. (a) (-,7,0) (b) ,16 5, 2. a) -1 b) 2 c) no. a) -7,-20, (-1,,-) 7. (a) 5x-5y+z = 0 (b) 11. (a) (-,-,-) (b) ,-11,-2 +5 y = -5 z = (a) (b) b) 8. a) 1,20, 1. x 2 +y 2-2x+2y- = 0 ; -1,-1, 2,2, +2 y = b) 2x+y-z-2 = 0 c) 1 2 z = - x-y-z+ = 0 x+y-2 = 0 1. (-1,-1,-1) ,-, , a) 1 b) 2x+y+z-6 = 0 c) 5 d) (1,-,-1) a) x+y+10z-22 = 0 b) ; 2 80, 21 Página de 5

5 250, x = -9+ y = -1- z = a) - y = -2+ z = -2 b) 2x-8y+z-9 = 0 c) 9 2 x = a x+y-1 = x+y-5z+11 = 0 2. = -2: paralelos ; -2: se cortan 2. a) (0,0,0) b) 1 c) y = b z = + x = a) 2 b) 60º 0. a) x2 +y 2 +z 2-2x+6y+2z+2 = 0 b) (0,1,1), (,2,-) 1. a) -8,2 : se cortan en un punto. a) x = - y = z = b),-1,-1. a) -2y+z+1 = 0 x+y+z+1 = b) x-y+z+2 = a) =: Se cortan en una recta; : Se cortan en un punto b) y = z = b) se cortan 26. a) 1, 1 2, 1 2 b) 27. 1, 2, ,2 : dos planos paralelos cortados por otro; b) x-5y+12z+ = 0 c) x+1y-15z-5 = 0 5. (a) (,0,1) (b) x+y+z- = 0 6. (a) si 22 2x+y-z+5 = 0 (b) 7. (b) x-y+2z+2 = 0 ó x-y+2z-10 = 0 8. (0,1,2) y = 1 1. b) 2. a) A(1,6m,6m), B(2,8m,m), C(,9m,m) b) 2. 7 x+y+6z-8 = 0 z = k x-y-z+ = 0; x-y-z+26 = 0. (0,0,0), (0,0,-11), (18,9,0), (18,9,-11), (-6,12,0), (-6,12,-11), (12,21,0) 5. a) x+2y+z-1 = 0 b) (-7,0,7) Página 5 de 5