LUGARES GEOMÉTRICOS. CÓNICAS

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1 9 LUGARES GEOMÉTRICOS. CÓNICAS Página PARA EMPEZAR, RELEXIONA Y RESUELVE Cónicas abiertas: parábolas e hipérbolas Completa la siguiente tabla, en la que α es el ángulo que forman las generatrices con el eje, e, de la cónica y β es el ángulo del plano π con e. β = 90 β > α β = α β < α π PASA POR EL VÉRTICE punto punto recta V dos rectas que se cortan en V π NO PASA POR EL VÉRTICE circunferencia elipse parábola hipérbola Página. Halla las ecuaciones de los siguientes lugares geométricos: a) Mediatriz del segmento de extremos A(, ), B(7, ). Comprueba que es una recta perpendicular al segmento en su punto medio. b) Circunferencia de centro C (, ) y radio. Comprueba que pasa por el origen de coordenadas. c) Bisectrices de los ángulos formados por las rectas: r : x + y + = 0 r : x y + 6 = 0 Comprueba que las bisectrices son dos rectas perpendiculares que se cortan en el mismo punto que r y r. a) Los puntos X (x, y) deben cumplir dist (X, A) = dist (X, B): (x + ) + (y + ) = (x 7) + (y ) Elevamos al cuadrado y desarrollamos: x + 0x + + y + 6y + 9 = x x y y + 0x + x + 6y + y + 0 = 0 x + 8y 6 = 0 x + y = 0 y = x + Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

2 El punto medio de AB es M(, ) que, efectivamente, está en la recta (pues verifica la ecuación). La pendiente de la recta es m r =, y la del segmento es: ( ) m AB = = = 7 ( ) Cumplen que m r m AB = ( ) ( ) = AB r b) Los puntos X(x, y) son tales que: dist (X, C ) = (x + ) + (y ) = x + 6x y 8y + 6 = x + y + x 8y + = x + y + x 8y = 0 c) Son los puntos X (x, y): x + y + dist (X, r ) = dist (X, r ) = 6 x y + 6 Se dan dos casos: (x + y + ) = 6 (x y + 6) (x + y + ) = 6 (x y + 6) Son dos rectas: b : ( 6 )x + ( + 6 )y = 0 Sus pendientes son: m = b : ( + 6 )x + ( 6 )y = 0 m = 6 99 m m = = = b b 6 99 Calculamos el punto de corte de las rectas iniciales y comprobamos que está también en ambas bisectrices: r : x + y + = 0 y = x r : x y + 6 = 0 x ( x ) + 6 = 0 x + 0x = 0 x = x = Luego: y = ( ) = 7 El punto de corte es (, 7), que se puede comprobar fácilmente que está en b y b sustituyendo en sus ecuaciones respectivas: b : ( ) ( ) + ( + ) = 6 ( 6 ) + 6 ( + 6 ) 6 6 = = 0 6 Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

3 b : ( + ) ( ) + ( ) = 6 6 = = 0 Por tanto, b y b son dos rectas perpendiculares que se cortan en el mismo punto que r y r. 6 Página 7. Halla la ecuación de la circunferencia de centro (, ) y radio. Comprueba que pasa por el punto (0, 0). (x + ) + (y ) = 69 x + y + 0x y = 0 Si sustituimos x = 0, y = 0 en la ecuación, esta se verifica. Por tanto, la circunferencia pasa por (0, 0).. Cuál es el lugar geométrico de los puntos del plano cuyo cociente de distancias a los puntos M (6, 0) y N (, 0) es (es decir, PM/ PN = )? Si P(x, y) es un punto del lugar geométrico, entonces: PM (x 6) = + y PN = (x + ) + y (x 6) + y = 9 [(x + ) + y ] x x y = 9 [x + x + + y ] x x y = 9x + 6x y 8x + 8y + 8x = 0 x + y + 6x = 0 Es una circunferencia de centro (, 0) y radio. Página 9. En el ejercicio resuelto anterior, resuelve el sistema de ecuaciones para hallar el punto de tangencia de la recta s y la circunferencia C. x + y 6x y = 0 x y 6 = 0 y = x 6 x 6 x 6 x + ( ) 6x ( ) = 0 x + 9x 6x x x + 6 = 0 6 6x + 9x 6x x 8x = 0 x 00x = 0 x x + 6 = 0 (x 6) = 0 x = 6 y = El punto de tangencia es (6, ). Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

4 . Para qué valor de b la recta y = x + b es tangente a x + y = 9? El centro de la circunferencia es C (0, 0) y el radio es r =. La distancia de C a la recta s: x y + b = 0 ha de ser igual al radio: b b b = dist (C, s) = = = b = + b = Luego las rectas y = x + e y = x son tangentes a la circunferencia dada.. Halla la posición relativa de la circunferencia C: x + y 6x + 8y = 0 respecto a las rectas: s : x + y = 0, s : x + y + 0 = 0 y s : x y = 0. El centro de la circunferencia es O c (, ) y su radio es r = = =. Hallamos la distancia de O c a cada una de las rectas: 0 d = dist (O c, s ) = = 7,78 Página d = dist (O c, s ) = = = d = dist (O c, s ) = = = d > r La recta s es exterior a la circunferencia. d < r La recta s y la circunferencia son secantes. d = r La recta s es tangente a la circunferencia.. Halla la ecuación de la elipse de focos (, 0), (, 0) y cuya constante es 0. Una vez puesta la ecuación inicial, pasa una raíz al segundo miembro, eleva al cuadrado ( atención con el doble producto!), simplifica, aísla la raíz, vuelve a elevar al cuadrado y simplifica hasta llegar a la ecuación 9x + y =. Si P (x, y) es un punto de la elipse, entonces: dist (P, ) + dist (P, ) = 0 (x ) + y + (x + ) + y = 0 (x ) + y = 0 (x + ) + y Elevamos al cuadrado: (x ) + y = 00 + (x + ) + y 0 (x + ) + y Operamos: x 8x y = 00 + x + 8x y 0 (x + ) + y 0 (x + ) + y = 6x + 00 (x + ) + y = x + Elevamos al cuadrado: (x + 8x y ) = 6x + 00x + 6 Simplificamos: x + 00x y = 6x + 00x + 6 9x + y = Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

5 . Halla la ecuación de la hipérbola de focos (, 0), (, 0) y cuya constante es 6. Simplifica como en el ejercicio anterior hasta llegar a la expresión 6x 9y =. Si P (x, y) es un punto de la hipérbola, entonces: dist (P, ) dist (P, ) = 6 dist (P, ) dist (P, ) = ±6 (x ) + y (x + ) + y = ±6 (x ) + y = ±6 + (x + ) + y Elevamos al cuadrado: x 0x + + y = 6 + x + 0x + + y ± (x + ) + y ± (x + ) + y = 0x + 6 ± (x + ) + y = x + 9 Elevamos al cuadrado: 9 (x + 0x + + y ) = x + 90x x + 90x + + 9y = x + 90x + 8 6x 9y =. Halla la ecuación de la parábola de foco (, 0) y directriz r: x =. Simplifica hasta llegar a la expresión y = x. Si P (x, y) es un punto de la parábola, entonces: dist (P, ) = dist (P, r) (x + ) + y = x Elevamos al cuadrado: x + x + + y = x x + Simplificamos: y = x Página. Una elipse tiene sus focos en los puntos (, 0) y ' (, 0) y su constante es k = 6. Halla sus elementos característicos y su ecuación reducida. Represéntala. Semieje mayor: k = 6 a = 6 a = Semidistancia focal: ' = 0 c = 0 c = Semieje menor: b = a c = 69 = = = b = c Excentricidad: = 0,8 a exc 0,8 ' x y Ecuación reducida: + = 69 Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

6 Página. Representa y di su excentricidad: (x + ) (y ) + = 6 c = 6 = exc = 0,87. Representa y di su excentricidad: (x ) (y 7) + = 6 6 c = 6 6 = exc = 0,87 8 Página 6. Una hipérbola tiene sus focos en los puntos (, 0) y (, 0) y su constante es k = 6. Halla sus elementos característicos y su ecuación reducida. Represéntala. Semieje: k = a = 6 a = Semidistancia focal: = 0 c = Cálculo de b: b = c a b = 9 = 6 = b = c Excentricidad: exc = = a,67 Asíntotas: y = x; y = x x y Ecuación reducida: = 9 6 Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas 6

7 Página 7. Representa: (x + ) 6 (y ) =. Representa: (y 7) 6 (x ) = 6 7 Página 8. Halla la ecuación reducida de la parábola de foco (,; 0) y directriz x =,. Si P (x, y) es un punto de la parábola: dist (P, ) = dist (P, d), donde d es la directriz y el foco. (x,) + y = x +, x x +, + y = x + x +, y = 6x De otra forma: Distancia del foco a la directriz: p = Ecuación reducida: y = 6x. Halla la ecuación reducida de la parábola de foco (0, ) y directriz y =. Si P (x, y) es un punto de la parábola: dist (P, ) = dist (P, d), donde d es la directriz y el foco. x +(y ) = y + x + y y + = y + y + x = 8y De otra forma: Distancia del foco a la directriz: p = Ecuación reducida: x = 8y. Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas 7

8 Página EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Circunferencia Averigua cuáles de las siguientes expresiones corresponden a circunferencias y, en ellas, halla su centro y su radio: a) x + y 8x + y + 0 = 0 b) x y + x + y = 0 c) x + y + xy x + y 8 = 0 d) x + y 6x + = 0 e) x + y + 6x + 0y = 0 a) Los coeficientes de x e y son. No hay término en xy. A ( ) B + ( ) C = = 7 > 0. Es una circunferencia de centro (, ) y radio 7. b) Los coeficientes de x e y no son iguales. No es una circunferencia. c) Hay un término xy. No es una circunferencia. d) Los coeficientes de x e y son iguales y no tiene término en xy. Dividimos entre la igualdad: x + y 8x + = 0. A ( ) B + ( ) C = = > 0. Es una circunferencia de centro (, 0) y radio =. e) Los coeficientes de x e y son. No hay término en xy. A ( ) B + ( ) C = = > 0 Es una circunferencia de centro (, ) y radio. Los puntos A (, ) y B (, 6) son los extremos de un diámetro de una circunferencia C. Halla su ecuación. El centro de la circunferencia es el punto medio del segmento AB: P = Centro = (, ) = (, ) El radio es la distancia del centro a uno de los puntos: r = dist (P, A) = PA = (, ) = + = Por tanto, la ecuación es: (x ) +(y ) = x + y x 8y + = 0 Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas 8

9 Cuál es el lugar geométrico de los puntos que distan unidades del punto P (, )? Represéntalo gráficamente y halla su ecuación. Es una circunferencia de centro P(, ) y radio. Ecuación: (x + ) +(y ) = x + y + 6x y = 0 (, ) Escribe la ecuación de la circunferencia de centro C (, ) y que pasa por P (0, ). El radio de la circunferencia es la distancia de P a C: r = PC = (, ) = + = 9 La ecuación es: (x + ) +(y ) = 9, o bien, x + y + x y = 0 Estudia la posición de la recta x + y = 0 con relación a la circunferencia: x + y + 6x + y + 6 = 0. El centro de la circunferencia es C (, ) y su radio es r = = =. Hallamos la distancia de C a la recta s: x + y = 0: d = dist (C, s) = = = =,8 > = r La recta es exterior a la circunferencia. 6 Para qué valor de b la recta y = x + b es tangente a la circunferencia x + y =? El centro de la circunferencia es C (0, 0) y su radio es r =. Hallamos la distancia de C a la recta s: x y + b = 0: d = dist (C, s) = b Para que la recta sea tangente a la circunferencia, ha de ser d = r, es decir: b = b = b = b = 7 Halla los puntos de intersección de cada pareja de circunferencias y di cuál es su posición relativa: x x a) + y 6x 6 = 0 b) + y 6x y + 9 = 0 x + y = x + y 6x + y + 9 = 0 a) x + y 6x 6 = 0 x + y = 6x 6 = 0 6x = x = +y = y = 0 y = 0 Las circunferencias se cortan en el punto (, 0). Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas 9

10 La primera circunferencia tiene centro en (, 0) y radio ; la segunda tiene centro en (0, 0) y radio. La distancia entre sus centros es d =. Como la diferencia entre sus radios es = = d, las circunferencias son tangentes interiores. b) x + y 6x y + 9 = 0 x + y 6x + y + 9 = 0 Restando a la - a ecuación la - a : 6y = 0 y = 0 x 6x + 9 = 0 (x ) = 0 x = Las circunferencias se cortan en el punto (, 0). La primera circunferencia tiene su centro en (, ) y radio ; la segunda tiene su centro en (, ) y radio. La distancia entre sus centros es d =, igual que la suma de sus radios. Por tanto, las circunferencias son tangentes exteriores. 8 Halla la longitud de la cuerda común a las circunferencias de ecuaciones: x + y x + y = 0 y x + y = 0. Hallamos los puntos de corte: x + y x + y = 0 x + y = 0 x + y = 0 y = x x + x = 0 x = x = x = = = y = x = = = y = Las dos circunferencias se cortan en P (, ) y en Q (, ). La longitud de la cuerda común es igual a la distancia entre P y Q: dist (P, Q) = QP = ( ) + ( ) = ( ) + ( ) = 6 6 = + = 6 = 8 9 Calcula la distancia del centro de la circunferencia x + y y = 0 a la recta r: x y + = 0. Cuál es la posición de r respecto a la circunferencia? 8 El centro de la circunferencia es C (0, ) y su radio es R = a r es: + dist (C, r) = = 0,89 <, Luego la circunferencia y la recta son secantes.. La distancia de C Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas 0

11 Elipse 0 Halla los vértices, los focos, los puntos en los ejes, las excentricidades, y representa las elipses dadas por sus ecuaciones: x y a) + = i b) + = c) 9x + y = d) 9x + y = x y a) Vértices: (0, 0); ( 0, 0); (0, 6) y (0, 6). ocos: c = 00 6 = 8 (8, 0) y '( 8, 0) 8 Excentricidad: exc = = 0, ' 0 6 b) Vértices: (8, 0); ( 8, 0); (0, 0) y (0, 0). ocos: c = 00 6 = 6 = 6 (0, 6) y '(0, 6) 6 Excentricidad: exc = = 0, ' 0 x y c) 9x + y = + = /9 Vértices: (, 0); (, 0); (0, ) y (0, ). ocos: c = = = (, 0) ( y ' ), 0 / Excentricidad: exc = = = 0,8 / ' Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

12 d) 9x + y = + = /9 / x Vértices: (, 0) ; (, 0 ) ; ( 0, ) y ( 0, ). y ocos: c = = = 9 6 ( ) 0, ( ) y ' 0, ' Halla las ecuaciones de las elipses determinadas de los modos siguientes: a) ocos (, 0), (, 0). Longitud del eje mayor, 0. b) (, 0) y ' (, 0) y cuya excentricidad es igual a 0,. c) Eje mayor sobre el eje X, 0. Pasa por el punto (, ). d) Eje mayor sobre el eje Y,. Excentricidad, /. a) c = ; a = 0 a = ; b = a c = = x Ecuación: + = c c b) c = ; exc = = 0, a = = = 6 a 0, 0, b = a c = 6 9 = 7 x y y Ecuación: + = 6 7 x c) a = 0 a = ; + = b 9 Como pasa por (, ) + 9 = 9b + = b b 6b = b = 6 x x 6y Ecuación: y + =, o bien, + = /6 c d) exc = = c = (a =, pues a = ) b = a c = = x x Ecuación: y + =, o bien, + y = / y Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

13 Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a P (, 0) y Q (, 0) es 0. Es una elipse de focos P(, 0) y Q(, 0), y constante k = 0, es decir, a = 0 y c =. Así: a = ; b = a c = 6 = 9 x y La ecuación será: + = 9 Halla los puntos de intersección de la elipse + = con la circunferencia cuyo centro es el origen y pasa por los 9 focos. x y Los focos de la elipse son: c = a b c = 9 = 6 c = (, 0) y '(, 0) Luego la circunferencia tiene su centro en (0, 0) y radio. La ecuación de la circunferencia es: x + y = 6. Hallamos los puntos de intersección de la circunferencia con la elipse: 0 x + y = 6 x y + = 9 y = 6 x 9x + y = 9x + (6 x ) = 9x + 00 x = 7 = 6x x = 7 6 x = ± = 7 ± x = y = ± 7 x = y = ± 7 9 Hay cuatro puntos: (, ) ( ; 7 9, ) ( ; 7 9, ) ( y 7 9, ) 9 9 Calcula la longitud de la cuerda definida por la elipse x + y = 8 y la recta x + y =. Hallamos los puntos de corte de la recta y la elipse: x + y = x + y = 8 x = y Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

14 y ( ) + y = y + 9y + y = y + 9y + 7y = 700 8y 8y 0 = 0 y ± + y 6 = 0 y = = Se cortan en los puntos P(, ) y Q(, ). ± y = x = y = x = La longitud de la cuerda es la distancia entre P y Q: PQ = (, ) = 9 + =,8 Escribe la ecuación de una elipse con centro en el origen de coordenadas y focos en el eje de abscisas, sabiendo que pasa por el punto P (8, ) y que su eje mayor es igual al doble del menor. El eje mayor es igual al doble del menor, es decir: a = b. Además, pasa por el punto P(8, ). Luego: x a y + = = = = b b b b b b = b ; a = b = 00 x y La ecuación es: + = 00 6 Escribe la ecuación de la elipse de focos (, ) y ' (, ) y cuya constante es igual a. Si P(x, y) es un punto de la elipse, entonces: dist (P, ) + dist (P, ' ) = a, es decir: (x ) + (y ) Operamos para simplificar: + (x ) + (y + ) = (x ) + (y ) = (x ) + (y + ) (x ) + (y ) = 6 + (x ) + (y + ) 8 (x ) + (y + ) x + x + y + y = 6 + x + x + y + + y 8 (x ) + (y + ) y 6 = 8 (x ) + (y + ) (y + 6) = 6 [(x ) + (y + ) ] 6y y = 6 [x + x + y + + y] 6y y = 6x + 6 8x + 6y y Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

15 8 = 6x 8x + 8y 8 = x 8x + y = x 8x + + y = (x ) + y = (x ) + y = (x ) + (x ) + y = De otra forma: El centro de la elipse es el punto medio del segmento que une con ', es decir: + (, ) y = (, 0) Por otra parte: c = dist (, ') = ' = (0, ) = c = a = a = a = b = a c = = (x ) y Por tanto, la ecuación es: + = Página Hipérbola 7 Halla los vértices, los focos, las excentricidades y las asíntotas, y dibuja las hipérbolas dadas por las ecuaciones: x a) y 9x = b) y = c) x y = d) x y = y x e) = f) y 6x = 6 6 g) 9x y = 6 h) x y + 6 = 0 a) a = 0, b = 6, c = a + b = 6 =, exc =,7 0 Vértices: (0, 0) y ( 0, 0). ocos: (, 0) y '(, 0) Asíntotas: y = x; y = x Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

16 6 ' x b) y x y = = 6 6/9 6 a =, b =, c = + / =, exc = = =, 9 / Vértices: (, 0) ( y ) (, 0. ocos:, 0) ( ) y ', 0 Asíntotas: y = x; y = x ' x y c) x y = = / a =, b =, c = + / =, exc = =, Vértices: (, 0) y (, 0). ocos: (, 0) ( y ' ), 0 Asíntotas: y = x; y = x ' Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas 6

17 x y d) x y = = a =, b =, c = + =, exc =, Vértices: (, 0) y (, 0). ocos: (, 0) y '(, 0) Asíntotas: y = x; y = x ' e) Vértices: (0, ) y (0, ). ocos: (0, 0 ) y '(0, 0 ) 0 exc =,6. Asíntotas: y = x; y = x 6 6 ' y f) y 6x = 6 = 6 Vértices: (0, ) y (0, ) x ocos: (0, 7 ) y '(0, 7 ) 7 exc =,0 Asíntotas: y = x; y = x ' Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas 7

18 x y g) 9x y = 6 = 9 Vértices: (, 0) y (, 0) ocos: (, 0) y '(, 0) exc =,80 Asíntotas: y = x; y = x ' h) x y + 6 = 0 y x = 6 y x = 6 Vértices: (0, ) y (0, ) ocos: ( 0, 0) y '( 0, 0) 0 exc =, Asíntotas: y = x; y = x ' 8 Halla las ecuaciones de las hipérbolas determinadas de los modos siguientes: a) ocos (, 0), (, 0). Distancia entre los vértices,. b) Asíntotas, y = ± x. Vértice, (, 0). c) Asíntotas, y = ± x. Pasa por el punto (, ). d) ocos (, 0), (, 0). Excentricidad,. a) c = ; a = a = ; b = c a = 6 = x y La ecuación es: = b b b) a = ; = = b = a x Ecuación: y x y =, o bien, = / b c) = b = a = a a 9a x Como pasa por (, ) = 6 = 9a a 9a y Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas 8

19 = 9a a = b = 9a = 9 x Ecuación: y 9x y =, o bien, = /9 c d) c =, = = a = a a b = c a = 9 = 8 Ecuación: = 8 9 Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a ' (, 0) y (, 0) es 6. Es una hipérbola de focos y ' y constante a = 6. Por tanto, a =, c =, b = c a = 6 9 = 7. La ecuación es: = Halla la ecuación de la hipérbola que tiene el centro en el origen de coordenadas y los focos en el eje de abscisas, sabiendo que pasa por el punto P ( /, ) y que una de sus asíntotas es la recta y = x. b La pendiente de la asíntota es = b = a a x x y x y y Luego = es la ecuación. a a Como pasa por el punto P( /, ), entonces: / = 0 = a 9 = a a 9 = a a b = a = 9 x La ecuación será: y x y =, es decir: = 9/ Parábola Halla los vértices, los focos y las directrices de las siguientes parábolas, y represéntalas: a) y = 6x b) y = 6x c) y = x x d) y = e) y = (x ) f) (y ) = 8x g) x = (y + ) h) (x ) = 6y Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas 9

20 a) y = px p p = 6 p = = y = 6x Vértice: (0, 0) oco: (, 0) Directriz: x = b) Vértice: (0, 0) oco: ( ), 0 Directriz: x = c) Vértice: (0, 0) oco: ( ) 0, Directriz: y = d) Vértice: (0, 0) oco: (0, ) Directriz: y = e) Vértice: (, 0) oco: (, 0) Directriz: x = 0 Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas 0

21 f) Vértice: (0, ) oco: (, ) Directriz: x = g) Vértice: (0, ) oco: (0, 0) Directriz: y = h) Vértice: (, 0) oco: ( ), Directriz: y = Halla las ecuaciones de las parábolas determinadas de los siguientes modos: a) Directriz, x =. oco, (, 0). b) Directriz, y =. Vértice, (0, 0). c) Vértice (0, 0) y pasa por (, ). ( soluciones). p a) = p = 0 p = 0. Ecuación: y = 0x b) El foco será (0, ). Si P(x, y) es un punto de la parábola y d: y = 0 es la directriz, entonces: dist (P, ) = dist (P, d) x +(y + ) = y x + y + 6y + 9 = y 6y + 9 x = y c) Hay dos posibilidades: I) Eje horizontal: y = px. Como pasa por (, ), entonces: 9 9 = p p = y 9 = x II) Eje vertical: x = py. Como pasa por (, ), entonces: = 6p p = = x = y 6 Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

22 Halla el lugar geométrico de los puntos que equidistan del punto (, 0) y de la recta y =. Es una parábola cuyo foco es (, 0) y cuya directriz es d: y + = 0. Si P(x, y) es un punto de la parábola, entonces: dist (P, ) = dist (P, d) (x ) + y = y + O bien: (x ) = 6( ) y + x 6x y = y + 6y + 9 y = x 6 Escribe la ecuación de la parábola de foco (, ) y directriz y + = 0. Si P(x, y) es un punto de la parábola, (, ) el foco, y d: y + = 0 la directriz, entonces: dist (P, ) = dist (P, d) (x ) + (y ) = y + (x ) + (y ) = (y + ) x (x ) + y y + = y + 6y + 9 Lugares geométricos (x ) = 8y + 8 (x ) = 8(y + ) Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos P tales que AP =, siendo A (, ). Represéntala. AP = (x ) + (y ) = (x ) + (y ) = 9 Es una circunferencia de centro (, ) y radio. 6 Halla la ecuación que cumplen todos los puntos cuya distancia al origen de coordenadas es. Represéntala. P (x, y) cumple que dist (P, 0) = x + y = x + y = Es una circunferencia de centro (0, 0) y radio. 7 Halla el lugar geométrico de los puntos P(x, y) cuya diferencia de cuadrados de distancias a los puntos A(0, 0) y B(6, ) es. Qué figura obtienes?. [dist (P, A)] [dist (P, B)] = x + y [(x 6) + (y ) ] = Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

23 Desarrollamos y simplificamos: x + y x 6 + x y 9 + 6y = x + 6y 60 = 0 r: x + y 0 = 0 Veamos que la recta obtenida es perpendicular al segmento AB: AB = (6, ) pendiente: m AB = = 6 La pendiente de r es m r =. m AB m r = ( ) = AB r Veamos ahora en qué punto se cortan la recta obtenida, r, y el segmento AB. Para ello, escribamos primero la ecuación de la recta AB: m AB AB = / y = x A (0, 0) AB Así: x + y 0 = 0 Q = r I AB x + x 0 = 0 y = (/)x 0 x + x 0 = 0 x = = y = Luego: Q (, ) = AB I r 8 Halla el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a la recta x y +=0 es 6. El valor absoluto dará lugar a dos rectas. x y + P (x, y) cumple que dist (P, r) = 6 = x y + = 0 x y + = 0 x y + = 0 r : x y 9 = 0 r : x y + = 0 Son dos rectas paralelas entre sí y paralelas, a su vez, a la recta dada. 9 Halla el lugar geométrico de los puntos que equidistan de las rectas: r: x y + = 0 y s: x y + = 0 Interpreta las líneas obtenidas. P (x, y) donde d (P, r) = d (P, s) x y + = x y + x y + = x y + = Imposible!! x y + = x + y 6x 0y + = 0 r: x y + 7 = 0 Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

24 Es una recta paralela a las dos rectas dadas que, a su vez, son paralelas entre sí, como puede verse por sus coeficientes, pues: A A' B C = = = B' C' 0 Halla las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos que forman las rectas r y s: r: x y + 8 = 0 y s: x + y 7 = 0 Son todos los puntos P (x, y) tales que d (P, r) = d (P, s): x y + 8 x + y 7 x y + 8 x + y 7 = = 69 (x y + 8) = (x + y 7) (x y + 8) = (x + y 7) x 9y + 0 = 60x + y x 9y + 0 = 60x y + 8x + 6y 9 = 0 x y + 69 = 0 Luego hay dos soluciones, bisectrices de los ángulos cóncavo y convexo que forman las rectas r y s. Ambas bisectrices se cortan en el punto de corte de las rectas r y s, y son perpendiculares. s r Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya distancia a la recta y = es igual al valor absoluto de la suma de sus coordenadas. Buscamos los puntos P (x, y) tales que d (P, r) = x + y donde r es la recta dada, r: y =. Es decir: 0 + y = x + y y = x + y y = x + y y = x y Luego los puntos P (x, y) que verifican esa condición son los de las dos rectas: r : x = y r : x + y = 0 NOTA: Se puede comprobar resolviendo los sistemas que r I r I r = Q (, ) x = x + y = 0 r Y X r Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

25 Página PARA RESOLVER Identifica las siguientes cónicas, calcula sus elementos característicos y dibújalas: a) x + 9y = 6 b) 6x 9y = c) 9x + 9y = d) x y = 6 e) y = x f ) x + y = 900 x y a) x + 9y = 6 + = 9 Es una elipse a =, b =, c = exc = 0,7 ' x y b) 6x 9y = = 9 6 Es una hipérbola a =, b =, c = ; exc =,67 Asíntotas: y = x ; y = x ' Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

26 c) 9x + 9y = x + y = 9 Es una circunferencia de centro (0, 0) y radio. / / / / x y d) x y = 6 = 6 Es una hipérbola a =, b =, c = ; exc = =, Asíntotas: y = x ; y = x ' e) Es una parábola. Vértice: (0, 0) 7 oco: (, 0) Directriz: x = 7 Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas 6

27 f) x + y = 900 = 6 / Es una elipse a = 6, b =, c = 9 exc = 0,9 x y 9 / 6 ' 6 / Halla las ecuaciones de las siguientes circunferencias: a) Centro (, ) y es tangente a la recta: x + y = 0 b) Pasa por A (0, ) y B (, 0) y su radio es. c) Pasa por el origen de coordenadas y por los puntos A (, 0) y B (0, ). d) Tiene su centro en la recta x y = 0 y pasa por los puntos (, ) y (, 6). a) El radio de la circunferencia es la distancia del centro C (, ) a la recta s: x + y = 0: + r = dist (C, s) = = = La ecuación es: (x ) + (y ) =, o bien, x + y 6x 0y + 9 = 0 b) El centro pertenece a la mediatriz del segmento AB: 0 Pendiente de la recta que pasa por A y B m = = 0 La mediatriz tiene pendiente = =. m La ecuación de la mediatriz es: El punto medio de AB es (, ). y = ( x + ) y = x y = x Un punto de la mediatriz es de la forma P(x, x). Buscamos P tal que dist (P, A) = dist (P, B) =, es decir: x +( x ) = x + x + + x = x + x = 0 x ± + 8 ± x = y = + x = 0 x = = x = y = Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas 7

28 Hay dos soluciones: Centro (, ) (x ) +(y + ) = x + y x + y = 0 Centro (, ) (x + ) +(y ) = x + y + x y + = 0 c) El centro pertenece a la mediatriz del segmento que une O(0, 0) y A(, 0), es decir, pertenece a la recta x =. También pertenece a la mediatriz del segmento que une O(0, 0) y B(0, ), es decir, pertenece a la recta y =. Por tanto, el centro de la circunferencia es C ( ),. El radio es la distancia del centro a cualquiera de los tres puntos: r = dist (C, O) = OC = 9 + = = La ecuación es: (x ) + ( y ) =, o bien, x + y x y = 0 d) Si el centro está sobre la recta x y = 0, es de la forma C(y, y). El centro está a igual distancia de A(, ) que de B(, 6). Además, esta distancia es el radio, r, de la circunferencia: r = dist (A, C ) = dist (B, C ) AC = BC (y + ) +(y ) = (y ) + (y 6) 9y + + 6y + y + 6 8y = 9y + 9 8y + y + 6 y 8y = 8 y = x = y = Por tanto, el centro de la circunferencia está en C (, ), y su radio es: r = AC = = = La ecuación es: (x ) +(y ) =, o bien, x + y 6x y = 0 Halla la ecuación de la elipse que pasa por el punto (, ) y tiene sus focos en (, 0) y (, 0). x a y b La ecuación es: + = Como pasa por (, ) 9 + = a Como a = b + c y sabemos que c = a = b + 6 b Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas 8

29 Teniendo en cuenta las dos condiciones anteriores: 9 + = 9b + b + 6 = b + 6b b + 6b 6 = 0 b +6 b b 6 ± ± 00 = = = Así: a = + 6 = 8 Por tanto, la ecuación de la elipse será: + = 8 x 6 ± 0 y b = b = 8 Se llama hipérbola equilátera a aquella en que a = b. Halla la ecuación de la hipérbola equilátera cuyos focos son (, 0) y (, 0). La ecuación será: = Como c = a + b, y sabemos que c = y que a = b, entonces: = a a = Por tanto, la ecuación es: =, o bien, x y = / / 6 Halla la ecuación de la hipérbola cuyas asíntotas son las rectas y = ± x y los focos (, 0) y (, 0). Si los focos son (, 0) y (, 0), entonces c =. b Si las asíntotas son y = ± x, entonces: = a Como c = a + b, tenemos que a + b =. Teniendo en cuenta los dos últimos resultados: b = a a + b = x a y a x y 9 a a + a = = a = a = = b = a = 7 7 x Por tanto, la ecuación será: y 7x 7y =, o bien, = 0/7 8/ Una circunferencia del plano pasa por los puntos (, ) y (, ) y tiene el centro sobre la recta x + y =. Halla su centro y su radio. Si el centro está sobre la recta x + y = x = y; entonces es de la forma C ( y, y). La distancia del centro a los dos puntos dados, A(, ) y B(, ) es la misma. Además, esta distancia es el radio, r, de la circunferencia: Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas 9

30 r = dist (C, A) = dist (C, B) AC = BC ( y, y ) = ( y, y ) ( y) +(y ) = ( y) + (y ) + y 8y + y + 9 6y = y + y + 0y y = y = x = y = 9 El centro de la circunferencia es C (9, ). El radio es: r = AC = = 00 = 0 = r 8 Halla las ecuaciones de las siguientes parábolas: a) oco (0, 0); directriz y =. b) oco (, 0); directriz x =. c) oco (, ); vértice (, ). a) Si P(x, y) es un punto de la parábola, debe cumplir: dist (P, ) = dist (P, d); donde es el foco y d la directriz. x + y = y + x + y = y + y + x = (y + ) b) Si P(x, y) es un punto de la parábola: dist (P, ) = dist (P, d); siendo el foco y d la directriz. (x ) + y = x + x x + + y = x + x + y = 6x y = 6 ( ) x c) Si el foco es (, ) y el vértice es ( ),, la directriz tiene que ser la recta d: y = 0, ya que la distancia del vértice al foco ha de ser igual a la distancia del vértice a la directriz. Así, si P(x, y) es un punto de la parábola: dist (P, ) = dist (P, d) (x ) + (y ) = y (x ) + y y + = y (x ) = y (x ) = ( ) y 9 a) Halla la ecuación de la circunferencia cuyo centro es C (, ) y es tangente a la recta x y = 0. b) De todas las rectas paralelas a la bisectriz del primer cuadrante, encuentra las que sean tangentes a la circunferencia hallada en el apartado anterior. a) El radio, r, de la circunferencia es la distancia del centro C (, ) a la recta s: x y = 0; es decir: Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas 0

31 0 r = dist (C, s) = = = La ecuación será: (x + ) +(y ) =, o bien, x + y + x y = 0 b) Las rectas paralelas a la bisectriz del primer cuadrante son de la forma y = x + k, es decir, t: x y + k = 0. La recta t es tangente a la circunferencia cuando la distancia del centro de la circunferencia, C (, ), a la recta es igual al radio,. Es decir: + k k dist (C, t) = = = k = k = k = k = + k = Hay dos rectas: y = x + + y = x + 0 Halla la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C (, ) y una de cuyas rectas tangentes tiene por ecuación: x y = 0 Determina si el punto X (, ) es interior, es exterior o está en la circunferencia. El radio, r, de la circunferencia es igual a la distancia del centro, C (, ), a la recta s: x y = 0; es decir: 6 r = dist (C, s) = = La ecuación es: (x ) +(y ) =, o bien, x + y 6x y = 0 x + y 0x 00y = 0 Veamos si X(, ) es interior, exterior o está en la circunferencia: dist (C, X) = CX = (0, ) = > radio = Luego el punto es exterior a la circunferencia. a) Determina la ecuación que define el lugar geométrico de los puntos del plano que son centro de las circunferencias que pasan por los puntos P (, 0) y Q (0, ). b) Una circunferencia de longitud π, que contiene al origen de coordenadas, está centrada en uno de los puntos del lugar definido en a). Halla su centro. Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

32 a) Si C (x, y) es el centro de la circunferencia, la distancia de C a P y a Q ha de ser la misma, es decir: dist (C, P) = dist (C, Q) PC = QC y (x ) + y = x +(y ) Q x x + + y = x + y y + x y = 0 Obtenemos una recta, que es la mediatriz del segmento PQ. P x b) Longitud = πr = π radio = r = Su centro está en un punto de la recta x y = 0 y pasa por el punto P(0, 0). El centro es de la forma C ( ) x, x : r = dist (P, C) = PC = x x + ( ) = x + 6x x = x + 6x + 9 x = 9 0x x = 0 x(0x ) = 0 Hay dos soluciones: C ( ) 0, y C 6 9 (, ) 0 x = 0 y = 6 9 x = y = 0 Halla la ecuación de la hipérbola que tiene por focos los puntos (, 0) y ' (, 0) y que pasa por el punto P (8, ). Hallamos la constante de la hipérbola: dist (P, ) dist (P, ' ) = a P 'P = a (, ) (, ) = a = a 0 = a = a a = Como a = y c =, entonces b = c a = 9 =. La ecuación es: = Calcula la ecuación de la elipse cuyo focos son los puntos (, ) y ' (, ) y cuya excentricidad es igual a /. El centro de la elipse es el punto medio entre los focos: + + (, ) x = (, ) y Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

33 La semidistancia focal es c =. c La excentricidad es exc = = = a a a = 6 Obtenemos b b = a c = 6 = ' La ecuación es: (x ) + (y ) = 6 La parábola y y 6x = 0 tiene por foco el punto (0, ). Encuentra su directriz. y y = 6x + y y + = 6x +9 (y ) = 6 ( ) x + El vértice de la parábola es V (, ). Como el foco es (0, ), entonces la directriz es x =. V Un segmento de longitud apoya sus extremos sobre los ejes de coordenadas tomando todas las posiciones posibles. a) Determina la ecuación del lugar geométrico del punto del segmento que está situado a distancia del extremo que se apoya sobre el eje OY. b) Identifica la cónica resultante. Y α x y P(x, y) α X a) Llamamos α al ángulo que forma el segmento con el eje X, como indica la figura. Así, tenemos que: x = cos α y = senα y x = cos α y = sen α x + = cos α + sen α = x + = y b) Es una elipse con centro en el origen y focos en el eje OY. Sus elementos son a =, b =, c = =. ocos (0, ) y (0, c ). Excentricidad: exc = = 0,87 a 6 Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano tales que su distancia al punto (, 0) es el doble de su distancia a la recta x =. Comprueba que dicho lugar geométrico es una cónica y halla sus focos. Sea P(x, y) uno de los puntos del lugar geométrico. La distancia de P al punto Q(, 0) ha de ser el doble que la distancia de P a la recta s: x = 0; es decir: dist(p, Q) = dist(p, s) (x ) + y = x Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

34 (x ) + y = (x ) x 8x y = (x x + ) x 8x y = x 8x + x y = = Es una hipérbola, centrada en (0, 0). a = ; b = c = a + b = 6 c = Por tanto, los focos son (, 0) y (, 0). x y Página 6 7 Aplica dos métodos diferentes que permitan decidir si la recta x + y 8 = 0 es exterior, tangente o secante a la circunferencia (x 6) +(y ) =. Razona tu respuesta. Primer método: Hallamos la distancia del centro de la circunferencia C (6, ) a la recta dada s: x + y 8 = 0: d = dist (C, s) = = = Como esta distancia es igual al radio de la circunferencia, d = r =, entonces, la recta es tangente a la circunferencia. Segundo método: Obtenemos los puntos de intersección de la recta y la circunferencia, resolviendo el sistema de ecuaciones: x + y 8 = 0 (x 6) + (y ) = 8 x y = x x y 6y + 9 = x 8 x x ( ) 8 x 6 ( ) + 9 = x 6 6x + 6x x x + 9 = 9 9x 08x x + 6x + 7x + 8 = x 00x + 00 = 0 x x + = 0 (x ) = 0 8 x x = y = = 0 Se cortan en (, 0). Como solo se cortan en un punto, la recta es tangente a la circunferencia. 8 Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya distancia al punto (, 0) es igual a la mitad de la distancia a la recta: x 6 = 0. Representa la curva que obtienes. Sea P(x, y) uno de los puntos del lugar geométrico. La distancia de P a (, 0) ha de ser igual a la mitad de la distancia de P a la recta x 6 = 0; es decir: Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

35 (x ) + y = x 6 (x ) + y = (x 6) x 8x y = (x x + 6) x x y = x x + 6 x y x + y = 9 + = Es una elipse, en la que a = 8 y b = 8 6,9. La representamos: Los focos están en (, 0) y '(, 0). c La excentricidad es: exc = = = = 0, a 8 8 ' Halla el lugar geométrico de los puntos P (x, y) tales que el producto de las pendientes de las rectas trazadas desde P a los puntos: A (, ) y B (, ) sea igual a. Qué figura obtienes? Represéntala. y La pendiente de la recta que une P con A es: x + y + La pendiente de la recta que une P con B es: x El producto de las pendientes ha de ser igual a, es decir: y ( ) ( ) y + = y = y = x x + x x y x x y = = Es una hipérbola, en la que a = b = y c = 6. Los focos son ( 6, 0) y ( 6, 0). Las asíntotas son: y = x e y = x c 6 La excentricidad es: exc = = =, a ' 0 Describe las siguientes cónicas. Obtén sus elementos y dibújalas. (x ) a) (y + ) + (x ) = b) (y + ) + = 9 9 (x ) (y + ) (y + ) (x ) c) = d) = 6 6 Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

36 a) Es una elipse de centro P(, ). a =, b =, c = a b = 9 = 6 =. Los focos son (7, ) y '(, ). ' P La excentricidad es: exc = = 0,8 b) Es una elipse de centro P(, ). a =, b =, c =. Los focos son (, ) y '(, 6). La excentricidad es: exc = = 0,8 P ' c) Es una hipérbola de centro P(, ). a =, b =, c = 6 + = 0 =. Los focos son: ( +, ) y '(, ) La excentricidad es: exc = =, Las asíntotas son: y + = (x ); y + = (x ) ' d) Es una hipérbola de centro P(, ). b =, a =, c = 0 =. Los focos son: (, + ) y '(, ) La excentricidad es: exc = = Las asíntotas son: y + = (x ); y + = (x ) ' Asocia cada una de las siguientes ecuaciones a una de las gráficas que se dan a continuación: x a) y + = b) x y + x = c) y x + = d) + y = 9 Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas 6

37 x e) + y = f ) = g) y = h) + y = 0 9 x x x y i) y = 0 j ) y = 0 k) x y = l ) xy = x x I II DOS RECTAS III IV V VI VII y = x (0, 0) UNA RECTA UN PUNTO y = x IX X XI XII VIII a) VI b) V c) IV d) I e) VIII f) XI g) XII h) III i) II j) VII k) IX l) X PARA PROUNDIZAR Halla la ecuación de la circunferencia inscrita en el triángulo de lados: y = 0 x y = 0 x + y 0 = 0 x y = 0 r (8, 6) P(x, y) (0, 0) (,; 0) y = 0 r x + y 0 = 0 r Si P(x, y) es el centro de la circunferencia, entonces: x y dist (P, r ) = dist (P, r ) = y y = x y y = x y 9y = x x = y y = x + y y = x No vale; la bisectriz que buscamos es la otra. Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas 7

38 x + y 0 dist (P, r ) = dist (P, r ) = y y = x + y 0 y = x + y 0 y = x No vale; es la otra bisectriz. y = x y + 0 x + y = El punto de corte de las dos bisectrices es el incentro, es decir, el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo. x = y x + y = 6y + y = 0y = y = = 0 x = y = El centro es P (, ). El radio es dist (P, r ) = y = = radio La ecuación es: ( x ) + ( y ) = ; o bien: x x + + y y + = x + y x y + = 0 x + y 60x 0y + = 0 Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por (, ) y (, ) y es tangente al eje OX. Si P(x, y) es el centro de la circunferencia, y llamamos a los puntos A(, ) y B(, ); la distancia de P a los dos puntos y al eje OX ha de ser la misma. Además, esta distancia es igual al radio de la circunferencia. dist [P, eje OX] = y dist (P, A) = (x +) +(y ) dist (P, B) = (x ) +(y ) han de ser iguales. (x +) +(y ) = (x ) +(y ) x + 6x y y + = x 8x y y + x y = 0 7x y = 0 y = 7x (x +) +(y ) = y x + 6x y y + = y x + 6x (7x ) + = 0 x + 6x 8x = 0 x x + = 0 Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas 8

39 ± 8 8 ± 00 x = = = ± 0 x = y = x = y = Hay dos soluciones: - a ) Centro (, ) y radio : (x ) +(y ) = 0; o bien: x + y x 90y + = 0 - a ) Centro (, ) y radio : (x ) + (y ) = ; o bien: x + y x 0y + = 0 Determina la ecuación de la circunferencia de radio 0 que, en el punto (7, ), es tangente a la recta x y = 0. El centro pertenece a la recta perpendicular a la dada que pasa por (7, ). Una recta perpendicular a x y = 0 es de la forma x + y + k = 0. Como (7, ) pertenece a la recta: k = 0 k =. El centro pertenece a la recta: x + y = 0 y = El centro es C ( ) x, x +. La distancia de C al punto (7, ) es igual al ra- dio, que es 0, es decir: (x 7) x + + ( ) = 0 x + (x 7) + ( ) = 00 x + x 6x x x + 78 = x 6x + + 6x x + 78 = 900 x 0x + = 0 x x + = 0 ± 96 ± x = = = Hay dos soluciones: - a ) Centro (, 6) y radio 0: ± x = y = 6 x = y = 0 (x ) +(y + 6) = 00 x + y 6x + y + 0 = 0 - a ) Centro (, 0) y radio 0: (x ) + (y 0) = 00 x + y x 0y + = 0 Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas 9

40 Halla la ecuación de la parábola de vértice en el punto (, ) y que pasa por el punto (, ). Hay dos posibilidades: ) (y ) = p (x ) Como pasa por (, ) = p p = (y ) = (x ) ) (x ) = p'(y ) Como pasa por (, ) = p' p' = (x ) = (y ) 6 Halla los vértices, los focos y la excentricidad de las cónicas siguientes: a) 9x + 6y 6x + 96y + 6 = 0 b) x y x = 0 c) x + 9y 6y + 7 = 0 a) 9x + 6y 6x + 96y + 6 = 0 9x 6x y + 96y = 0 (x 6) +(y + ) = 0 [(x )] + [(y + )] = 9(x ) + 6(y + ) = (x ) + (y + ) = 6 9 Es una elipse de centro (, ). a =, b =, c = a b = 7 Vértices: (6, ); (, ); (, 0) y (, 6) ocos: ( + 7, ) y ( 7, ) c 7 Excentricidad: exc = = 0,66 a b) x y x = 0 x x + y = 0 (x ) y = (x ) y = Es una hipérbola de centro (, 0). a =, b =, c = + = Vértices: (, 0) y (, 0) ocos: ( +, 0) y ( +, 0) Excentricidad: exc =, Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas 0

41 c) x + 9y + 6x + 7 = 0 x + 9 (y + y) + 7 = 0 x + 9 (y + ) = 0 x + 9 (y + ) = 9 x + (y + ) = 9 Es una elipse con a =, b =, c = 8. Vértices: (, 0), (, 0), (0, ), (0, ) ocos: ( 0, 0), ( 0, 0) c 8 Excentricidad: exc = = 0,9 a 7 Un segmento PQ de cm de longitud se mueve apoyándose tangencialmente sobre la circunferencia x + y x + 6y + 9 = 0. Si el extremo P es el punto de tangencia, cuál es el lugar geométrico que describe el otro extremo Q? La circunferencia dada tiene su centro en (, ) y su radio es =. Como la tangente es perpendicular al radio, la distancia de Q al centro será siempre la misma: x = 9 + = Por tanto, Q describe una circunferencia con el mismo centro que la dada y radio. Su ecuación será: (x ) +(y + ) = ; o bien x + y x + 6y = 0 P x Q 8 Pon la ecuación del lugar geométrico de los puntos P (x, y) que equidistan del punto (6, ) y de la recta r: x y = 0. (Encontrarás una ecuación complicada. No te molestes en simplificarla). De qué figura se trata? Para responder a esta pregunta, fíjate en cómo se ha definido y no en cuál es su ecuación. Representa r y. Cómo habrá que situar unos nuevos ejes coordenados para que la ecuación de esa curva sea y = kx? Cuánto vale k? Ecuación: (x 6) + (y + ) = x y El lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto (foco) y de una recta (directriz) es una parábola. Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

42 La ecuación de la parábola respecto a los nuevos ejes es y = px, donde p es la distancia del foco a la directriz: r dist (, r) = = = Si p =, entonces k = 8. La ecuación es y = 8x respecto a los nuevos ejes. NUEVO EJE Y NUEVO EJE X 9 Demuestra que el lugar geométrico de los puntos P, cuyo cociente de distancias a un punto fijo y a una recta fija d es igual a k, es una cónica de excentricidad k. c Toma como foco (c, 0), como recta x = y como constante k =, y estudia c a los casos k <, k > y k =. Qué cónica se obtiene en cada caso? (c, 0) a d: x dist (P, ) c c = 0 = dist (P, ) = dist (P, d) c dist (P, d) a a P(x, y) = c k = x a (x c) + y c a c a (x c) + y = c ( ) x a a x cx + c + y = c a ( x x + a ) a c a x cx + c +y = x cx + a c c a x + a c + a y = c x + a (a c ) x + a y = a (a c ) x + y = a (a c ) c Si k <, es decir, si < c < a c < a a c > 0 a (c y a son positivos, pues k era un cociente de distancias). En este caso, la ecuación corresponde a una elipse. c La excentricidad es, es decir, k. a a c Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

43 c Si k >, es decir, si > c > a c > a a c < 0 a En este caso, la ecuación corresponde a una hipérbola. c La excentricidad es, es decir, k. a Si k =, la distancia al punto es igual a la distancia a la recta, es decir, obtenemos una parábola. 60 Dado un segmento AB de longitud, halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos P del plano que verifican: AP + BP = 8 Toma como eje X la recta que contiene al segmento y como eje Y la mediatriz de AB. Tomamos como eje X la recta que contiene al segmento AB, y como eje Y, la mediatriz de AB. Así, las coordenadas de A y B serían: A(, 0) y Y B(, 0). Si P(x, y) es un punto del lugar geométrico, debe cumplir: AP + BP = 8; es decir: [(x + ) + y ] + [(x ) + y ] = 8 [x + x + + y ] + [x x + + y ] = 8 x + 8x y + x x + + y = 8 x + y + x 6 = 0 A (, 0) Esta ecuación corresponde a una circunferencia de centro (, 0 ) y radio. 6 Sea r una recta y un punto cuya distancia a r es. Llamemos H a la proyección de un punto cualquiera, P, sobre r. Halla el L. G. de los puntos que verifican: PH + P = Toma los ejes de modo que las coordenadas de sean (0, ). B (, 0) X Tomamos los ejes de forma que el eje X coincida con la recta r, y el eje Y pase por. Así, la recta r es y = 0 y (0, ): P(x, y) Si P(x, y), entonces H(x, 0). Así, PH + P = queda: y + x +(y ) = (0, ) y H(x, 0) r Operamos: x +(y ) = y x +(y ) = 9 + y 6 y x + y y + = 9 + y 6 y x y + 9 = 6 y Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

44 6 y = y +8 x Obtenemos dos parábolas. x 6y = y + 8 x y = 8 x y = x 6y = y + 8 x 8y = 8 x y = 8 6 a) Halla el lugar geométrico de todos los puntos P(x, y) del plano cuya suma de cuadrados de distancias a los puntos A(, 0) y B(, 0) es 68. Puedes comprobar que se trata de una circunferencia de centro O(0, 0). Cuál es su radio? b) Generaliza: Halla el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de cuadrados de distancias a A( a, 0) y B(a, 0) es k (constante), y comprueba que se trata de una circunferencia de centro O(0, 0). Di el valor de su radio en función de a y de k. Qué relación deben cumplir a y k para que realmente sea una circunferencia? a) [dist (A, P)] + [dist (B, P)] = 68 (x + ) + y + (x ) + y = 68 x + 6x y + x 6x y = 68 x + y = 68 8 x + y = 0 x + y =, que es la ecuación de una circunferencia de centro P (0, 0) y radio r =. Comprobemos que, efectivamente, se trata de esa circunferencia. Despejamos y y = x P (x, y) = (x, x ) Debe verificarse que: dist (O, P) = r Es decir, que: x + y = x + ( x ) = = Por tanto, como se cumple la condición, podemos asegurar que se trata de esa circunferencia. b) [dist (A, P)] + [dist (B, P)] = k (x + a) + y + (x a) + y = k x + ax + a + y + x ax + a + y = k x + y = k a x + y k = a que es la ecuación de una circunferencia de centro (0, 0) y radio: k r = a Para que realmente sea una circunferencia, debe ocurrir que r > 0. Por tanto, debe verificarse: k a > 0 k > a Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

45 PARA PENSAR UN POCO MÁS 6 Sean las rectas: r: y = x, s: y = x. Tomamos un segmento de longitud, uno de cuyos extremos esté en r y el otro en s. Queremos hallar el lugar geométrico de los puntos medios de dichos segmentos. Para ello: a) Expresa r y s en coordenadas paramétricas, usa un parámetro distinto para cada una. b) Expresa un punto R de r y un punto S de s. c) Obtén, mediante dos parámetros, la expresión del punto medio del segmento RS. d) Expresa analíticamente dist (R, S) =. e) Relacionando las expresiones obtenidas en c) y en d), obtendrás la ecuación implícita del L. G. buscado: x + 6y = 6 f ) Identifica el tipo de curva de que se trata. x = λ a) r: s: y = λ x = µ y = µ b) R(λ, λ) r; S ( µ, µ) s c) Punto medio del segmento RS: λ µ λ + µ M = (, ) ( ) = λ µ, λ + µ, es decir: x = λ µ λ = x + µ λ + µ y x x y = y = x + µ + µ y = x + µ µ = = y x x x λ = x + y = y + λ = y + ; µ = y x d) dist (R, S) = SR = SR (λ + µ, µ λ) (λ + µ) + (µ λ) = λ + µ + 8λµ + µ + λ λµ = 6 λ + µ + 6λµ = 6 Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

46 e) Utilizando lo obtenido en c) y d), tenemos que: x ( y + ) + ( y ) + 6 ( y + )( y ) = 6 x ( y + + xy) + ( y + xy) +6 ( y ) = 6 x y + x + xy + y + x xy + 6y x = 6 x + 6y = 6 x x f) x + 6y = 6 + y =. 6 Es una elipse, en la que a =, b = y c =. ocos: (, 0) y (, 0). Excentricidad = 0,97 x x x Página 0 RESUELVE TÚ. A veces, en el andén del metro se produce el siguiente fenómeno: una persona oye hablar a otra con absoluta nitidez, pero no la encuentra cerca. Mirando a su alrededor, llega a descubrir que la voz procede de alguien que está en el andén de enfrente y que no está hablando más fuerte que los demás. Explica a qué se debe este hecho, partiendo de que la bóveda del andén es semielíptica. La persona que habla está situada sobre uno de los focos de la elipse y la persona que escucha está en el otro lado.. Lewis Caroll, el matemático autor de Alicia en el País de las Maravillas, se construyó una mesa de billar de forma elíptica. En ella, si una bola pasa por un foco, sin efecto, pasará necesariamente por el otro foco después de rebotar. Y así, sucesivamente, hasta que se pare. Explica por qué. ' P α α r t Llamamos P al punto en el que rebota la bola que ha pasado por. Hemos visto que si t es tangente a la elipse en P, entonces t es la bisectriz exterior de los radios rectores P y P'. Llamamos r a la otra bisectriz. Tenemos que el ángulo formado por r y P' coincide con el ángulo formado por r y P'. Por tanto, la bola que pase por, necesariamente pasará por el otro foco, ', al rebotar. Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas 6

47 . Halla la ecuación de la tangente a la elipse + = en los puntos de abscisa 6. Utiliza el hecho de que la recta tangente es la bisectriz del ángulo que forman los radios vectores. De las dos bisectrices, tendrás que elegir la adecuada. Los focos de la elipse son (, 0) y '(, 0). Hallamos los puntos de abscisa x = : + = y = ± 6 Hay dos puntos: P (, ) y P' (, ). Para P ( ), 6 : Obtenemos las bisectrices de los ángulos formados por las rectas que pasan por P y por P': recta, r, que pasa por P x = x = recta, r, que pasa por P' m = y = (x + ) 8x y + = 0 Bisectrices: dist ((x, y), r ) = dist ((x, y), r ) x = 7x = 8x y + x + y = 0 7x = 8x + y x y 7 = 0 La tangente que buscamos es la que tiene pendiente negativa; es decir: x + y = 0 Para P' ( ), 6, tendríamos: recta, r, que pasa por P' x = x = 0 recta, r, que pasa por P'' 8 8 m' = y = (x + ) 8x + y + = 0 Bisectrices: dist ((x, y), r ) = dist ((x, y), r ) x = P (, 6 ) ' (, 0) (, 0) P' (, 6 ) 8x y + 7 8x + y x = 8x + y + x y = 0 7x = 8x y x + y 7 = 0 La tangente en este caso es la que tiene pendiente positiva; es decir: x y = 0 y x y Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas 7

48 x. Halla la tangente a la hipérbola = en el punto de abscisa. 6 9 y Utiliza el hecho de que la tangente es la bisectriz de los radios vectores y elige la adecuada. t Hallamos los puntos de abscisa x = : '(, 0) P (, 9 ) (, 0) P' ( ), 9 6 = y 8 = y = ± 9 6 y Hay dos puntos: P (, ) y P' (, ) Para P ( ), 9 recta, r, que pasa por P x = 0 recta, r, que pasa por P': 9/ 9 9 m = = y = (x + ) 9x 0y + = Bisectrices: dist ((x, y), r ) = dist ((x, y), r ) x = x 0 = 9x 0y + 6x + 0y = 0 x 0 = 9x + 0y x y 6 = 0 La recta que buscamos tiene pendiente positiva; por tanto, es x y 6 = 0. Para P'( ), 9 recta, r, que pasa por P' x = 0 recta, r, que pasa por P'': 9/ 9 9 m' = = y = (x + ) 9x + 0y + = Bisectrices: dist ((x, y), r ) = dist ((x, y), r ) x = 9x 0y + 9x + 0y + x 0 = 9x + 0y + 6x 0y = 0 x 0 = 9x 0y x + y 6 = 0 t' La recta que buscamos tiene pendiente negativa; por tanto, es x + y 6 = 0. Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas 8

49 . Halla la tangente a la parábola y = x en el punto de P (, 6). Utiliza el hecho de que la tangente es la bisectriz del ángulo formado por el radio vector P y la recta perpendicular por P a la directriz. 6 t P(, 6) Hallamos el foco y la directriz de la parábola: (, 0); d: x = (, 0) recta, r, que pasa por P y por : x = x = 0 recta, r, que pasa por P y es perpendicular a d: d y = 6 y 6 = 0 Bisectriz del ángulo formado por r y r : dist ((x, y), r ) = dist ((x, y), r ) x = y 6 x = y 6 x y + = 0 x = y + 6 x + y 9 = 0 La tangente que buscamos es la que tiene pendiente positiva, es decir, x y + = 0. Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas 9