AYUDAS SOBRE LA LINEA RECTA

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1 AYUDAS SOBRE LA LINEA RECTA AYUDA : Grafiquemos la función Solución: Se debe escoger algunos números que representan a la variable x, para obtener el valor de la variable y respectivamente así: El proceso: x y Para x= - Para x =- Para x = 0 Figura 3-3 Para x = Nos genera las siguientes coordenadas:, 8,, 5, 0, y,. Luego se ubican en el plano cartesiano. NOTA: Es importante que tengas en cuenta que para graficar una línea recta basta con obtener dos puntos de ella y luego con una regla prolongarlos hasta el infinito. AYUDA : Graficar la función Solución: Se debe escoger dos números que representen a la variable x, para obtener dos valores de y, así: x 0 y 0 El proceso: Para x = 0 Figura 3-4

2 Para x = Así se obtiene las coordenadas AYUDA 3: Calcular la distancia entre los puntos A,3 y B, 3 Solución: Se ubican los puntos en el plano cartesiano. Se asocian los puntos, es decir, A x, y y B x, y, con x y, x y 3, finalmente se reemplaza en la fórmula de distancia entre dos puntos: Nos queda puntos Distancia entre los dos Figura 3-6 Figura 3-7 AYUDA 4: Hallar las coordenadas del punto medio dado por. Solución: Se nombran los puntos,3 A y B4,, luego y luego se reemplaza en

3 Donde el punto del medio del segmento formado por es ; se puede comprobar que, analizando: = = = = 3,9 Ahora = = 3,9 = = = Se concluye que son iguales las distancias, por lo tanto M si es el punto medio. AYUDA 5: Halle la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que une los puntos A 5,3 y B, 3. Solución: Reemplacemos en la fórmula de la pendiente y tenemos que A x, y y

4 y y Bx, y entonces: m m x x 5 7 Ahora para calcular el ángulo de dirección tenemos Tan 6 Tan Luego 6 Tan, entonces 40.6º 7 7 y x y x Figura 3-9 Este ángulo se desplaza en dirección negativa porque rota en el mismo sentido de las manecillas del reloj. Por lo tanto, para hallar el ángulo de dirección (obtuso), entonces, su respectivo valor en forma positiva es: 80 º 80º 40.6º 39.39º 39.4º AYUDA 6: Hallar la ecuación de la recta que pasa por y su pendiente es. Solución: El punto conocido y la pendiente m =, entonces sustituyendo en la ecuación se tiene: y 4 x y 4 x 6 y x 6 4 y x 0 3 AYUDA 7: Halla la ecuación de la recta que pasa por Solución: Sea A,3 y B, Se calcula la pendiente m. Luego se escoge cualquier punto 3 A,3 x y, entonces reemplazando en la ecuación de la recta: por ejemplo y y mx x y 3 x y x 3 y x AYUDA 8: Dada la ecuación ordenada del intercepto con el eje y b.. Calcular la pendiente ( m ) y la Solución: Se reconocen los coeficientes A 5; B 8 ; C 0

5 5 m ; b ; b Luego se puede escribir y x 8 4 AYUDA 9: Hallar la ecuación de la recta que pasa por la recta, 3 y es paralela a Solución: La recta dada es y x, entonces la pendiente m, por el criterio de paralelismo m. Se utiliza el punto (-, -3) y lo sustituimos en la ecuación y y y mx x 3 x y 3 ( x 4) y x 4 3 y x 7 AYUDA 0: Hallar la ecuación de la recta que pasa por, 3 y es perpendicular a Solución: La recta dada es y x, entonces la pendiente m, por el criterio de perpendicular m Se utiliza el punto (-, -3) y lo sustituimos en la ecuación y y y y 3 x y x 3 y x m x x 3 x x TALLER SOBRE LA LINEA RECTA

6 Ejemplo : Grafique en un plano cartesiano los puntos: A(3, 0), B(, ), C(0, ), D(-, ), E(-3, 0), F(-, ), G(0, -) Ejemplo : Será que los puntos H(-, 5), F(4, 4), L(, ), N(-, 0) pertenecen a la recta X-3Y+4=0? Ejemplo 3: Dados los puntos A(5, 3), B(-, 6), C(, -). Halle: a. La longitud del segmento AB b. Las coordenadas del punto M (Punto medio del segmento AB) c. Distancia de C a la recta que pasa por A y por B. d. El angulo con respecto a la horizontal de la recta AB. e. Ecuación de la recta que pasa por la intersección de las rectas X= - 4 y Y= - 3; y por el punto M. f. El angulo con respecto a la horizontal de la recta anterior. g. Grafique todo lo anterior. Ejemplo 4: Demuestre que los puntos T(9, ), G(, 6), I(3, 5), J(.) son los vértices de un paralelogramo Ejemplo 5: Demuestre de dos formas que el triángulo con vértices S(, ), M(4, 0), K(-4, -4) es rectángulo. Ejemplo 6: Halla la ecuación de la recta que pasa por la intersección de las rectas X+7Y-3=0 y 7X-4Y-=0 y es perpendicular a la recta X+Y+8=0. Grafique las cuatro rectas. Ejemplo 7: Cuál es el valor de x si la distancia entre P (8, -) y Q (x, 3) es 4? Ejemplo 8: Dibuja y halla la pendiente de la recta que pasa por los puntos P (-, -) y Q (3,5). Señala el ángulo de dirección que se forma entre el eje positivo de las x y la recta, y resuelve las siguientes preguntas: La pendiente es positiva, negativa, no existe o es cero. Por qué? Cuál es la ecuación de la recta? Cuál es el intercepto con el eje y? Cuál es el valor del ángulo? Ejemplo 9: Calcula la amplitud del ángulo que forma la recta r con la dirección positiva del eje x si sabes que pasa por los puntos: A(4, 3), B(-, 4) C(.5, ), D(.5, ) E(,.6), F(,.3) G(3, 8), H(-3.4, )

7 Ejemplo 0: Demuestre que el cuadrilátero con vértices P(, ), Q(4, 4), R(5, 9) y S(, 7) es un paralelogramo, mostrando que su diagonales se bisecan entre sí. Ejemplo : Trace el rectángulo con vértices A(, 3), B(5, 3), C(3, 6) y D(7, 6) en un plano de coordenadas. Determine el área del mismo. Ejemplo : Grafique el paralelogramo de vértices A(, ), B(5, ), C(3, 6) y D(7, 6) en un plano de coordenadas. Determine el área del mismo. Ejemplo 3:Grafique los puntos A(0, ), B(5, 0), C(4, 3) y D(, 3) en un plano de coordenadas. Trace los segmentos AB, BC, CD Y DA. Qué clase de cuadrilátero es ABCD y cuál es su área? Ejemplo 4:. Grafique los puntos los puntos P(5, ), Q(0, 6) y R(-5, ) en un plano de coordenadas. Dónde debe estar el punto S a fin de que el cuadrilátero PQRS sea un cuadrado? Determine el área de éste. Ejemplo5: Demuestre que el triángulo de vértices A(0, ), B(-3, -) y C(-4, 3) es isósceles. Ejemplo 6: Determine el área del triángulo de vértices A(-, ), B(4, ) y C(7, 4). Ejemplo 7: Demuestre que el triángulo de vértices C(-3, -3), D(3, ) y E(, ) es rectángulo utilizando el recíproco del teorema de Pitágoras. Ejemplo 8:Grafique el paralelogramo de vértices A(-, -), B(4, ), C(7, 7) y D(, 4), obtenga los puntos medios de sus diagonales y concluya que estas se intersecan en su punto medio. Ejemplo 9: Halla el centro y el radio de la circunferencia que pasa por los puntos D(0, 0), E(, 7) y F(7, -). Utiliza solo el concepto de distancia entre dos puntos. OD OE OF y Origen O(x, y) Ejemplo 0: Prueba que los triángulos de vértices G(3, 5), H(, ), I(-, ), y J(0, -), K(, 3), L(4, ) son rectángulos y congruentes. Ejemplo : Hallar la ecuación canónica y general de la recta que pasa por el punto (-4, 3) y tiene pendiente Ejemplo : Hallar la pendiente m y el intercepto con el eje y de la recta cuya ecuación es y-3x=6

8 Ejemplo 3: Demostrar que los puntos (3,6), (5,4), (-4,-) y (-,-3) son vértices de un rectángulo: calcular luego su perímetro, área y la longitud de cada una de sus distancias. Ejemplo 4: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (, 3) y cumple la condición siguiente: a) Es paralela a la recta x+37-5=0 b) Es perpendicular a la recta 4x+5y-0=0 Ejemplo 5: Hallar la distancia d desde: La recta 8x+5y-4=0 al punto (-, -3) La recta 6x-8y+5=0 al punto (-, 7) Ejemplo 6: Dado el triángulo de vértices A(-, ), B(5, 4) y C(, -3) hallar la longitud de la altura correspondiente al vértice A y el área del mismo. Ejemplo 7: Hallar la distancia d del punto de intersección de las rectas x+3y-4=0, 5xy+6=0 a la recta 4x-y-3=0 Ejemplo 8: Los puntos A(,), B(5,3), C(3,7) y D(-,5), tomados en ese orden, son los vértices de un cuadrado: a) Halla su área. b) Halla el centro y el radio de la circunferencia circunscrita. Ejemplo 9: Dado el triángulo cuyos vértices son D(-5,-5), E(,7) y F(5,): a) Halla las ecuaciones de las rectas que pasan por sus vértices y son paralelas al lado opuesto, b) Halla las coordenadas del ortocentro, c) Halla las coordenadas del circuncentro. Ejemplo 30:Las ecuaciones de los lados de un triangulo son: 3x -y-7=0, x+y-5=0 y x-y- 7=0. Halla las coordenadas de sus vértices. Ejemplo 3: Dado el triángulo de vértices A(-,), B(5,4) y C(,-3), hallar la longitud de la altura correspondiente al vértice A y el área del mismo. Respuesta: y 0 Ejemplo 3: Cuál es la ecuación de la recta perpendicular a la recta x-3y+7=0 y que pasa por el punto medio del segmento de esta comprendido entre los ejes coordenados?

9 Respuesta: 36x+4y+35=0 Ejemplo 33: Los puntos A(,-), B(5,) y C(,5) son vértices de un triángulo. Clasifica dicho triángulo según la longitud de sus lados. Calcula su área, perímetro y ángulos interiores. Calcula las coordenadas del circuncentro, del ortocentro y del baricentro. Halla la ecuación de la recta de Euler. Respuestas: Escaleno u Area= Ángulos interiores: 45, 7.6 y 63.4 Circuncentro: (,), Ortocentro: (3,) y Baricentro: 7 5, "Aunque sientas el cansancio, aunque una traición te hiera, aunque el triunfo te abandone, aunque un dolor queme tus ojos, aunque la incomprensión corte tu risa Y todo parezca nada! Vuelve a empezar!"