Ejercicios 17/18 Lección 5. Geometría. 1. como combinación lineal de u = (2,5), expresa uno de ellos como combinación lineal de los otros dos.

Transcripción

1 Ejercicios 17/18 Lección 5. Geometría Expresa el vector u = ( 3, 1) como combinación lineal de los vectores v = ( 3, ) w = ( 4, 1). y. Expresa w = (4, 6) como combinación lineal de u = (,5) y v = ( 1,0). 3. Expresa el vector u = ( 7, 18) como combinación lineal de los vectores v = (1, 3) y w = (3, 4). 4. Expresa el vector u = ( 3, 4) w = (5,1). como combinación lineal de los vectores v = (3,5) y 5. Dados los vectores u = ( 1, 5), v = (, 3), w = ( 3, 1), expresa uno de ellos como combinación lineal de los otros dos. 6. Consideramos los puntos A (, 5), B (3, 1), C (4, 3) y D ( 4, 6). Expresa el vector u = (, 5) como combinación lineal de AC y BD. 7. Divide el segmento de extremos A( 4, ) y B(5, 4) en tres partes iguales. 8. Consideramos los puntos A (5, ) y B ( 1, ).Halla las coordenadas de los puntos que dividen al segmento AB en tres partes iguales. 9. Consideramos los puntos A(8, ) y B( 1,).Halla las coordenadas de los puntos que dividen al segmento AB en tres partes iguales. 10. Escribe las coordenadas de los puntos que dividen en cuatro partes iguales al segmento de extremos A( 3, 7) y C(5, 8). 11. Los puntos M( 1, 3) y N(, 4) son dos vértices consecutivos de un rectángulo MNPQ en el que el lado NP mide el doble que el lado MN. Encuentra Las coordenadas de los vértices P y Q. Razona si la solución encontrada es la única posible. 1. Calcula el ángulo que forman las rectas r: y = 3x 3, s: x + 3y 1 = Escribe la ecuación general de la recta que une los puntos M(,3) N(1,5). 14. Escribe la ecuación general de la recta que une los puntos M(,3) N(1,5). 15. Escribe y nombra seis formas distintas de la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (, 5) y B ( 1, 3).

2 Ejercicios 17/18 Lección 5. Geometría. 16. Escribe y nombra seis formas distintas de la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (5, ) y B ( 1, ). 17. Escribe y nombra seis formas distintas de la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (8, ) y B ( 1, ). 18. Escribe y nombra seis formas distintas de la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (, 5), B (4, 3). 19. Deduce y nombra las seis ecuaciones de la recta que tiene por vector director u = ( 1,3) y pasa por el punto P(3, 1). 0. Determina la ecuación de las rectas que forman un ángulo de 45 º con la recta 3x - 4y = Un rombo tiene dos vértices opuestos en los puntos A (1, ) y C (5, 3) mientras que el vértice B está situado sobre el eje de abscisas. Determina las coordenadas del cuarto vértice.. Un vértice de un triángulo está en el origen de coordenadas y su ángulo correspondiente mide 60 º. Otro vértice es el punto M(8, 0) y su área mide 4 u. Calcula su perímetro. 3. Sean los puntos A (5, ), B ( 1, ) y C ( 3, 4).Determina el punto donde se cortan la mediatriz del segmento AB y la bisectriz del ángulo formado por las rectas AB y AC. 4. Sea el triángulo de vértices C(3,4), D(-1,5), E(1,-). a) Calcula el perímetro del triángulo. b) Determina las ecuaciones de los lados del triángulo. c) Calcula la medida de las alturas del triángulo. d) Obtén razonadamente los ángulos del triángulo. 5. Un triángulo equilátero tiene 36 cm de perímetro. Uno de sus lados es el eje de abscisas y uno de sus vértices es el origen de coordenadas. Determina las ecuaciones de las rectas que definen los otros dos lados. 6. Consideramos los puntos A(0,), B(4, ). a) Escribe e indica el nombre de seis ecuaciones distintas de la recta que une los puntos A y B b) Encuentra un punto C de modo que el triángulo ABC sea rectángulo en A y tenga diez unidades cuadradas de área. c) Razona si es posible expresar el vector AC como combinación lineal de los vectores AB y BC.

3 Ejercicios 17/18 Lección 5. Geometría Calcula las coordenadas del ortocentro del triángulo determinado por las rectas r: 3x y + 5 = 0; s: 3x + 4y 19 = 0; t: 3x 8y 7 = Calcula las coordenadas del circuncentro del triángulo formado por los ejes de coordenadas y la recta 3x + 4y = 4. ( puntos) 9. Un vértice de un triángulo es el punto P(,1). La altura correspondiente al vértice Q es la recta q: y = x +. Calcula las coordenadas de los vértices Q y R sabiendo que se encuentran en la recta p: 1x + y 5 = Consideramos el triángulo cuyos vértices son los puntos A(,0), B( 4,), C(, 1). a) Deduce la ecuación explícita de los lados del triángulo y señala en los tres casos la pendiente y el vector direccional de cada recta. b) Determina las ecuaciones de las alturas del triángulo. c) Calcula el área del triángulo. 31. Consideramos los puntos A( 1,), B(3,0), C(1, 4). a) Deduce las ecuaciones paramétricas de los lados del triángulo ABC. b) Calcula las ecuaciones generales de las mediatrices del triángulo ABC. c) Obtén las ecuaciones explícitas de las bisectrices del triángulo ABC. d) Calcula razonadamente el área del triángulo ABC. 3. Dos vértices de un triángulo son los puntos A (1,0) y B(6,0). El tercer vértice está º º situado en el primer cuadrante. También se conocen los ángulos Â = 60, Bˆ = 45. Obténganse razonadamente los datos siguientes: a) Ecuaciones de los lados del triángulo. b) Coordenadas exactas del vértice C. c) Área del triángulo. d) Perímetro del triángulo. 33. Dos vértices de un triángulo son los puntos A (1,0) y B(9,0). El tercer vértice está situado en el primer cuadrante. También se conocen los ángulos A ˆ = 30 º º, Bˆ = 45. Obténganse razonadamente los datos siguientes: a) Ecuaciones de los lados del triángulo. b) Coordenadas exactas del vértice C. c) Área del triángulo. d) Perímetro del triángulo. 34. Consideramos los puntos A (, 5) y B (4, 3). Encuentra todos los paralelogramos en los que ABsea una diagonal, uno de los vértices esté situado en el eje de abscisas y su área sea de 100 unidades cuadradas.

4 Ejercicios 17/18 Lección 5. Geometría Los lados de un triángulo son las rectas r:x + 5y 15 = 0, s:4x 5y+ 30 = 0 y el eje de ordenadas. a) Deduce las coordenadas de los vértices del triángulo. b) Calcula, con un error menor que 10 4 radianes, los ángulos del triángulo. x = 1+ 4λ 36. Consideramos el punto M(45, 60) y la recta r:. y = 3 3λ a) Escribe y nombra una ecuación de la recta que pasa por el punto M y es paralela a la recta r. b) Escribe y nombra una ecuación de la recta que pasa por el punto M y es perpendicular a la recta r. c) Calcula el área del triángulo que forman las dos rectas anteriores con el eje de abscisas. d) Calcula el perímetro de dicho triángulo. e) Calcula la medida de los ángulos de este mismo triángulo. 37. Los puntos A(5, 5) y C(, 4) son dos vértices opuestos de un rectángulo cuyos lados son paralelos o perpendiculares a la recta x 3y = 0. a) Escribe las ecuaciones de los lados del rectángulo. b) Deduce las coordenadas de los vértices B y D. c) Calcula el área del rectángulo. 38. Identifica y deduce los elementos de las cónicas siguientes: a) x y = 0. b) x + y y = 0. c) x + y 4 = 0. d) x y 1 = 0. e) x + y + 4x 8y = 0. f) x y = 0. g) x 4y = 4. h) y x = 0. i) y + x 4 = 0 j) x 8y = 0. k) x 8y = 1 l) x + 8y = 1 m) 8x + 8y = 1. n) y = x o) 64x 5y = p) x + y + 4x 6y = 0

5 Ejercicios 17/18 Lección 5. Geometría. 5 x 1 y + 1 q) + = x y r) = 1 4 s) 3y 4x = 0 t) x + y = x + y u) 5x + 169y = 4 5 v) (x + y)(x y) = Determina razonadamente la ecuación de las asíntotas y el eje focal, el semieje real y el imaginario, la excentricidad y las coordenadas de los focos y vértices de la hipérbola equilátera cuya ecuación es xy =. 40. Obtén razonadamente las ecuaciones de las cónicas siguientes: a) Circunferencia de centro C(, 5) y radio 1. b) Elipse de excentricidad 0 5 y un vértice en A(4, 0). c) Parábola de foco F(1, 0) y vértice en el origen de coordenadas. d) Hipérbola cuyas asíntotas son las bisectrices de los ejes de coordenadas y uno de sus focos es F(1, 0). e) Circunferencia de centro P(3, 4) y radio 10. f) Elipse cuyos focos son F(4, 0), F ( 4, 0) y excentricidad e = 0 8. g) Hipérbola que pasa por el punto V(4, 0) y cuyas asíntotas son las rectas x + y = 0, x y = 0. h) Parábola de foco Q( 3, 0) y directriz x = Deduce la ecuación de la elipse cuyos focos son los puntos F(3, 0), F ( 3, 0) cuya excentricidad es Deduce la ecuación de la parábola cuyo foco es el punto F(,0) que tiene por vértice el origen de coordenadas. 43. Deduce la ecuación de una circunferencia tangente al eje de ordenadas cuyo centro es el punto C (3, 4). 44. Considera la circunferencia que tiene su centro en el punto B(8, ) y radio 7. Determina razonadamente las ecuaciones de las tangentes a dicha circunferencia que pasan por el punto P(8, 9). 45. Considera la circunferencia que tiene su centro en el punto A(8, ) y radio 7. Determina razonadamente las ecuaciones de las tangentes a dicha circunferencia que pasan por el origen de coordenadas.

6 Ejercicios 17/18 Lección 5. Geometría Obténgase razonadamente la ecuación de la circunferencia de centro en el punto P(3,-4) y radio 5 unidades. Hállese la ecuación de la recta tangente a la circunferencia que pasa por el origen de coordenadas. 47. Un triángulo equilátero está inscrito en la circunferencia x + y = 5. Uno de los vértices es el punto P( 4, 3). Calcula las coordenadas exactas de los otros dos vértices. 48. En la circunferencia x + y = 100 inscribimos un pentágono regular. a) Calcula el área del pentágono. b) Uno de los vértices del pentágono está en la parte positiva del eje de abscisas. Determina las coordenadas de todos los vértices. 49. Encuentra las tangentes comunes a las circunferencias siguientes: (x 1) + (y + 1) = 4 (x + 4) + (y 5) = Encuentra las tangentes comunes a las circunferencias siguientes: (x ) + (y + 1) = 4 (x + 4) + (y ) = Sean los puntos A( 3, 1), B(1, ), C( 1, 4) y la recta r: x + 3y 6 = 0. a) Calcula las componentes de los vectores AB, BC y CA. b) Calcula, con un error menor que un segundo de arco, la medida de los ángulos del triángulo ABC. c) Expresa, si es posible, el vector u = ( 1, 3) como combinación lineal de los vectores AB y AC. d) Calcula las siguientes distancias: e) Del punto A al origen de coordenadas. f) Del punto A al punto B. g) Del punto A a la recta r. h) Deduce las seis ecuaciones de la recta que une los puntos A y B. i) Determina la ecuación de la recta s, paralela a r por el punto C. j) Determina la ecuación de la recta t, perpendicular a r por el punto C. k) Calcula el área del triángulo que forman las rectas r, s y el eje de abscisas. l) Encuentra los vértices de un triángulo cuya área sea la cuarta parte de la del triángulo ABC.

7 Ejercicios 17/18 Lección 5. Geometría Sean las rectas a: 4x + 3y 9 = 0, b: x y 5 = 0 y el punto M(, 4). a) Expresa, si se puede, el vector OM como combinación lineal de los vectores u = (,3) y v = ( 1, 3). b) Calcula, con un error menor que un segundo de arco, el ángulo que forman las rectas a y b. c) Deduce las seis ecuaciones de la recta que pasa por M y es paralela a b. d) Establece las coordenadas del punto C en el que se cortan las rectas a y b. e) Encuentra dos puntos A 1 y A de la recta a que disten 5 unidades del punto C. f) Encuentra dos puntos B 1 y B de la recta b que disten 5 unidades del punto C. g) Calcula el área del cuadrilátero A 1 B 1 A B.