Rectas y Cónicas. Sistema de Coordenadas Cartesianas. Guía de Ejercicios # Encuentre las coordenadas de los puntos mostrados en la figura.

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1 Universidad de Los Andes Facultad de Ciencias Forestales y Ambientales Escuela de ingeniería Forestal Departamento de Botánica y Ciencias Básicas Matemáticas I I 2014 Prof. K. Chang. Rectas y Cónicas Guía de Ejercicios #3 Sistema de Coordenadas Cartesianas 1.- Encuentre las coordenadas de los puntos mostrados en la figura. C Y D B 1 A F 1 X G E

2 Guía de Ejercicios # En cada caso, haga un gráfico que muestre los puntos A y B (i) A(0, 8), B(6, 16) (ii) A( 2, 5), B(10, 0) (iii) A( 3, 6), B(4, 18) (iv) A( 1, 1), B(9, 9) (v) A(6, 2), B( 6, 2) (vi) A(0, 6), B(5, 0) 3.- Dibuje el rectángulo con vértices A(1,3), B(5,3), C(1, 3) y D(5, 3) en un plano de coordenadas. 4.- Use un sistema cartesiano para dibujar cada una de las siguientes figuras. (a) El triángulo con vértices A(0,2), B( 3, 1), y C( 4,3) (b) El triángulo con vértices A(6, 7), B(11, 3), y C(2, 2) (c) El triángulo con vértices A(0,0), B(a,0), y C(0,b), con a > 0 y b > 0. (d) La figura cerrada que se obtiene al unir los puntos A( 2,9), B(4,6), C(1,0) y D( 5,3), por medio de segmentos. (e) El paralelogramo con vértices A( 2, 1), B(4,2), C(7,7), y D(1,4). 5.- Dibuje el subconjunto del plano indicado. (a) {(x,y) R 2 : x 3} (b) {(x,y) R 2 : y < 3} (c) {(x,y) R 2 : y = 2} (d) {(x,y) R 2 : x = 1} (e) {(x,y) R 2 : 1 < x < 2} (f) {(x,y) R 2 : 0 y 4} (g) {(x,y) R 2 : x > 4} (h) {(x,y) R 2 : y 2} (i) {(x,y) R 2 : x 1 y y < 3} (j) {(x,y) R 2 : x 2 y y 3} (k) {(x,y) R 2 : x 4 3} (l) {(x,y) R 2 : y 4 3} (m) {(x,y) R 2 : x 4 3 ó y 4 3} (n) {(x,y) R 2 : x 4 3 y y 4 3} 6.- En cada caso, determine la distancia entre los puntos A y B. (i) A(0, 8), B(6, 16) (ii) A( 2, 5), B(10, 0) (iii) A( 3, 6), B(4, 18) (iv) A( 1, 1), B(9, 9) (v) A(6, 2), B( 6, 2) (vi) A(0, 6), B(5, 0)

3 Guía de Ejercicios # Si un extremo de un segmento se encuentra ubicado en el punto ( 4,2) y el punto medio de dicho segmento corresponde a (3, 1), calcule las coordenadas del otro extremo. 8.- Dos de los vertices de un triángulo equilátero se encuentran ubicados en los puntos ( 1,1) y (3, 1). Determine las coordenadas del tercer vértice. 9.- Los puntos medios de los lados de un triángulo son (2,5), (4,2) y (1,1). Determine las coordenadas de los tres vértices Cuál de los puntos A(6,7) o B( 5,8) está más cercano al origen? 11.- Cuál de los puntos A( 6,3) o B(3,0) está más cercano al punto C( 2,1)? Rectas 12.- En cada caso, haga un bosquejo del gráfico de la recta que pasa por los puntos P 1 y P 2. (i) P 1 (0,0); P 2 (4,4) (ii) P 1 (2,3); P 2 (3,2) (iii) P 1 ( 1,5); P 2 (1,2) (iv) P 1 (1, 3); P 2 ( 1,3) (v) P 1 ( 1,2); P 2 (4,2) (vi) P 1 (1, 3); P 2 ( 5, 3) 13.- Halle una ecuación de la recta que pasa por el punto P y tiene ángulo de inclinación α. (i) P(7,3); α = 45 (iii) P(4, 3); α = 60 (v) P( 6,1); α = π 2 (ii) P( 1,1); α = 30 (iv) P(0,0); α = π 4 (vi) P( 2,6); α = π En cada caso, determine la pendiente de la recta que pasa por los puntos dados. (i) A(1, 1), B(2, 2) (ii) A(1, 3), B(7, 9) (iii) A( 1, 2), B(4, 2) (iv) A( 1, 1), B( 3, 8) (v) A(1, 3), B( 1, 5) ( 1 (vi) A 2, 1 ) ( 2, B 2 3, 3 ) Determine el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos dados. ( ) ( ) (i) A(1, 1), B(0, 0) (iii) A 4, 7 3,B 1, 4 3 (v) A(1, 1), B(4, 2) 3 3 (ii) A(1, 2), B(7, 9) (iv) A(1, 9), B( 1, 7) (vi) A(1,2 ) 1 3 3),B(, En cada caso, determine una ecuación de la recta que pasa por el punto P y tiene pendiente m. (i) P(2,5), m = 3 (iii) P( 1,3), m = 5 (v) P(0, 3), m = 1/7 (ii) P( 3,1), m = 2 (iv) P( 3, 4), m = 7 (vi) P(1/2,1/2), m = 1/2

4 Guía de Ejercicios # 3 4 (vii) P(2,6), m = 1/4 (viii) P(0, 1/5), m = 2 (ix) P(2, 6), m = 1/ Determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos P 1 y P 2, en cada uno de los siguientes casos. (i) P 1 (6, 2), P 2 (3, 5) (ii) P 1 (1,2), P 2 (3,8) (iii) P 1 (2,4), P 2 (5,7) (iv) P 1 ( 1/2, 7), P 2 (0,0) (v) P 1 ( 2, 4), P 2 ( 4, 8) (vi) P 1 (c,3c), P 2 ( 4c,5c) con c Determine la pendiente, m, de cada una de las siguientes rectas. (a) 12x 8y +5 = 0 (b) 1 3 (x+6y)+3 = 0 (c) y +3x 1 3 = 0 (d) 4y 24 = x 2 (e) y = 4 (f) x = 5 4y (g) 2x 4y +3 = 0 (h) 12y 24x 4 = 0 (i) 1 2 y x = Haga un bosquejo del gráfico de cada una de las rectas del ejercicio anterior Haga un bosquejo gráfico de los siguientes subconjuntos del plano. (a) {(x,y) R 2 : x 2 +4x+3 = 0} (b) {(x,y) R 2 : 2x 2y +4 = 0} (c) {(x,y) R 2 : 2x+3y 1 0 y 3x+2y +1 0} (d) {(x,y) R 2 : x+3y 6 > 0 y 2x y +5 > 0 } (e) {(x,y) R 2 : x+2y +3 > 0 y 3x y +4 > 0 } (f) {(x,y) R 2 : x 6y +5 > 0 y 3x+4y 7 0 } (g) {(x,y) R 2 : 2x+y 3 0 y x y +2 > 0 } (h) {(x,y) R 2 : x+4y 6 0 y 2x 6y +7 0 } 21.- Encadaunodelossiguientes casos,determinelaecuacióndelarectaquesatisfagalacondición que se indica. (a) Pasa por el punto ( 5,1) y es paralela al eje X. (b) Tiene pendiente m = 4 y pasa por el punto (2,3). (c) Es paralela a la recta x = 5 y pasa por el punto (2,7). (d) Tiene pendiente m = 2 y pasa por el punto ( 3,5).

5 Guía de Ejercicios # 3 5 (e) Pasa por el punto (1,4) y es paralela a la recta cuya ecuación es 2x 5y +7 = 0. (f) Pasa por el punto ( 2,3) y es perpendicular a la recta cuya ecuación es 2x y 2 = 0. (g) Es paralela a la recta que tiene por ecuación 3x + 2y 9 = 0 y su distancia al origen de coordenadas es 8. (h) Pasa por el punto ( 2,3) y por la intersección de las rectas x+5y+2 = 0 y 3x+4y 5 = 0. (i) Pasa por el punto (-2,-5) y tiene por pendiente m = Encuentre l 1 l 2, en cada uno de los siguientes casos. (a) l 1 : y x = 0; l 2 : x+y = 0. (b) l 1 : 3x 2y = 2; l 2 : 5x+60 = 8y. (c) l 1 : 2x 3y = 1; l 2 : y +3 = 4x. (d) l 1 : 7x 4y = 5; l 2 : 9x+8y = 13. (e) l 1 : 8x+1 = 15y; l 2 : 9y 8 = 10x. (f) l 1 : 3x+y = 3/2; l 2 : 2x+2y = 7. (g) l 1 : 2x 3y +5 = 0; l 2 : x 6y +7 = 0 (h) l 1 : 3x+2y +4 = 0; l 2 : 2x+3y 5 = 0 (i) l 1 : 4x 6y +9 = 0; l 2 : 2x+5y +1 = Obtenga el valor de k tal que las rectas cuyas ecuaciones son l 1 : 3kx+8y = 5 y l 2 : 6y 4kx = 1 sean perpendiculares Hallar una ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas l 1 : 6x 4y = 2 y l 2 : x y = 0 con la condición que: a) Pasa por el origen de coordenadas. b) Paralela a la recta 4x y 10 = 0. c) Perpendicular a la recta x+5y = 1. d) Paralela a la recta que pasa por ( 1,2) y ( 1,6) 25.- Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 4) y es paralela a la recta x+5y 3 = Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto ( 2, 3) y es paralela a la recta 3x 7y +4 = 0

6 Guía de Ejercicios # Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto (3, 2) y es perpendicular a la recta 2x+3y +4 = Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,5) y es perpendicular a la recta 5x 4y +1 = Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto ( 1, 3) y es paralela a la recta que pasa por los puntos (3,2) y ( 5,7) 30.- Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto (4, 2) y es paralela a la recta que pasa por los puntos (2, 1) y (5,7) 31.- Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto ( 5,3) y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos (7,0) y ( 8,1) 32.- Encuentre los puntos de intersección de la recta con los ejes de coordenadas: 1.- 2x+5y +8 = x 8y +2 = x 3y +2 = x+y = Encuentre la distancia del punto P a la recta r dada. (i) P( 2,0); r : 4y x = 0. (ii) P( 2, 2); r : y +x = 0. (iii) P( 2,1); r : x+y = 3. (iv) P( 7,3); r : y = 1. (v) P( 2/3,3); r : 3x+2y = 4. (vi) P( 3,2); r : 3x+4y = Encuentre un número real k, tal que el punto (2,3) se encuentre sobre la recta kx+2y 7 = Encuentre un número real k, tal que 5x ky 1/4 = 0 tenga pendiente m = 2/ Encuentre el perímetro de los triángulos con vértices: (i) V 1 ( 3,4), V 2 (0, 3) y V 3 (2, 5). (ii) V 1 (3, 3), V 2 ( 4,1) y V 3 (0,4) Demuestre que el triángulo con vértices V 1 (0,9), V 2 ( 4, 1) y V 3 (3,2) es rectángulo. Calcule su área Encuentre las coordenadas de los vértices del triángulo que se forma con las rectas l 1 : 1 2 y = 1 4 x; l 2 : y = 2x l 3 : y = 1 3 x+5 Describa el conjunto de puntos del plano que se encuentran dentro del triángulo.

7 Guía de Ejercicios # 3 7 La circunferencia 39.- Encuentre la ecuación de una circunferencia con centro C y de radio r. (a) C(4,3); r = 5. (b) C(0,0); r = 8. (c) C(5, 12); r = 3. (d) C(1/2,1/2); r = 1/2. (e) C( 2, 2); r = 4. (f) C( 1,1); r = Cuáles de las siguientes ecuaciones corresponden a la de una circunferencia? Cuáles no? Por qué?. Cuando halle una ecuación de circunferencia, determine su centro y su radio. (a) x y 4x+y 2 = 0. (b) x 2 +y 2 +10x = 0. (c) 9x 2 +9y 2 6x+12y = 31. (d) 2x 2 +2y 2 +y x = 3. (e) 4x 2 +4y 2 4x 18y = 2. (f) x 2 +y 2 +2x 4y +5 = 0. (g) 3x 2 +3y 2 +4x 7 = 0. (h) x 2 +16y 2x+y 2 = 49. (i) x y 4x+y 2 = 0. (j) (x 4) 2 +(y 1) 2 = 4. (k) x x = y 2. (l) x 2 +y 2 +x 3y = 1 4. (m) x 2 +y 2 12x+8y = 52. (n) x 2 +y 2 8y +2x = 8. (ñ) x 2 16 = 6x y 2. (o) x 2 3x+ 3 2 = y y Encuentre la ecuación de una circunferencia de centro (1,2) y que pasa por el punto (3, 1) 42.- Encuentre la ecuación de una circunferencia con centro (1,2) y que pasa por el punto (4,2) 43.- Obtenga el centro y el radio de la circunferencia y trace la curva en el plano: a) x 2 +y 2 6x 8y +9 = 0 b) 2x 2 +2y 2 2x+2y 7 = 0 c) x 2 +y 2 4x+10y+13 = 0 d) 2x 2 +2y 2 3x = 0 e) x 2 +y 2 +6y +2 = Obtenga la ecuación de la circunferencia que: a) El centro está en ( 3, 5) y es tangente a la recta 12x+5y = 4. b) Es tangente a la recta 3x+y +2 = 0 en (-1,1) y pasa por el punto (3,5) Haga un bosquejo gráfico de los siguientes subconjuntos del plano. (a) {(x,y) R 2 : x 2 +y 2 6x 8y +9 < 0} (b) {(x,y) R 2 : 2x 2 +2y 2 2x+2y 7 > 0} (c) {(x,y) R 2 : x 2 +y 2 4x+10y +13 0} (d) {(x,y) R 2 : 2x 2 +2y 2 3x 0} (e) {(x,y) R 2 : x 2 +y 2 +6y +2 0}

8 Guía de Ejercicios # En cada caso, estudiar si los puntos P y Q dados son interiores, exteriores o están sobre la circunferencia dada: (a) P ( 1, ) ( 1 2 2, Q 1, 1 4), x 2 +y 2 2x = 2y. (b) P (8,0), Q(0,0), x 2 +y 2 6x+8y = 0. (c) P ( 12 ),0, Q ( 1,1) 2 x 2 +y 2 +8x 4y = 4. (d) P (0,1), Q(1,0), x 2 +y 2 +2x = 8. (e) P (3,0), Q( 1,2), 3x 2 +3y 2 +6x = 1. (f) P (4,5), Q( 1,1), x 2 +y 2 4x 4y = 5. ( (g) P 1, 1 ), Q ( 1 2 4, 2) 1, x 2 +y 2 +4x+2y = Encuentre una ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A, B y C. (a) A(2,8), B(7,3), C( 2,0). (b) A(0,0), B(3,6), C(7,0). (c) A(2, 2), B(0,2), C(6,0). (d) A(2,2), B(1,0), C(0,1) Determine una ecuación de la circunferencia sabiendo que uno de sus diámetros es el segmento de recta que une a los puntos A y B. (a) A( 8, 6), B(0, 0). (b) A( 1, 2), B(3, 8). (c) A( 4, 5), B(2, 3). (d) A( 1, 0), B(3, 2) Encuentre una ecuación de la circunferencia de radio 8, tangente a los ejes de coordenadas y cuyo centro se encuentra en el segundo cuadrante Dadas las rectas l 1, l 2 y el radio r, determine una ecuación de la circunferencia de centro l 1 l 2 y radio r. (a) l 1 : y = x+5 l 2 : y = x 1 r = 5 (c) l 1 : 7x+9y = 42 l 2 : 12x+10y = 4 r = 3 (b) l 1 : 3x+5y = 7 l 2 : y = 2x+4 r = 1 (d) l 1 : x+3y = 6 l 2 : 5x 2y = 13 r = Halle una ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A(7, 5) y su centro es el punto de intersección de las rectas l 1 : 7x 9y = 10, l 2 : 2x 5y = 2. La parábola 52.- Encuentre las coordenadas del foco y una ecuación de la directriz de cada una de las siguientes parábolas:

9 Guía de Ejercicios # 3 9 (a) x 2 = y. (b) x 2 9y = 0. (c) y 2 24x = 0. (d) x 2 = 40y. (e) x 2 = 28y. (f) y 2 = 3x. (g) y 2 = x. (h) x2 +y = (i) x 2 = 12y. (j) y 2 4x = 0. (k) y 2 = 16x. (l) y 2 = 14x Encuentre una ecuación de la parábola a partir de la información que se da. Asuma que el vértice se encuentra en el origen de coordenadas. (a) F(0,8) (b) F( 2,0) (c) Directriz x = 1 (d) F(0, 5) (e) Directriz y = 4 (f) F ( 3,0) 2 (g) Directriz x = 1 8 (h) Directriz y = 1 (i) F(0,6) (j) Directriz y = Determine una ecuación de la parábola con vértice en el origen, eje de simetría el eje X y pasa por el punto S(2, 4) Halle una ecuación para la parábola con vértice en el origen, eje de simetría el eje Y y pasa por el punto S( 2,3) Encuentre una ecuación de la parábola dado su directriz y foco. (a) F(0, 4), directriz y = 2. (b) F ( 12 ),0, directriz x = 1 2. (c) F(0, 1), directriz y = 1. (d) F(5,0), directriz x = 5. (e) F( 3,1), directriz y = 4. (f) F(2,6), directriz x = 1. (g) F(5,4), directriz x = 3 2. (h) F(2,4), directriz y = En los siguientes ejercicios se dan el foco F y el vértice V de una parábola. Determine la ecuación de la parábola y la de su directriz. (a) F( 2,4), V( 2,3) (b) F( 1,3), V(0,3) (c) F(0,1), V( 3,1) (d) F(1,0), V(1, 3) (e) F( 2, 2), V(1, 2) (f) F(5,1), V(5, 2) (g) F(3,4), V(3,5) (h) F( 2,1), V( 2,3) 58.- En los siguientes ejercicios se da el vértice V y la directriz l de una parábola. Encuentre la ecuación de la parábola y el foco.

10 Guía de Ejercicios # 3 10 (a) V( 2, 2); l : y = 3 (b) V(0,4); l : x = 4 (c) V(0,1); l : y = 2 (d) V( 3, 1); l : x = En los siguientes ejercicios determine: Vértice, foco y directriz de la parábola dada. Haga un bosquejo gráfico. (a) 3x 2 8y 12x = 4 (b) y 2 +20x = 0 (c) x 2 +3y = 0 (d) y 2 12x = 12 (e) x 2 +20y = 10 (f) x 2 8y = 4 (g) y 2 +x+y = 0 (h) 3y 2x 2 4x+7 = 0 (i) x 2 +8y 2x = 7 (j) y x 2 +2x = 0 (k) x 2 +6x+6y = 0 (l) y 2 +3y +x+4 = 0 (m) y 2 = 6y +9x (n) y 2 +6y +2x+5 = 0 (ñ) x 2 +6x+4y +8 (o) 4x 2 8x+3y 2 = 0 (p) y 2 +6x+10y +19 = 0 (q) 3y 2 8x 12y 4 = 0 (r) 2y 2 = 4y 3x (s) y = 3x 2 3x Encuentre la ecuación de la parábola que tiene eje de simetría el eje Y, pasa por el punto (3,4) y su foco está en el origen Considere los puntos A(2,1), B(1, 1), C( 1,2). (a) Encuentre una ecuación de la parábola que pasa por esos puntos y tiene eje de simetría paralelo al eje Y. (b) Encuentre una ecuación de la parábola que pasa por esos puntos y tiene eje de simetría paralelo al eje X. La Elipse 62.- Determine toda la geometría de cada una de las elipses dadas: (a) 4x 2 +9y 2 = 144 (b) x 2 +4y 2 = 1 (c) 4x 2 +2y 2 = 1 (d) x 2 +4y 2 4x+8y +4 = 0 (e) 9x 2 +4y 2 +36x 8y +4 = 0

11 Guía de Ejercicios # 3 11 (f) 16x 2 +9y 2 64x+54y = 1 (g) 9y 2 +12x x = 54y Encuentre una ecuación de la elipse conociéndose sus dos vértices y uno de sus focos. (a) V 1 (2,5); V 2 (2, 3); F 1 (2,4) (b) V 1 ( 7,9); V 2 ( 7,5); F 2 ( 7, 44+2) 64.- Encuentre una ecuación de la elipse con focos F 1 (3,0), F 2 ( 3,0) y eje mayor de longitud Encuentre una ecuación de la elipse con focos F 1 (1,3), F 2 (1,1) y eje menor de longitud Determine la ecuación de la elipse cuyo centro es C(1, 10), eje mayor horizontal de longitud 8 y eje menor de longitud Encuentre la ecuación de la elipse con vértices V 1 (0,3), V 2 ( 8,3) y eje menor de longitud Hallar una ecuación de la elipse que satisface: la suma de las distancias desde (4,3) y (8,3) es igual a Hallar la ecuación para la elipse que satisfaga: (a) Focos en ( 1,0), (1,0); eje mayor 6. (b) Focos en (0, 1), (0,1); eje mayor 6. (c) Focos en (3,1), (9,1); eje mayor 10. (d) Focos en (1,3), (1,9), eje menor 8. (e) Foco en (1,1); centro en (1,3); eje mayor 10. (f) Centro en (2,1), vertices en (2,6) y (1,1). (g) Eje mayor 10; vértices (3,2) y (3, 4) Para cada una de las siguientes elipses (a) hallar los focos, (b) hallar la longitud del eje mayor, (c) hallar la longitud del eje menor, (d) hacer un bosquejo de la gráfica. (a) x y2 9 = 1. (b) x y2 25 = 1. (c) x2 9 + y2 4 = 1. (d) 3x 2 +2y 2 = 12. (e) 9x 2 +4y 2 = 36. (f) x 2 +4y 2 = 16. (g) 2x 2 +y 2 = 3. (h) x2 4 + y2 9 = 1. (i) (x 1) 2 +4y 2 = 64. (j) 3x 2 +4y 2 12 = 0. (k) 4x 2 +y 2 6y +5 = 0. (l) 4(x 1) 2 +y 2 = 64. (m) 16(x 2) (y 3) 2 = 400.

12 Guía de Ejercicios # 3 12 La hipérbola 71.- Encuentre los vértices, focos y asíntotas de la hipérbola dada. Haga un bosquejo del gráfico. (a) x2 4 y2 16 = 1 (b) y 2 x2 25 = 1 (c) x 2 y 2 = 1 (d) 25y 2 9x 2 = 225 (e) x 2 4y 2 8 = 0 (f) 4y 2 x 2 = 1 (g) y2 9 x2 16 = 1 (h) x2 2 y2 = 1 (i) 9x 2 4y 2 = 36 (j) x 2 y 2 +4 = 0 (k) x 2 2y 2 = 3 (l) 9x 2 16y 2 = Encuentre una ecuación para la hipérbola que satisfaga las condiciones dadas 1. Focos F 1 ( 5,0), F 2 (5,0), vértices V 1 ( 3,0), V 2 (3,0). 2. Focos F 1 (0, 10), F 2 (0,10), vértices V 1 (0, 8), V 2 (0,8). 3. Focos F 1 (0, 2), F 2 (0,2), vértices V 1 (0, 1), V 2 (0,1). 4. Focos F 1 ( 6,0), F 2 (6,0), vértices V 1 ( 2,0), V 2 (2,0). 5. Vértices V 1 ( 1,0), V 2 (1,0), asíntotas y = 5x, y = 5x. 6. Vértices V 1 (0, 6), V 2 (0,6), asíntotas y = 1 3 x, y = 1 3 x. 7. Focos F 1 (0, 8), F 2 (0,8), asíntotas y = 1 2 x, y = 1 2 x. 8. Vértices V 1 (0,6), V 2 (0, 6), la hipérbola pasa por ( 5,9). 9. Asíntotas y = x, y = x, la hipérbola pasa por (4,1). 10. Focos F 1 (3,0), F 2 ( 3,0), la hipérbola pasa por (4,1). 11. Focos F 1 ( 5,0), F 2 (5,0), longitud del eje transversal Focos F 1 (0, 1), F 2 (0,1), longitud del eje transversal 1.